(iii) sia Y := X 2, si trovi la distribuzione di Y. (i) anché (0.1) sia una densità di probabilità deve vericarsi. 1 = Cxe x2. 2 1[0, ] (x)dx = Cxe x2

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1 1 Esercizi settimana 6 Esercizi applicati Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua (VAAC) con densità Si calcoli: f X (x) = Cxe x2 2 1[, ] (x), x, C >. (.1) (i) la costante C > tale per cui la funzione in (.1) sia una densità di probabilità; (ii) sia g : [, 1], si trovi g tale per cui la v.a. g(x) sia una VAAC uniforme su [, 1]; (iii) sia Y := X 2, si trovi la distribuzione di Y. (i) anché (.1) sia una densità di probabilità deve vericarsi + Cxe x2 2 1[, ] (x)dx = 1, risolvendo dunque l'integrale, abbiamo che = Cxe x2 2 1[, ] (x)dx = Cxe x2 2 = Ce x2 2 = C. Si ha allora che per C = 1 la (.1) è una densità di probabilità. (ii) denotiamo con F X (x) la funzione di ripartizione associata a f in (.1). Sia dunque g : [, 1] invertibile, abbiamo che F X (x) = P (X x) = P (g(x) g(x)) = F g(x) (g(x)), (.2) se inoltre vogliamo che g(x) sia una VAAC uniforme su [, 1], dalla denizione funzione di ripartizione di VAAC uniforme, abbiamo che Unendo ora (.2) e (.) abbiamo che F g(x) (x) = P (g(x) x) = x. (.) F X (x) = g(x) = e dunque abbiamo trovato g(x) = 1 e x2 2. ye y2 2 dy = 1 e x2 2, (iii) sia ora F Y la funzione di ripartizione della v.a. Y := X 2, procedendo come al punto (ii) abbiamo che F Y (x) = P (Y x) = P ( X 2 x ) = P ( X x ) = F X ( x) = 1 e x 2. Si noti che la variabile aleatoria Y := X 2 è distribuita come Y Exp( 1 2 ).

2 2 Esercizio 2. Si considerino componenti elettroniche X 1, X 2, X. Il tempo di vita di ciascuna delle componenti elettroniche è distribuito come una VAAC esponenziale, in particolare abbiamo che X 1 Exp(λ), X 2 Exp(µ), X Exp(γ), λ > γ > µ. Si assumano X 1, X 2 e X indipendenti. (i) si considerino le tre componenti collegate in serie e sia T 1 il tempo di vita (aleatorio) del circuito elettrico così costruito. Si calcoli la legge di T 1 ; (ii) si consideri ora il circuito del punto (i) e si immagini di collegarne uno uguale in parallelo, sia ora T 2 il tempo di vita (aleatorio) del circuito elettrico. Si calcoli la legge di T 2 ; (i) si ricordi che per una VAAC Y Exp(α), denotando con f la sua densità e con F la funzione di ripartizione, si ha che αe αy y, f Y (y) = y <,, F 1 e αy y, Y (y) = y <,. Il tempo di vita T 1 del circuito elettrico costruito mettendo in serie i tre componenti può essere modellizato come T 1 = min(x 1, X 2, X ). Considerando dunque la funzione di ripartizione della v.a. T 1 abbiamo che, per x, 1 F T1 (x) = P(min(X 1, X 2, X ) > x) = P(X 1 > x)p(x 2 > x)p(x > x) = = (1 F X1 (x))(1 F X2 (x))(1 F X (x)), utilizzando ora la funzione di ripartizione per la VAAC con distribuzione esponenziale si ha che F T1 (x) = (λ + µ + γ)e (λ+µ+γ)x. Si noti che, denotando α := λ + µ + γ, si ha T 1 Exp(α). (ii) collegando ora in parallelo due componenti come nel punto (i), abbiamo che la vita del nuovo circuito elettrico T 2 può essere descritta come T 2 = max(min(x 1, X 2, X ), min(x 1, X 2, X )) = max(w, Z). Considerando ora la funzione di ripartizione di T 2 abbiamo che, per x, F T2 (x) = P (max(w, Z) x) = P (W x) P (Z x) = F W (x)f Z (x), siccome dal punto (i) sappiamo che W, Z Exp(α), allora segue che F T2 (x) = (1 e αx ) 2, x, α := λ + µ + γ. (.4) Abbiamo ora la funzione di ripartizione di T 2, possiamo quindi ricavare la densità di T 2 derivando la funzione di ripartizione trovata in (.4), f T2 (x) = F T 2 (x) = 2α(1 e αx )e αx. (.5)

3 Esercizio. Si consideri la seguente funzione Ct f(t) = 2 e t 4 t >, t. (i) si trovi C tale per cui f sia una densità di probabilità e si dia una rappresentazione graca di f ; (ii) sia T una v.a. che descrive il tempo di vita di una lampadina e sia assuma che T abbia densità f. Qual è la probabilità che la lampadina sia ancora in funzione a t =? (i) anché sia una densità di probabilità deve valere Ct 2 e t 4 dt = 1, da cui otteniamo da cui segue c = 4. (ii) calcoliamo 1 = P(t > ) = Ct 2 e t 4 4 dt = C e t 4 4 t2 e t 4 dt = e t 4 = C 4, = e Esercizio 4. Sia X U(, 1). Si calcolino le densità di Y := 1 λ log X, Z := 1 λ log X, con λ >. Sia G Y la funzione di ripartizione di Y e F la funzione di ripartizione di X. Allora abbiamo per t > G Y (t) = P(Y t) = P ( 1λ ) log X t = P ( X e λt) = 1 e λt. Un procedimento simile mostra che G(t) = per t <. Si noti che Y Exp(λ). Un procedimento analogo mostra che, denotando con G Z la funzione di ripartizione di Z, per t, è data da ( ) G Z (t) = P Y t = P ( Y t ) = 1 e λt. Segue dunque che la densità g Z è data da g Z (t) = F Z(t) = λt 2 e λt.

4 4 Esercizio 5. Sia X una v.a. con densità data da θt θ 1 < t 1, f(t) = altrimenti, con θ >. Si calcolino: (i) la funzione di ripartizione F di X; (ii) P(X ) e P(X 1 ); (iii) la legge di Y := log X. Esercizio 6. Sia X una variabile aleatoria con densità f(t) = λ 2 e λ t, con λ +. Una v.a. con densità data da f viene chiamata v.a. di Laplace. Si calcoli la legge di αx e di X, α. Sia α >, allora segue che ( ) t P (αx t) = F X, α dove F X è la funzione di ripartizione di X. Derivando otteniamo la densità Conti analoghi mostrano per α < g(t) = λ 2α e λ α t. g(t) = λ 2 α e λ α t, da cui ricaviamo che αx ha distribuzione di Laplace di parametro Per quanto riguarda X abbiamo che P( X x) = λ 2 da cui si può notare che X Exp(λ). x λ α. e λ t dt = 1 e λx, Esercizio 7. Siano X 1,..., X n v.a. i.i.d. con legge U(, 1). (i) sia W := minx 1,..., X n }. Si calcoli la funzione di ripartizione e la densità di W ; (ii) sia Z := maxx 1,..., X n }. Si calcoli la densità di Z e si mostri che Z ha la stessa legge di 1 Z.

5 5 (i) si ottiene che P(W t) = 1 (1 t) n, da cui derivando otteniamo la densità f W (t) = n(1 t) n 1. (ii) in maniera analoga otteniamo che da cui derivando otteniamo P(Z t) = t n, f Z (t) = nt n 1. Calcolando la legge di 1 Z otteniamo P(1 Z t) = P(Z 1 t) = t n. Esercizi teorici Esercizio 8. Sia X Exp(λ), λ > e sia m >. Sia Y := minx, m}. Si determini la funzione di ripartizione di Y e se ne dia una rappresentazione graca. Y ammette densità? Si ricordi che F X (t) = 1 e λt per t > e F X (t) = per t <. Otteniamo che t, F Y (t) = P(Y t) = 1 e λt t m, 1 t m. Si noti che da cui segue che F Y lim F Y (t) = 1 e λm 1 = lim F Y (t), t m t m + non è continua e pertanto Y non ammette densità. Esercizio 9. Quale delle seguenti sono funzioni di ripartizione: (i) (ii) (iii) F (x) = F (x) = F (x) = 1 e x2 x, x <. e 1 x x >, x. e x e x + e x, x. Esercizio 1. Si calcoli la costante C anché le seguenti siano densità:

6 6 legge arcseno f(x) = C (x(1 x)) 1 2, x (, 1); distribuzione extreme value f(x) = Ce x e x, x ; quadratica inversa f(x) = C(1 + x 2 ) m, x, m ; Esercizio 11. Sia X una v.a. con densità f e funzione di ripartizione F, si calcoli la legge di Y := αx, α. Si dimostri che X e X hanno la stessa legge se e solo se f(x) = f( x). Otteniamo, per α >, Derivando otteniamo Conti analoghi per α < mostrano che F Y (t) = P(Y t) = P(αX t) = F X ( t α ). g Y (t) = 1 α f X g Y (t) = 1 α f X ( ) t. α ( ) t. α isulta evidente che, se X e X hanno lo stessa legge, allora f(x) = f( x). Al contrario se vale f(x) = f( x), allora P( X x) = P(X x) = da cui la tesi. x f(y)dy = f( y)dy = f(y)dy = P(X x), Esercizio 12. Sia X una v.a. con densità f e sia Y una v.a. con densità g. Si dimostri che, α (, 1), la funzione h(x) := αf(x) + (1 α)g(x) denisce una densità. Chiaramente abbiamo che h(x), x. Inoltre abbiamo che h(x)dx = αf(x) + (1 α)g(x)dx = α f(x)dx + (1 α) g(x)dx = α + 1 α = 1. Esercizio 1. Sia X U(, 1), si trovi g tale per cui g(x) Exp(1). abbiamo che P(g(X) x) = P(X g 1 (x)) = 1 g 1 (x). Dunque abbiamo che P(g(X) x) = 1 e x, se e solo se g 1 (x) = e x, da cui segue g(x) = ln x. Alternativamente, si consideri x = P(X x) = P(g(X) g(x)) = 1 e g(x).

7 7 Ora considerando il membro di destra e il membro di sinistra dell'equazione precedente si ottiene x = 1 e g(x), da cui segue g(x) = ln(1 x). Esercizio 14. Sia X una v.a. Y := X. con densità f e funzione di ripartizione F, si calcoli la legge di Esercizio 15. Sia X U(, 1), si calcoli la legge di Y := ax + b, a >, b. Legenda: : esercizio da sapere all'esame; : esercizio dicile