Studente: Matricola: Soluzione. V usando la disuguaglianza di Chebyschev, per n sucientemente grande segue,

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1 Es Es 2 Es 3 Es 4 Tot Secondo appello luglio Calcolo delle probabilità 2 luglio 29 Studente: Matricola: Vero o falso Esercizio ( pti). Si dica, motivando la propria risposta, se le seguenti aermazioni sono vere o false:. siano X n variabili aleatorie tali per cui E[X n ] a e Var[X n ], per n con a R, allora X n converge in probabilità a X = a. 2. siano A e B eventi incompatibili, tali per cui P(A B) = ; si supponga che inoltre P(A) = P(B) e che A B = Ω. Allora, per ogni evento C tale per cui vale P(C A) = P(C B) = 2, è vero che P(A C) = 2 ; 3. siano X e Y tale per cui Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ], allora è necessario che X e Y siano indipendenti; 4. sia X N (, σ 2 ), allora P( X > ) = 2P(X > ); 5. X v.a. tale per cui θ tale per cui φ X (θ) >. Soluzione. V usando la disuguaglianza di Chebyschev, per n sucientemente grande segue, P( X n a ɛ) P( Y n E[X n ] ɛ) Var[X n] ɛ 2. V dalle ipotesi si ha che P(A) = P(B) = 2, da cui applicando il teorema di Bayes segue P(C A)P(A) P(A C) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = = 2. F anché la relazione valga deve valere che Cov(X, Y ) =, tuttavia non è necessario che X e Y siano indipendenti anché Cov(X, Y ) = (si ricordi che invece è vero il viceversa); V dalla simmetria di X segue P( X > ) = P(X > ) + P(X < ) = P(X > ) + P( X > ) = 2P(X > )

2 F vale sempre φ X (θ). Page 2

3 Esercizi Esercizio 2 (8 pti). Siano P e Q due particelle che si muovono di moto rettilineo uniforme una in direzione dell'altra. Al tempo t = P si trova in = mentre Q in =. Inoltre P si muove con velocità V mentre Q con velocità W, dove V e W sono variabili aleatorie i.i.d. tali per cui V Ep(). Sia T l'istante in cui le due particelle si incontrano, e sia Y = T. (i) Si dimostri che Y Γ(2, ) con densità f Y (y) = ye y, y. (ii) si calcoli la densitàdi T ; (iii) si calcoli Cov(T, Y ); (iv) si mostri che (T, Y ) non ammette densità. [Hint: si ricordi che usando le leggi del moto, la posizione (t) al tempo t di una particella che si muove con velocità v e con posizione iniziale, è data da (t) = + vt.] Soluzione. (i) al tempo t la posizione di P è data da V t, mentre la posizione di Q è W t. Uguagliando otteniamo T = V + W, Y = V + W, dacui usando la proprietà delle v.a. gamma segui la tesi; (ii) usando la funzione di ripartizione F T (t) = P(Y > t ) = ye y dy = t e t + e t, t da cui derivando f T (t) = t 3 e t, t. (iii) svolgendo i conti otteniamo Cov(T, Y ) = E[T Y ] ET EY = 2 =. (iv) siccome T Y =, denendo A = {(t, y) : t >, y = t } si ha che P((T, Y ) A) = ma A ha misura nulla da cui se esistesse f (T,Y ) f (T,Y ) (t, y)dtdy =, per cui non ammette densità. A Esercizio 3 (6 pti). Siano X e Y con densità congiunta { (, ), y (, f (X,Y ) (, y) = ), altrimenti. Si calcoli: Page 3

4 (i) le marginali di X e Y ; sono leggi note? (ii) X e Y sono indipendenti? (iii) si calcoli E[XY ]; cosa si può dire su Cov(X, Y )? Soluzione. (i) svolgendo i conti otteniamo e inoltre per cui X U([, ]). f X () = dy =, [, ], d = 2 y [, ], f Y (y) = y d = 2y y, 2 y <. (ii) non sono indipendenti, basta considerare gli eventi {X < 2 } e {Y > 2}. (iii) svolgendo i conti Invece, siccome E[XY ] = E[Y ] = per cui Cov(X, Y ) non è ben denita. 2 ydyd = 2. ydyd =, Esercizio 4 (6 pti). Si consideri una moneta non equilibrata con probabilità p (, ) di ottenere testa. Si supponga di lanciare la moneta X volte, dove X P o(λ), λ >, si supponga ogni lancio indipendente dagli altri. Siano T il numero di lanci con esito testa e C il numero di lanci con esito croce, si calcoli: (i) P (T = k X = n), k, n N; (ii) si calcoli la densità congiunta di (T, X); (iii) si calcoli P (T = k). Che distribuzione ha T? Soluzione. (i) la probabilità richiesta segue una distribuzione binomiale, ovvero ( ) n P(T = k X = n) = p k ( p) n k ; k (ii) usando la denizione di densità condizionata, otteniamo che p (T,X) (k, n) = p X (n)p T X (k n), da cui usando il fatto che X P o(λ) e il punto (i) otteniamo il risultato ( ) λ λn n e p k ( p) n k, ; n! k Page 4

5 (iii) possiamo ricavare la marginale usando la densità congiunta ottenuta al punto (ii), ovvero p T (k) = p (T,X) (k, n) = ( ) λ λn n e p k ( p) n k = n! k n n k = e λ (λp) k m (λ( p) m ) m! = e λ (λp) k e λ( p) = e λp (λp) k, dove abbiamo usato il cambio di variabile m := n k e al passaggio seguente abbiamo usato la denizione dell'esponenziale tramite sommatoria. Segue immediatamente che T P o(λp). Page 5