Esame di Calcolo delle Probabilità del 11 dicembre 2007 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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1 Esame di Calcolo delle Probabilità del dicembre 27 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. Es. 2 Es. Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

2 Esercizio. Sia (Ω, A, P) uno spazio probabilizzato, e B una sotto-σ-algebra di A. Sia inoltre Q << P, con Z := dq dp.. Dimostrare che B := { = } B. 2. Dimostrare che Q(B) =.. Dimostrare che, per ogni variabile aleatoria reale limitata X, è ben definita L := E P[XZ B] 4. Dimostrare che per ogni A B vale E Q [X A ] = E Q [L A ]. 5. Dedurne che vale la formula di Bayes generalizzata E Q [X B] = E P[XZ B] Esercizio 2. Il tempo di funzionamento (in giorni) di un componente prima di guastarsi è una variabile aleatoria di densità f(x) := 2x (,) (x) rispetto alla misura di Lebesgue. Supponiamo che appena questi componenti si guastano vengano rimpiazzati, e denotiamo con X i il tempo di vita dell i-esimo componente, e con S n := n i= X i il momento dell n-esimo guasto.. Calcolare E[X i ]. 2. Supponendo che le (X i ) i siano indipendenti, calcolare il tasso di guasto a lungo termine n r := lim n. Quanti componenti sono necessari perchè la scorta, con probabilità pari al 9%, sia sufficiente per almeno 5 giorni? Esercizio. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta f(x, y) := x exp ( x 2 ) 8π x2 y 2, x, y. Trovare le densità marginali di X e Y. 2. Trovare la legge di Y condizionale a X.. Calcolare E[Y X]. Esercizio 4. Su un ponte, ogni cinque camion quattro sono seguiti da un automobile, mentre una automobile su sei è seguita da un camion.. Modellizzare il fenomeno con una catena di Markov (X n ) n a valori nell insieme {A, C}, specificandone la matrice di transizione. 2. Supponiamo che sia appena passato un auto, e definiamo S n τ := inf{n X n = A} come il tempo da attendere perchè passi la prossima auto. Calcolare P{τ = n X = A} per ogni n.. Che proporzioni ci attendiamo, per n grande, per le auto e i camion?

3 Soluzioni Esercizio.. Per definizione di speranza condizionale, è B-misurabile. Questo significa che per ogni A B(), { A} B; se prendiamo A = {}, allora abbiamo che B = { = } B. 2. Sfruttando la definizione di Q e le proprietà della speranza condizionale abbiamo Q(B) = Z dp = E P [ B Z] = E P [E P [ B Z B]] = E P [ B ] = B poichè B.. Siccome Z, allora P-quasi certamente; inoltre per il punto 2., > Q-quasi certamente. Inoltre, siccome Z L (Ω, A, P) e X è limitata (chiamiamo K una costante che la limiti), abbiamo che XZ L (Ω, A, P); infatti E P [ XZ ] = E P [ X Z] KE P [Z] = K < + Allora è ben definita E P [XZ B]; di conseguenza possiamo definire la variabile aleatoria L := E P[XZ B] che rimane ben definita Q-quasi certamente. 4. Per ogni A B, sfruttando la definizione di speranza condizionale e la proprietà di proiezione abbiamo E Q [L A ] = E P [L A Z] = E P [E P [L A Z B]] = E P [L A ] = [ ] EP [XZ B] = E P A = E P [E P [XZ B] A ] = E P [XZ A ] = E Q [X A ] 5. Siccome L è B-misurabile, per l unicità della speranza condizionale il punto 4. significa che L = E Q [X B], e segue la formula. Esercizio 2.. Dato che le X i sono variabili aleatorie assolutamente continue e limitate, la loro speranza si calcola come [ ] 2 E[X i ] = x 2x dx = x = 2 2. Siccome le (X i ) i sono i.i.d. e in L, per la legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov- Khintchine abbiamo che S n /n E[X i ] = 2 quasi certamente. Per le proprietà della convergenza quasi certa, abbiamo che r = lim n n S n = S n lim n n = 2 = 2

4 . Innanzitutto calcoliamo E[X 2 i ] = x 2 2x dx = [ ] 2 4 x4 = 2 e quindi Var [X i ] = E[Xi 2 ] E[X i ] 2 = ( 2 2 )2 =. Dato che sicuramente X 8 i, abbiamo che sicuramente S n 5 implica n 5, e quindi n dovrebbe essere abbastanza grande da poter applicare il teorema limite centrale. Abbiamo allora S n ne[x i ].9 = P{S n 5} = P nvar [Xi ] 5 2n Φ n n 8 n dove Φ è la funzione di ripartizione di una legge N(, ). Da questo segue Φ 5 2n. n 8 cioè 5 2n q. = q.9 =.29 n 8 e quindi 5 2n =.29 2 n =.29 2n =.99 n 2 isolvendo l equazione di secondo grado in n, si trovano le soluzioni n =.75±29. 4 Siccome chiaramente bisogna prendere la soluzione positiva, si ha n 7.5 e n = Ne segue che per n 57 si ha la condizione richiesta. Esercizio.. Per trovare le densità marginali procediamo come segue. Innanzitutto notiamo che sia X che Y sono simmetriche. Una versione della densità marginale di X è data da f X (x) = f(x, y) dy = x 2 e x e 2 x2 y 2 dy = x 2 e x x = 2 2 e x se x, mentre f X () = f(, y) dy = dy =. Una versione della densità marginale di Y è data da + x f Y (y) = f(x, y) dx = 2 2 exp + = e x 2y 2 e 2 (x y + y )2 dx = = e 2y 2 + / y = e 2y 2 ( [ = u y 2 y e 2 u2 du = y 2 e e 2y 2 y 2 y Φ ] + 2 u2 y ) /y ( y ( x 2 x2 y 2 ) + / y e 2 u2 du dx = ) =

5 dove abbiamo usato il cambio di variabile u := x y + / y e denotiamo con Φ la funzione di ripartizione di una legge N(, ). 2. Innanzitutto notiamo che f X per ogni x. Definiamo quindi la famiglia di leggi (ν x ) x, dove ν x ha densità, rispetto alla misura di Lebesgue, data da f Y X (y x) := quindi ν x = N(, x 2 ). f(x, y) f X (x) = x 8π exp ( x 2 x2 y 2) = 2 e x. Basta utilizzare la formula E[Y X] = g(x), dove g(x) := y dν x (y) = y exp ( 2 ) x2 y 2 dy = x 2 x 2 exp ( 2 ) x2 y 2 che si può anche ricavare dal fatto che la media di una variabile aleatoria Y che abbia una legge N(, x 2 ) è nulla. Esercizio 4.. Definiamo la catena di Markov (X n ) n con spazio degli stati E := {A, C} (con significato ovvio) e nucleo N(x, {y}) := p xy, con P = (p xy ) x,y E = 2. In questo caso la legge iniziale è µ = δ A. Se n 2, abbiamo P{τ = n X = A} = P{X =... = X n = C, X n = A X = A} = = p AC p n 2 CC p CA = 6 4 ( ) n 2 = 2 ( ) n dove abbiamo usato le proprietà delle catene di Markov. Per n = abbiamo invece P{τ = } = P{X = A X = A} = p AA = 5 6. Dato che p xy > per ogni x, y {A, C}, P è regolare e quindi esiste un unica misura invariante π, con la proprietà che X n π per ogni legge iniziale. Per trovarla risolviamo il sistema π = πp, che ci dà π A = 5 6 π A π C π C = 6 π A + 5 π C che implica π 6 A = 4π 5 C. Siccome cerchiamo una misura π che sia anche di probabilità, imponendo π A + π C = troviamo la soluzione π = ( 24, 5 )

6 Esame di Calcolo delle Probabilità del dicembre 27 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu) Hanno superato la prova: Bernardi Cinzia Lazzaretti Anna Moressa Mirto 9.5 Spimpolo Doris 9 + Trevisan Marco 2.5 Visione compiti corretti, registrazione voto e/o orali: giovedì dicembre ore 4., oppure lunedì 7 ore nel mio studio.