Teoria delle Probabilità e Applicazioni programma 2004/05

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1 Teoria delle Probabilità e Applicazioni programma 2004/05 Capitolo 1: esempio guida Lezioni: 8/3, 9/3 (5h) 1. Come modellizzare l esperimento infiniti lanci di una moneta equilibrata oppure l esperimento estrazione casuale di un numero nell intervallo (0, 1]: la definizione di B 0 e l espansione diadica degli ω Ω. La definizione di P su B Le probabilità delle sequenze finite coincidono col nostro concetto intuitivo (visto nel corso di CPSM). 3. Richiamo sulla legge debole dei grandi numeri, applicata alle variabili d i = i esimo coefficiente dell espansione diadica. Legge forte (sempre per le variabili d i ): confronto con la debole. Corollario: l insieme dei numeri non normali ha misura nulla. 4. Esigenze che emergono: estendere P al di fuori di B 0 ; definire gli eventi trascurabili. Capitolo 2: spazi di probabilità Lezioni: 10/3, 16/3, 17/3 (5h) 1. Definizioni di: spazi di probabilità, algebra, σ algebra, misura di probabilità definita su un algebra, misura di probabilità definita su una σ algebra. 2. Un esempio in cui è naturale chiedersi la probabilità di una unione numerabile di eventi: la rovina del giocatore. Esempi di σ algebre, esempi di misure (anche non necessariamente di probabilità, cioè senza la richiesta µ(ω) = 1). 3. Definizione di: σ algebra generata da una famiglia di insiemi, boreliani. Proposizioni: l intersezione (qualsiasi) di σ algebre è una σ algebra; la σ algebra generata da una famiglia di insiemi A è la più piccola che contiene gli elementi di A; definizioni equivalenti dei boreliani. 4. Proprietà delle misure di probabilità; equivalenza di finita additività + continuità al vuoto e numerabile additività. 5. Osservazione sulla non rappresentabilità delle σ algebre; σ algebre come informazione. 1

2 Capitolo 3: estensione di misure e costruzione della misura di Lebesgue Lezioni: 23/3, 24/3, 31/3 (6h) 1. Esempio di Cantor: insiemi con cardinalità del continuo e misura nulla. 2. Teorema di estensione e unicità. Estensione: misura esterna, proprietà. Criterio di misurabilità di Carathéodory e classe M dei misurabili, proprietà. 3. Unicità: definizione di π sistema, λ sistema, proprietà. Teorema π λ di Dynkin. 4. Enunciato del teorema della classe monotona. 5. Caso particolare della misura di Lebesgue. B 0 B M P(Ω) e tutte le inclusioni sono strette. Definizione di insieme trascurabile, definizione di misura completa. La misura di Lebesgue è completa e la σ algebra di Lebesgue completa quella di Borel. Impossibilità di definire una misura lunghezza su P([0, 1]). Capitolo 4: lemmi di Borel Cantelli, indipendenza, legge 0-1 di Kolmogorov Lezioni: 31/3, 5/4, 6/4, 7/4 (5h) 1. Definizioni di limsup e liminf di eventi. Esempio sui lanci di moneta. Proprietà: se esiste lim n A n allora P(lim n A n ) = lim n P(A n ). 2. Lemmi di Borel Cantelli (++). Applicazioni ai lanci di monete. Corollario: se l n = numero di croci consecutive a partire da n, allora lim sup n l n / log 2 (n) = 1 q.c. 3. Indipendenza: per eventi e per σ algebre. 4. Definizione della σ algebra della coda. Legge 0-1 di Kolmogorov (++). Capitolo 5: integrale astratto di Lebesgue Lezioni: 7/4, 13/4, 14/4 (5h) 1. Definizione di v.a. e di funzione misurabile. Equivalenza con la definizione vista in CPSM. Proprietà: l insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto a somma, max, min, sup, inf, lim. 2

3 2. Richiami sull integrale di Riemann: come superare la non integrabilità di alcune funzioni con il metodo di Lebesgue. 3. Integrazione di funzioni semplici positive. Integrazione di funzioni positive. Lo spazio L 1 (µ) delle funzioni integrabili rispetto alla misura µ. Integrazione di funzioni integrabili. Proprietà dell integrale. 4. Teoremi di convergenza: teorema della convergenza monotona, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata. (*) 5. Confronto fra integrale di Riemann e quello di Lebesgue. Integrali rispetto a misure generiche. Capitolo 6: come definire le probabilità, teorema di rappresentazione di Lebesgue Lezioni: 19/4, 20/4 (2h) 1. Definizioni di probabilità: discreta, concentrata su C, assolutamente continua (rispetto alla misura di Lebesgue),singolare, singolare continua. Misura assolutamente continua rispetto ad un altra. 2. Teorema: data f 0 misurabile e µ misura su (Ω, F), allora ν(e) = fdµ definisce una misura. (*) E 3. Funzione di ripartizione di una probabilità. Due probabilità su R con la stessa funzione di ripartizione coincidono. Proprietà di una funzione di ripartizione. Proprietà delle funzione di ripartizione delle probabilità discrete e di quelle a.c. Esempio di funzione di ripartizione né discreta né a.c. Scala di Vitali Cantor. 4. Teorema di rappresentazione di Lebesgue (*). Capitolo 7: variabili aleatorie Lezioni: 20/4, 21/4, 27/4 (4h) 1. Definizione di: vettore aleatorio, σ algebra generata da una v.a. o da un vettore aleatorio, probabilità P X indotta da una v.a. su R, funzione di ripartizione di una v.a., v.a. discreta, a.c., singolare continua, valore atteso di una v.a., momento n esimo di una v.a., momento n esimo centrato. 2. Esempio di v.a. diverse con la stessa legge. 3. Funzioni di v.a., loro misurabilità, loro valore atteso. Formule per il calcolo di valori attesi. 3

4 4. Integrale di Lebesgue Stieltjes. 5. Vettori aleatori: legge congiunta, funzione di ripartizione congiunta, indipendenza. Capitolo 8: spazi prodotto Lezioni: 27/4, 28/4 (2h) 1. Definizioni: spazio prodotto di spazi di misura; sezioni di insiemi e di funzioni. 2. Teorema di esistenza di (Ω, F, P) e X 1,..., X n v.a. indipendenti con leggi marginali assegnate (++). 3. Integrali doppi e integrali iterati. Teoremi di Fubini e di Tonelli per misure σ finite. (*) Capitolo 9: convergenza di variabili aleatorie Lezioni: 28/4, 3/5, 4/5 (6h) 1. Definizioni: convergenza qc, P, L 1, L 2, d; convergenza debole di misure. 2. Criterio equivalente alla convergenza qc (++); criterio sufficiente alla convergenza qc (++). Criterio equivalente alla convergenza P (++). Criterio equivalente alla convergenza d (++). 3. Implicazioni e controesempi fra le varie convergenze. Operazioni che conservano le convergenze. Teoremi di Slutzky I e II (++). 4. Legge forte dei grandi numeri (*). Dimostrazione nel caso di esistenza del momento quarto finito (++). Legge forte nel caso E(X 1 ) < e E(X + 1 ) = (++). Capitolo 10: funzioni caratteristiche e teorema del limite centrale Lezioni: 11/5, 12/5 (3h) 1. Definizione di funzione caratteristica. Proprietà. Esempi per le distribuzioni più comuni. 2. Legami fra funzioni caratteristiche, distribuzioni e convergenza in legge: teoremi di inversione e di continuità di Lévy (*). Teorema centrale del limite di Lévy (++). 4

5 Capitolo 11: catene di Markov Lezioni: 12/5, 17/5, 18/5, 19/5, 24/5, 25/5, 31/5, 7/6, 8/6 (17h) 1. Definizione: catena di Markov, proprietà di Markov. 2. Teorema di esistenza catena dati (X, P ) e ν distribuzione iniziale (++) (senza la dimostrazione della numerabile additività della probabilità sull algebra dei cilindri). 3. Classificazione degli stati: relazione, relazione, classi irriducibili, classi assorbenti, stati ricorrenti, transitori, ricorrenti positivi, zeroricorrenti. Funzioni generatrici G e F, loro proprietà. Condizioni equivalenti alla ricorrenza (probabilità di visitare i.v., numero medio di visite...). 4. Periodo di una classe irriducibile, proprietà. 5. Caso finito: regolarità. Condizione equivalente alla regolarità. Distribuzione al tempo n. Misure stazionarie. Misure reversibili. Teorema ergodico (++). Tempo speso mediamente in uno stato, tempo medio di ritorno. 6. Teorema ergodico caso periodico irriducibile (*). Caso non irriducibile: problemi di assorbimento. 7. Caso infiniti stati: teorema ergodico (*). Esempio della passeggiata sugli interi e sull albero omogeneo. Dei risultati con (*) non è stata fatta (o comunque non è richiesta) la dimostrazione. I risultati con (++) sono invece quelli di cui è importante conoscere la dimostrazione. 5