Prima prova in itenere di Istituzioni di Probabilità

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1 Prima prova in itenere di Istituzioni di Probabilità 14 novembre 2012 Esercizio 1. Un processo di Ornstein-Uhlenbec modificato (OUM) è un processo reale, con R come insieme dei tempi, con traiettorie continue, gaussiano centrato, con funzione di covarianza Cov(X t, X s ) = E[X t X s ] = exp[ t s ]. 1. Sia B un moto browniano (rispetto alla sua filtrazione naturale) a traiettorie continue; per t in R, sia X t = e t B e 2t. Si dimostri che X è un processo OUM. 2. Sia X un processo OUM; sia B 0 = 0, B t = tx log( t) per t > 0. Si dimostri che B è un moto browniano grossolano (rispetto alla sua filtrazione naturale). 3. Con le notazioni del punto 2, si dimostri che B ha traiettorie q.c. continue. Suggerimento: Per il punto 3, fare uso di una modificazione continua di B. Esercizio 2. Sia (Ω, A, P ) uno spazio di probabilità, sia F = (F n ) n una filtrazione discreta su Ω, con F n contenuto in A per ogni n. Sia X una v.a., A-misurabile e integrabile. Siano τ, σ due tempi d arresto limitati (τ, σ N), rispetto alla filtrazione F, siano F τ, F σ le σ-algebre associate. Si dimostri che: 1. se Y è una v.a. reale F -misurabile, per un certo, allora Y 1 {τ=} è F τ - misurabile; 2. la v.a. N =0 E[X F ]1 {τ=} è F τ -misurabile e integrabile e vale q.c. E[X F τ ] = E[X F ]1 {τ=} ; =0 3. facoltativo: E[E[X F τ ] F σ ] = E[E[X F σ ] F τ ] = N =0 E[X F ]1 {τ σ=} q.c.. Suggerimenti: Per il punto 1, può (non necessariamente deve) essere utile questo fatto, di facile dimostrazione: un evento A in A appartiene a F τ se e solo se A {τ = h} è in F h per ogni h. Per il punto 3, può essere utile notare che 1 {τ σ=} = 1 {τ=} 1 {σ>} + 1 {τ } 1 {σ=}. 1

2 Esercizio 3. Sia ( ),n N una famiglia di v.a. i.i.d., su (Ω, A, P ) spazio di probabilità, a valori in N (0 compreso), limitate (dalla stessa costante C), con speranza µ = E[ξ (1) 1 ] > 0. Siano S 0 = 1 e, per n 1, S n = S n 1 (S n = 0 sull insieme {S n 1 = 0}). Chiamiamo M n = µ n S n, F n = σ(ξ (m) N, m n), per n naturale. =1 1. Si dimostri che, per ogni n, S n è una v.a. limitata e che S = (S n ) n è un processo di Marov rispetto alla filtrazione F = (F n ) n (in particolare adattato a questa filtrazione). 2. Si dimostri che M è una martingala rispetto alla filtrazione F = (F n ) n. 3. Si deduca che M converge q.c.; si deduca che, per µ < 1, S converge q.c. a Facoltativo: si dimostri che, per µ > 1, la convergenza ha luogo anche in L 2 ; si deduca (sempre per µ > 1) che, con probabilità positiva, S tende a +. Suggerimento: Per i punti 1, 2 e 4, notare che ( N S n = N=0 1 {Sn 1 =N} (equivalentemente, S n = N =1 ξ(n) sull evento {S n 1 = N}, con la convenzione 0 1 ξ(n) = 0) e ricavare un analoga espressione per f(s n ). =1 ) 2

3 Soluzione 1 (Esercizio 1). Nel seguito, useremo la caratterizzazione del moto browniano grossolano standard, come processo gaussiano centrato, nullo a tempo 0, con Cov(B t, B s ) = t s. Punto 1: Per tutti i t 1 <... < t n numeri reali, (X t1,... X tn ) è un vettore gaussiano centrato, perché è ottenuto dal vettore gaussiano centrato (B e 2t 1,... B e 2tn) tramite trasformazione lineare. Per s t, E[X s X t ] = e s e t E[B e 2sB e 2t] = e s e t e 2s = e (t s). Infine, X ha traiettorie continue, poiché, per ogni ω, t e t B e 2t è composizione di mappe continue. Il punto 1 è dimostrato. Punto 2: La dimostrazione è analoga a quella del punto 1. Punto 3: Su ]0, + [, le traiettorie di B sono continue, poiché composizione di mappe continue. Dunque ci basta controllare la continuità (q.c.) in t = 0. Per il teorema di Kolmogorov, esiste una modificazione B con traiettorie continue. Affermo che B e B sono in realtà indistinguibili. Questo vuol dire che, per q.o. ω, la traiettoria B(ω) è uguale alla traiettoria B(ω), in particolare è continua; questo concluderebbe. Ci resta da dimostrare che B e B sono indistinguibili. Su ]0, + [ sono indistinguibili perché processi continui e modificazione uno dell altro. Quindi i due processi coincidono per tutti i tempi t in ]0, + [, salvo al più su un insieme N 1 di misura nulla. Inoltre, al tempo t = 0, i due processi sono q.c. nulli, quindi coincidono salvo al più su un insieme N 2 di misura nulla. In conclusione, essi coincidono per tutti i tempi, salvo al più su N 1 N 2, che è di misura nulla, quindi sono indistinguibili. Soluzione 2 (Esercizio 2). Punto 1: Utilizzando il suggerimento, si tratta di verificare che, per ogni h naturale e per ogni boreliano D di R, l evento C := {Y D} {τ = h} è in F h. Distinguiamo due casi. Se h, sull insieme {τ = h}, Y 1 τ= vale 0; quindi C è l insieme vuoto (se 0 non è in D) oppure {τ = h} (se 0 è in D), entrambi in F h. Se h =, C diventa {Y D} {τ = }, che è in F poiché intersezione di eventi in F. Dimostriamo ora un implicazione del suggerimento: se A {τ = h} è in F h per ogni h, allora A {τ m} = h h A {τ = h} è in F m per ogni m, dunque A è in F τ. Un modo alternativo per dimostrare il punto 1 è il seguente: detto Z il processo dato da Z n = E[Y F n ], allora le v.a. Z τ e 1 τ= son F τ -misurabili, dunque Y 1 τ= = Z 1 τ= = Z τ 1 τ= è F τ -misurabile. Punto 2: Chiamiamo Y = E[X F ]1 τ=. La misurabilità di Y rispetto a F τ e l integrabilità sono conseguenza del punto 1, dato che Y è somma finita di v.a. del tipo E[X F ]1 τ=, F τ -misurabile e integrabile per ogni. Per la formula in tesi, vogliamo dimostrare che, per ogni A F τ -misurabile, E[X1 A ] = 3

4 E[Y 1 A ]. Vale: E[Y 1 A ] = E[E[X F ]1 {τ=} A ] = E[X1 {τ=} A ] = E[X1 A 1 τ= ] = E[X1 A ], dove la somma varia tra = 0 e N (che maggiora τ); nella seconda uguaglianza, abbiamo usato il fatto che {τ = } A è F -misurabile, per ogni. Il punto 2 è dimostrato. Una dimostrazione alternativa della formula in tesi si basa sul teorema d arresto. Infatti il processo (M n = E[X F n ]) n è una martingala; inoltre τ N e quindi F τ F N. Dunque, per il teorema d arresto, E[X F τ ] = E[M n F τ ] = M τ = N =0 M 1 τ= = Y. Punto 3: Applichiamo due volte il punto 2 al membro sinistro dell uguaglianza in tesi, utilizzando la F -misurabilità di 1 τ : E[E[X F τ ] F σ ] = E[E[X F ]1 τ= F σ ] = E[E[X F ]1 τ= F h ]1 σ=h h = E[X1 τ= F h ]1 σ=h + E[X F ]1 τ= 1 σ=h h h> = E[X 1 τ= F h ]1 σ=h + E[X F ]1 τ= 1 σ=h h h h> = h E[X F h ]1 τ h 1 σ=h + E[X F ]1 τ= 1 σ> = = E[X F ](1 τ 1 σ= + 1 τ= 1 σ> ) E[X F ]1 τ σ=. Poiché l espressione nell ultima riga è simmetrica in τ e σ, scambiando i due tempi d arresto otteniamo lo stesso risultato per E[E[X F σ ] F τ ], da cui la tesi. Anche in questo caso, una dimostrazione alternativa è possibile, usando il teorema d arresto, applicato la prima volta alla martingala M e ai tempi d arresto N e τ, la seconda alla martingala arrestata M τ e ai tempi d arresto N e σ; questo ci dà E[E[M N F τ ]F σ ] = M τ σ, fatto valido in generale per tempi d arresto limitati da N, ed equivalente alla nostra tesi. Soluzione 3 (Esercizio 3). Il fatto che S sia adattato a F si dimostra per induzione su n: per n = 0 è ovvio (S 0 è costante), per il caso induttivo da n 1 a n, il suggerimento mostra che S n è F n -misurabile poiché funzione di S n 1, F n 1 -misurabile 4

5 per ipotesi induttiva, e ( ), F n -misurabile. Per l ipotesi di limitatezza delle, S n CS n 1 e quindi S n C n. Notiamo poi che, per f : R R misurabile, vale f(s n ) = N=0 1 S n 1 =Nf( N =1 ξ(n) ). Questo ci permette di calcolare agevolamente la speranza condizionale E[f(S n ) F n 1 ], nel caso f(s n ) sia integrabile (possiamo scambiare anche qui serie e speranza): E[f(S n ) F n 1 ] = N = N 1 Sn 1 =NE[f( E[1 Sn 1 =Nf( =1 =1 ) F n 1] )] = ϕ(s n 1), (1) dove ϕ(n) = E[f( N =1 ξ(n) )]; nella seconda uguaglianza abbiamo utilizzato il fatto che S n 1 è F n 1 misurabile e il fatto che ( ) è una famiglia indipendente da F n 1. Punto 1: Abbiamo già verificato l adattabilità e la limitatezza di S. Per la proprietà di Marov, basta osservare che, per f misurabile limitata, E[f(S n ) F n 1 ] è funzione di S n 1 (ϕ(s n 1 )), in particolare è σ(s n 1 )-misurabile. La tesi è dimostrata. Punto 2: Il processo M è integrabile poiché limitato. Applichiamo quindi la formula (1) a f(x) = x, notando che, in questo caso, ϕ(n) = Nµ: otteniamo E[S n F n 1 ] = µs n 1, da cui si ricava facilmente E[M n F n 1 ] = M n 1, cioè la tesi. Punto 3: La martingala M è positiva, in particolare E[ M n ] = E[M n ] = E[M 0 ] = 1 è limitata in n. Per il teorema di convergenza delle martingale, M converge q.c. a una v.a. M. Per questa convergenza, S n = µ n M n è minore di µ n (M + 1) definitivamente q.c. (cioè per n > n 0, dove n 0 può dipendere da ω). Se µ < 1, µ n tende a 0, dunque S n converge q.c. verso 0 (anzi, essendo a valori interi, vale 0 definitivamente q.c.). Punto 4: Il processo S è in L 2 essendo limitato. Vogliamo stimare E[Sn]; 2 scriviamo allora E[Sn] 2 = E[E[Sn F 2 n 1 ] e usiamo (1) (un altro modo è usare direttamente l indipendenza tra S n 1 e ( ) ): detto σ 2 il momento secondo di ξ (1) 1, vale E[S 2 n] = N = N E[1 Sn 1 =NE[( =1 )2 ]] E[1 Sn 1 =N(N(σ 2 µ 2 ) + N 2 µ 2 )] = (σ 2 µ 2 )E[S n 1 ] + µ 2 E[S 2 n 1].(2) La seconda uguaglianza è un semplice conto per v.a. i.i.d., che dimostreremo alla fine (si noti intanto che, per la disuguaglianza di Hölder, σ 2 µ 2 0). 5

6 Dall espressione sopra si ottiene (ricordando E[M n ] = 1) Procedendo per induzione abbiamo E[M 2 n] = σ2 µ 2 µ n+1 + E[M 2 n 1]. E[M 2 n] = 1 + (σ 2 µ 2 ) n µ. Se µ > 1, la serie µ converge, quindi E[M 2 n] è limitata in n. Per il teorema di convergenza in L p (p > 1), M converge in L 2 a M. In particolare M converge in L 1, quindi E[M ] = lim n E[M n ] = 1 > 0. Dunque M è strettamente positiva su un insieme non trascurabile, anzi esiste δ > 0 e un insieme misurabile B in Ω avente probabilità positiva, tale che M δ su B. Allora su B, S n = µ n M n µ n (M δ/2) µ n δ/2 definitivamente q.c.. Poiché µ n tende all infinito, otteniamo che S n diverge a + q.c. su B. Rimane da dimostrare il conto in (2); per semplicità, omettiamo l apice n. Abbiamo =1 E[( ξ ) 2 ] = E[ =1 ξ h< ξ h ξ ] = σ 2 N + N(N 1)µ 2 = (σ 2 µ 2 )N + µ 2 N 2. La dimostrazione è completa. 6