Esercizi settimana 4. Esercizi applicati. Esercizio 1. Si considerino tre monete truccate, ognuna con probabilità 2 3

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1 1 Esercizi settimana Esercizi applicati Esercizio 1. Si considerino tre monete truccate, ognuna con probabilità 3 di ottenere testa. Se scegliete la prima moneta vincete 10 punti se esce testa e punti se esce croce. Se scegliete la seconda vincete punti sia che esca testa che croce. Se scegliete la terza vincete 3 punti se esce testa e 0 punti se esce croce. Voi e un avversario dovete scegliere una moneta e non potete scegliere la stessa moneta, ognuno lancerà la propria moneta e la persona che avrà ottenuto il punteggio più alto (in accordo con i punteggi precedenti) vincerà il montepremi. Preferite che sia il vostro avversario a scegliere per primo la moneta o che siate voi i primi a scegliere? Esercizio. Un moneta con probabilità di ottenere testa data da p (0, 1) viene lanciata ripetutamente. Siano m e n N due numeri fissati. A vince se esce testa almeno m volte prima che croce esca n volte; si calcoli la probabilità che A vinca. Esercizio 3. (i) Si consideri un urna contente 6 palline numerate e se ne estraggano con rimpiazzo. Sia X 1 la prima estrazione e X la seconda. Si calcoli la distribuzione di X 1, X e la distribuzione congiunta (X 1, X ) dell estrazione di palline con rimpiazzo. (ii) Si consideri la stessa urna del punto (i) contente 6 palline numerate e se ne estraggano questa volta senza rimpiazzo. Sia Y 1 la prima estrazione e Y la seconda. Si calcoli la distribuzione di Y 1, Y e la distribuzione congiunta (Y 1, Y ) dell estrazione di palline senza rimpiazzo. Soluzione. (i) I possibili valori di X 1 sono i numeri da 1 a 6. Lo stesso vale per la variabile aleatoria X. Chiaramente abbiamo che X 1 U(1,..., 6) e X U(1,..., 6), dove abbiamo indicato con U la distribuzione uniforme di valore 1 6. I possibili esiti del vettore X : (X 1, X ) sono invece tutte le coppie (i, j), i 1,,..., 6 e j 1,,..., 6. Le possibili combinazioni sono dunque 36 e siccome sono equiprobabili abbiamo che X (X 1, X ) U(1,..., 36). (ii) Come nel punto (i) avremo Y 1 U(1,..., 6) e Y U(1,..., 6), cambia però la densità congiunta della coppia (Y 1, Y ). Infatti abbiamo che ora risultati del tipo (i, i) non sono più possibili in quanto l estrazione avviene senza rimpiazzo. Dunque i possibili esiti ora sono le coppie (i, j), i, j 1,,..., 6, i j. In totale abbiamo quindi 30 esiti equiprobabili, la densità congiunta avrà dunque la seguente forma { 1 p (Y1,Y )(i, j) : 30 se i j, 0 se i j,.

2 (a) Densità X 1 U(1,..., 6) e X U(1,..., 6) 6 (b) Densità X (X 1, X ) U(1,..., 36) (c) Densità Y (Y 1, Y ) Esercizio. Si considerino due v.a. discrete X e Y tali per cui la loro densità congiunta sia data da {c ln µ m ν nm p (X,Y ) (n, m) n! m!, l, µ > 0, 0 < ν 1 se n, m 0,, (0.1) 0 altrimenti, e c è una costante reale tale per cui (0.1) è una densità di probabilità (i.e. n,m 0 p (X,Y ) 1). (i) Si calcolino le densità marginali. (ii) Si calcoli P (X n Y m), è una legge nota? (iii) Si dimostri che gli eventi {X n} e {Y m} sono indipendenti sse ν 1. Soluzione. (i) Siccome abbiamo la densità congiunta possiamo ricavare le densità marginale (si ricordi che non è in generale vero il viceversa!). In particolare abbiamo che, n 0, p X (n) m 0 p (X,Y ) (n, m) m 0 c ln µ m ν nm n! m! c ln n n! eµν, dove abbiamo sfruttato l espansione in serie dell esponenziale, ovvero e x n 0 x n n!.

3 3 In maniera analoga abbiamo che, m 0, p Y (m) n 0 p (X,Y ) (n, m) n 0 c ln µ m ν nm n! m! c µm m m! elν. (0.) (ii) Abbiamo che la densità di X sapendo Y è data da, n, m 0, p X Y (n, m) : P (X n Y m) p (X,Y )(n, m) p Y (m), (0.3) abbiamo dunque tutti gli elementi necessari a calcolare esplicitamente (0.3), ovvero unendo (0.1) e (0.) abbiamo che, n, m 0, p X Y (n, m) p (X,Y )(n, m) p Y (m) c l n µ m ν nm m n! m! (lν m ) n e lν c µm elνm n! m! Si può notare come la legge di X condizionata a Y m, m 0, corrisponda ad una legge Poisson di parametro lν m. (iii) Nel caso particolare di m n 0 abbiamo che, se X e Y fossero indipendenti, dovrebbe valere p (X,Y ) (0, 0) c p X (0) p Y (0) c e µ+l, ovvero In generale, per un m qualsiasi abbiamo che c e (µ+l). (0.) p (X,Y ) (0, m) c µm m! p X(0)p Y (m) ce µ c µm m m! elν. (0.5). Unendo ora (0.) e (0.5) abbiamo che sono valide { c e (µ+l) ;, µ m ν m! c e µ µm m!, elνm ν 1. Viceversa, se ν 1, tenendo conto di (0.), abbiamo che,, n, m 0, p (X,Y ) (n, m) e (µ+l) ln µ m ν n! m! µ ln µm e e l n! m! p X(n)p Y (m).

4 (a) Densità p (X,Y ) (b) Densità p X Y (c) Densità p X (d) Densità p Y Figura : l 1, µ 1, ν 1, c e 3 e m Esercizio 5. Si considerino dadi e X e Y due v.a. discrete. Sia X il numero di lanci necessari del dado 1 per ottenere la faccia 1 e sia Y il numero di lanci necessari del dado per ottenere la faccia 5 o la faccia 6. Si determinino le leggi di Z : max(x, Y ) e di W : min(x, Y ). Soluzione. Abbiamo che X Ge( 1 6 ) e Y Ge( 1 3 ), dove abbiamo indicato con Ge la distribuzione geometrica. Abbiamo inoltre che X e Y sono indipendenti. Calcoliamo prima la legge di Z. Indichiamo con F Z la funzione di ripartizione di Z, dunque abbiamo che per ogni n 1 F Z (n) P (Z n) P (X n, Y n) P (X n) P (Y n) F X (n)f Y (n). (0.6) Siccome X e Y sono v.a. geometriche abbiamo che la loro funzione di ripartizione è data da F X (n) 1 (1 1 6 )n, F Y (n) 1 (1 1 3 )n. Dunque abbiamo che l equazione (0.6) diventa F Z (n) F X (n)f Y (n) (1 (1 1 6 )n )(1 (1 1 3 )n ) Possiamo dunque calcolare, n 1, p Z (n) P (n 1 < Z n) F Z (n) F Z (n 1) ( 1 5 n ) ( 1 n ) ( n 1 ) ( 1 3 ( 1 5 n ) ( 1 n ). (0.7) 6 3 n 1 ) 1 n n n 1.

5 5 Per quanto riguarda W possiamo sfruttare il fatto che, n 1, F W (n) P (W n) P (min(x, Y ) n) 1 P (min(x, Y ) > n) 1 P (X > n) P (Y > n) 1 (1 F X (n)) (1 F Y (n)) 1 (1 1 6 )n (1 1 3 )n Procedendo come prima abbiamo ora che Si noti che W Ge( 9 ). p W (n) P (n 1 < W n) F W (n) F W (n 1) n n n 1. n (a) Densità X Ge( 1 ) (b) Densità Y Ge( 1 ) (c) Densità Z (d) Densità W Ge( 9 ) Esercizio 6. Siano X e Y due v.a. discrete indipendenti tali che X B(1, 1 ) e Y B(1, 1 ), n 0. (i) Si calcoli la legge di X + Y ; (ii) Si calcoli la legge di X Y ; (iii) Si dica se le due v.a. X + Y e X + Y sono indipendenti.

6 6 Soluzione. (i) Abbiamo che essendo X B(1, 1 ) la sua densità discreta sarà della forma p X (0) 1, p X(1) 1, e lo stesso vale per Y (si ricordi che p X (k) : P(X k)). Abbiamo dunque che, siccome X e Y possono assumere solo valori {0, 1}, p X+Y (0) 1, p X+Y (1) 1, p X+Y () 1, dove abbiamo implicitamente sottinteso che p X+Y (k) 0 per k 0, 1,. Si può immediatamente vedere che X + Y B(, 1 ). (ii) Ancora per il fatto che X e Y assumono valori {0, 1}, anche X Y può assumere solo valori {0, 1}, procedendo in maniera analoga al punto precedente abbiamo che p X Y (0) P(X 0)P(Y 0) + P(X 1)P(Y 1) 1, p X Y (1) P(X 0)P(Y 1) + P(X 0)P(Y 1) 1, dunque abbiamo dimostrato che X Y B(1, 1 ). (iii) possiamo dimostrare che le v.a. non siano indipendenti, infatti 0 P(X + Y 0, X Y 1) P(X + Y 0)P( X Y 1) 1 1. Esercizio 7. Si lanci ripetutamente una moneta equilibrata, si indichi con X i l esito dell i esimo lancio. Sia inoltre T n il numero di teste e C n in numero di croci ottenute in n lanci. Si mostri che { n! n P(T n t, C n c) t!c!, t 0,..., n, c 0,..., n, t + c n, 0 altrimenti. Si dica se T n e C n siano indipendenti. Supponiamo ora di fermarci ad un istante S P o(λ). Si indichi ora con T il numero di teste e con C il numero di croci ottenute prima dell istante S, si calcoli p (T,C). Sono indipendenti? Soluzione. La variabile aleatoria X i può assumere valore 0 (croce) con probabilità 1 e valore 1 (testa) sempre con probabilità 1. Abbiamo quindi che T n da cui segue che T n + C n n e quindi n X i, C n n 1 X i, P(T n t, C n c) 0, t + c n.

7 7 Inoltre abbiamo che T n B(n, 1 ) e che C n B(n, 1 ). Possiamo infine notare che richiedere che T n t e che C n c, sotto l ipotesi aggiuntiva che t+c n, è uguale a richiedere solamente T n t, quindi {( n 1 n P(T n t, C n c) P(T n t) t) n! t!c! n, t 0,..., n, c 0,..., n, t + c n, 0 altrimenti. Abbiamo chiaramente che T n e C n non sono indipendenti, infatti per un qualsiasi n 1 abbiamo che 0 P(T n n, C n n) P(T n n)p(c n n) > 0. Sia ora S P o(λ), quindi abbiamo che P((T t, C c) S n) P((T n t, C n c) S n) P(T n t, C n c), da cui possiamo calcolare la probabilità totale P(T t, C c) n 0 P(T t, C c S n)p(s n) ( ) t+c P(T t+c t, C t+c c)p(s t + c) e λ λ t! c! ( (λ ) ) ( t (λ e ) ) λ c e λ P(T t)p(c c), t! c! dove possiamo riconoscere nell ultima espressione il prodotto di due densità P o( λ ) da cui segue l indipendenza di T e C. Esercizio 8. Un messaggio è composto da una serie di bit binari aventi valori {0, 1}. Si suppone che ognuno di essi possa essere distorto, ovvero essere cambiato da 0 a 1 o viceversa, con probabilità p (0, 1), indipendentemente dagli altri. Si calcoli la probabilità che un messaggio di lunghezza n giunga senza che nessun bit sia distorto. Si calcoli ora la probabilità che un messaggio di lunghezza N giunga senza essere distorto, dove N GeoM(q), q [0, 1]. Esercizi teorici Esercizio 9. Sia X P o(λ) e sia p(n; λ) la sua densità discreta, si dimostri che P(X n) 1 λ 0 p(n; x)dx. Esercizio 10. Sia X P o(λ), si dimostri che la densità discreta associata è una densità. Si trovi il valore n N per cui la densità associata assume il valore massimo e si dia una rappresentazione grafica della densità associata per alcuni valori di λ > 0. Suggerimento: si ricordi che vale l espansione per l esponenziale e x x n n!.

8 8 Esercizio 11. Sia X una v.a. discreta, si calcoli la legge delle seguenti v.a. X, X : max{x, 0} min{x, 0}. Esercizio 1. Siano X e Y due v.a. discrete e sia p X Y dimostri che p X Y p una densità discreta. la densità di X condizionata a Y, si Esercizio 13. Siano X e Y due v.a. discrete indipendenti di distribuzione geometrica con parametro p [0, 1]. (i) Si calcoli la legge di X + Y, è una legge nota? (ii) Si calcoli la legge di X sapendo che X + Y m, è una legge nota? Soluzione. (i) Si ricordi che in generale abbiamo che, k 0, p X+Y (k) : P (X + Y k) P (X n) P (Y k n) p X (n)p Y (k n). Ricordando che, essendo X e Y v.a. geometriche discrete abbiamo che la loro densità discreta è data da { p(1 p) k se k 0, p X (k) p Y (k) 0 altrimenti,. Abbiamo dunque che, k 0, p X+Y (k) p X (n)p Y (k n) (ii) La legge condizionale vale, m > k 0, p (1 p) k (k + 1)p (1 p) k. p X X+Y (k m) : P (X k X + Y m) P (X k, X + Y m) P (X + Y m). (0.8) Il denominatore nell equazione (0.8) l abbiamo calcolato nel punto (i), rimane dunque da calcolare il numeratore in (0.8). In particolare abbiamo che per m > k 0 P (X k, X + Y m) P (X k, Y m k) p X (k)p Y (m k) Dunque abbiamo che l equazione (0.8) diventa p X X+Y (k m) p(1 p) k p(1 p) m k p (1 p) m. p (1 p) m (m + 1)p (1 p) m 1 m + 1. Si noti che la legge di X condizionata a X+Y m è una variabile uniforme su {0, 1,,..., m 1, m}.

9 (a) Densità X G( 1 ) (b) Densità X + Y con p (c) Densità X X + Y U(1,..., 5) Esercizio 1. Siano X P o(λ 1 ) e Y P o(λ ), λ 1, λ > 0, v.a. discrete indipendenti, trovare la legge di X + Y. Soluzione. Si ricordi che una v.a. discreta X P o(λ) ha densità discreta (si ricordi che una v.a. discreta ammette una densità degenere che per analogia con il caso continuo viene denominata densità discreta, in seguito, per comodità, verrà usato solamente il termine densità senza specificare che si tratta di una densità discreta) λ λk {e p X (k) : P (X k) k! se k 0, 0 altrimenti,. Abbiamo quindi che, k 0, ( k ) p X+Y (k) : P (X + Y k) P {X n, Y k n} p X (n)p Y (k n) e (λ1+λ) λ n 1 n! e λ1 λk 1 k! (k n)! k! e (λ1+λ) k! λ k n Usando ora il binomio di Newton abbiamo che P (X n) P (Y k n) λ k n k! e λ (k n)! e (λ1+λ) λ n 1 λ k n n! (k n)! k! n!(k n)! λn 1 λ k n e (λ1+λ) k! p X+Y (k) : P (X + Y k) e (λ1+λ) (λ 1 + λ ) k. k! ( ) k λ n 1 λ k n. n

10 (a) Densità X P o(10) (b) Densità Y P o(5) (c) Densità X + Y P o(15) Quindi abbiamo dimostrato che X + Y P o(λ 1 + λ ). Esercizio 15. Sia n N, definiamo variabile uniforme di parametro n, denotata X U(1,..., n) la variabile aleatoria con densità discreta definita da p X (k) 1, k 1,,..., n. n Siano X U(1,..., n) e Y U(1,..., m), n, m N. Supponiamo che siano indipendenti, si calcoli la legge di X + Y e se ne dia una rappresentazione grafica. Soluzione. Utilizzando la formula per la densità della somma di v.a. insieme alla densità per v.a. uniformi, otteniamo Si veda la figura 6. p X+Y (k) : P (X + Y k) P (X i) P (Y k i) i k 1 nm k min{n, m}, min{n,m} nm min{n, m} < k max{n, m}, n+m+1 k nm max{n, m} < k m + n.

11 11 n,m6 n,m Figura 6: Densità X + Y Esercizio 16. Siano X e Y due variabili aleatorie i.i.d. con densità p X (1) p X ( 1) p Y (1) p Y ( 1) 1, p X(k) p Y (k) 0 se k 1, 1. Sia Z XY. Si dimostri che X, Y e Z sono a due a due indipendenti. Sono indipendenti? Soluzione. Sappiamo dalle ipotesi che X e Y sono indipendenti. Dimostriamo ora che X e Z sono indipendenti. Siccome X può assumere solo i valori 1 e 1 otteniamo che P (X 1, Z 1) P (X 1, Y 1) P (X 1) P (Y 1) 1 P (X 1) P (Z 1), P (X 1, Z 1) P (X 1, Y 1) P (X 1) P (Y 1) 1 P (X 1) P (Z 1), P (X 1, Z 1) P (X 1, Y 1) P (X 1) P (Y 1) 1 P (X 1) P (Z 1), P (X 1, Z 1) P (X 1, Y 1) P (X 1) P (Y 1) 1 P (X 1) P (Z 1). Conti analoghi mostrano che anche Y e Z sono indipendenti. Possiamo invece dimostrare che X, Y e Z non sono globalmente indipendenti, infatti abbiamo che P (X 1, Y 1, Z 1) 1 P (X 1) P (Y 1) P (Z 1). 8

12 1 Esercizio 17. Siano X e Y due variabili aleatorie i.i.d. con densità Si calcoli: (i) P(min{X, Y } k); (ii) P(X > Y ); (iii) P(X Y ); (iv) P(X > CY ), C N; (v) P(X KY ), K R; p X (k) p Y (k) k, k 1,,.... Esercizio 18. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con densità congiunta Si calcoli: p (X,Y ) (x, y) (i) la costante C affinché p sia una densità discreta; (ii) le densità marginali p X e p Y ; (iii) si calcoli la legge di X + Y e di X Y. C (x + y 1)(x + y)(x + y + 1), x, y 1. Soluzione. (i)+(ii) calcoliamo prima la densità marginale p X. Abbiamo che C p X (x) P (X x, Y y) (x + y 1)(x + y)(x + y + 1) y1 y1 La densità marginale p Y ( C C x(x + 1) C y1 ) (x + y)(x + y + 1) ). 1 (x + y 1)(x + y) 1 ( 1 x 1 x + 1 si calcola con conti analoghi. Sommando ora per x 1, e impostando tale somma uguale a 1, otteniamo 1 P (X x) P (X x, Y y) x1 da cui segue C. x1 y1 x1 ( C 1 x 1 ) C x + 1,

13 13 (iii) Sia z, allora abbiamo che p X+Y (z) P (X + Y z) P (X k, Y z k) z(z + 1). k1 Sia ora invece z 0, calcoliamo la densità di X Y come somma delle v.a. X e Y usando la formula della convoluzione discreta. Otteniamo p X Y (z) P (X Y z) P (X k, Y z k) P (X k + z, Y k) k1 k1 1 (k + k + z 1)(k + k + z)(k + k + z + 1) k1 ( ) 1 (k + z 1)(k + z 1 (k + z)(k + z + 1) k1 ( 1) k+1 (k + z)(k + z + 1). k1 Per simmetria, se z 0, otteniamo P (X Y z) P (X Y z) P (X Y z ). Esercizio 19. Siano X 1,..., X n variabili aleatorie indipendenti, si definiscano Z : max (X 1,..., X n ), W : min (X 1,..., X n ), e siano F Xi, F Z e F W le funzioni di ripartizione associate a X i, Z e W. Allora n F Z (z) F Xi (z), F W (w) 1 n (1 F Xi (z)). Soluzione. Si noti che vale l uguaglianza n {Z z} {X i z}, da cui segue, usando l indipendenza di X 1,..., X n, ( n ) n n F Z (z) : P (Z z) P {X i z} P (X i z) F Xi (z).

14 1 Inoltre vale, con un ragionamento analogo che n {W z} {X i w}, da cui segue, usando l indipendenza di X 1,..., X n, ( n ) n n 1 F W (w) P (W > w) P {X i > w} P (X i > w) (1 F Xi (w)). 0 Legenda: : esercizio da sapere all esame; : esercizio difficile