Studente: Matricola: 0 x 1 n, x x 1 n, che converge alla funzione di riparatizione della costante 0;

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1 Es 1 Es Es 3 Es Tot Terzo appello settembre Calcolo delle probabilità 13 settembre 18 Studente: Matricola: Vero o falso Esercizio 1 (1 pti). Si dica, motivando la propria risposta, se le seguenti aermazioni sono vere o false: 1. sia (X n ) n 1 una successione di v.a. tale per cui X n U( 1 n, 1 n ), allora X n L per n ;. siano A e B eventi indipendenti, e sia C un evento indipendente da A, allora A e B C sono indipendenti; 3. siano A e B tali per cui A B =, allora P(A) P(B c );. sia X U( a, 1 + a ), allora a > tale per cui E[X3 ] = ; 5. sia X una VAAC a valori in R con densità f X (x) e sia m > una costante, allora la variabile aleatoria Y := max(x, m) ammette densità; Soluzione. V la funzione di ripartizione di X n è data x 1 n, n F Xn (x) = x + 1 x [ 1 n, 1 n ], 1 x 1 n, che converge alla funzione di riparatizione della costante ; F Si consideri Ω = {1,, 3, } con la probabilità uniforme e siano A = {1, }, B = {1, 3} e C = {1, }. Allora segue P(A) = P(B) = P(C) = 1. Le ipotesi di indipendenza sono vericate in quanto P(A B) = P({1}) = 1 = 1 1 = P(A)P(B), P(A C) = P({1}) = 1 = 1 1 = P(A)P(C).

2 Tuttavia otteniamo che P(A (B C)) = P({1}) = = P(A)P(B C). V segue notando che A B c e dalle proprietà della misura di probabilità segue la tesi; V per a = X è simmetrica per cui E[X 3 ] = ; F si consideri X U([, 1]) e m = 1, allora la funzione di ripartizione di Y è data da y < 1, 1 F Y (y) = y y < 1, 1 y 1. Essendo F Y discontinua in y = 1 segue che Y non ammette densità. Page

3 Esercizi Esercizio (6 pti). Il tempo d'attesa in minuti tra la ricezioni di due chiamate consecutive ricevute da un centralino A puà essere modellato con una v.a. di Poisson X di parametro λ > ; si può supporre che il tempo di attesa trascorso tra una chiamata e l'altra sia indipendente dai tempi d'attesi per le chiamate successive. Possiamo supporre lo stesso per un altro centralino analogo B, considerando una v.a. di Poisson Y di parametro ν >. (i) la probabilità che arrivi una chiamata al centralino A prima che arrivi al centralino B; (ii) non arrivi nessuna chiamata per 5 minuti; (iii) al centralino A arrivino al massimo 3 chiamate nella prime due ore. (I risultati possono essere lasciati espressi in forma di serie.) Soluzione. (i) dobbiamo calcolare P(X < Y ) = P(X < Y Y = n)p(y = n) = P(X < n)p(y = n) = n= = e λ ν n 1 n=1 m= µ n λ k n! k!. n=1 (ii) si deve calcolare P(X > 5 Y > 5) = P(X > 5)P(Y > 5) = e λ ν n=5 m=5 µ n λ k n! k! (iii) il tempo di arrivo della quarta chiamata è dato da Z = X 1 + X + X 3, dove X i P o(λ) è il tempo di arrivo della chiamata i esima. Allora segue che Z P o(3λ) da cui P(Z > 1) = e 3λ n=1 λ n n!. Esercizio 3 (6 pti). Sia f (X,Y ) (x, y) = { x Cy x, [, 1], altrimenti ; (i) C tale per cui f è una densità; (ii) le marginali di X e Y ; sono indipendenti? (iii) E[X]. Page 3

4 Soluzione. (i) segue da cui segue C = x Cydsdy = 1 C, (ii) otteniamo f X (x) = x + 3ydy = x + 1, x [, 1], f Y (y) = x + 3ydx = y + 1, y [, 1], per cui possiamo concludere che non sono indipendenti. (iii) segue E[X] = 1 x + x dx = 7 1. Esercizio (8 pti). Si consideri una moneta equilibrata; se esce testa vinciamo 1 euro, se esce croce perdiamo 1 euro. Sia X la vincita al primo lancio e Y la vincita al secondo lancio. Si deniscano A = X + Y, B = X Y, C = XY. (i) la distribuzione di A, B e C; (ii) A e C sono indipendenti? (iii) X e C sono indipendenti? (iii) sia Z indipendente da X a valori reali, e sia U := min(x, Z), si calcoli la funzione di ripartizione di W in funzione della funzione di ripartizione di Z, F Z. Soluzione. (i) segue che A {,, } con P(A = ) = 1, P(A = ) = 1, P(A = ) = 1. B ha la stessa distribuzione di A notando che B = X + ( Y ) e notando che Y è simmetrica. Inne si ha che C { 1, 1} con P(C = 1) = 1, P(C = 1) = 1. Page

5 (ii) non sono indipendenti, infatti = P(A =, C = 1) P(A = )P(C = 1) >. (iii) sono indipendenti infatti svolgendo i conti otteniamo P(X = 1, C = 1) = 1 = P(X = 1)P(C = 1), P(X = 1, C = 1) = 1 = P(X = 1)P(C = 1), P(X = 1, C = 1) = 1 = P(X = 1)P(C = 1), P(X = 1, C = 1) = 1 = P(X = 1)P(C = 1). (iv) si ha che F W (w) = P(W w) = 1 (P(X > w))(1 P(Z w)), da cui usando la funzione di riaprtizione di X segue F Z (w) w < 1, 1 F W (w) = (1 + F Z(w)) 1 w < w, 1 w 1. Page 5