Alcuni argomenti di Calcolo delle Probabilità Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati A.A. 2010/2011 1

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1 Alcuni argomenti di Calcolo delle Probabilità Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati A.A. 2010/ Queste dispense non comprendono tutti gli argomenti trattati nel corso. Inoltre per svariati altri motivi esse non possono mai sostituire i libri di testo consigliati. G. Sanfilippo

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3 Indice Capitolo 1. Affidabilità Affidabilità 2 iii

4 CAPITOLO 1 Affidabilità 1

5 1.1 Affidabilità Affidabilità Ricordiamo che, dato un n. a. X non negativo con distribuzione esponenziale di parametro λ, vale la seguente proprietà di assenza di memoria (1) P (X > x + y X > y) = P (X > x) = = = e λx, x > 0, y > 0. Dalla (1), considerando l evento contrario, si ottiene (2) e, più in generale, P (X x + y X > y) = P (X x) = = 1 e λx, x > 0, y > 0, P (x + y < X x + y + x X > y) = (3) = P (x < X x + x) = F (x + x) F (x) = = (1 e λ(x+ x) ) (1 e λx ) = = e λx (1 e λ x ), x > 0, y > 0. Se la distribuzione di X non è esponenziale le formule precedenti non valgono e, per fissati valori x, y, potrà risultare (4) P (X > x + y X > y) < P (X > x), oppure (5) P (X > x + y X > y) > P (X > x), o in casi particolari (6) P (X > x + y X > y) = P (X > x). Se X rappresenta il tempo aleatorio fino al guasto di una data apparecchiatura, il fatto che vale la (1) corrisponde all assenza di usura, mentre la (4) e la (5) corrispondono rispettivamente al caso di usura positiva (invecchiamento dell apparecchiatura) e di usura negativa (ringiovanimento dell apparecchiatura). Indicando con f(x) la densità di probabilità e con la funzione di sopravvivenza, se consideriamo l evento condizionato (x < X x + x X > x), con x abbastanza piccolo, si ha (sotto opportune condizioni) (7) G.Sanfilippo P (x < X x + x X > x) = P (x<x x+ x) P (X>x) = = x+ x x f(x)dx f(x) x = h(x) x.

6 1.1 Affidabilità 3 La funzione non negativa h(x) = f(x) si chiama funzione di rischio (o intensità, o tasso di avaria) di X e, come abbiamo visto, permette di approssimare P (x < X x + x X > x) con h(x) x. Assegnare f(x) è equivalente ad assegnare h(x). Infatti, data la densità f(x), si ha + f(x) = f(t)dt, h(x) = + x f(t)dt x Viceversa, data la funzione di rischio h(x), si ha e quindi Allora h(x) = f(x) = S (x), S (x) = Dln = h(x). ln = x 0 h(t)dt + c, dove c è una costante arbitraria. Ricordando che per un n.a. non negativo è S(0) = 1, si ha lns(0) = c = 0 e quindi (8) = e x 0 h(t)dt, da cui segue (9) f(x) = h(x) = h(x)e x 0 h(t)dt. La funzione di rischio, oltre ad essere non negativa, soddisfa la seguente proprietà + 0 h(x)dx = +. Infatti tale condizione segue dalla (8), osservando che lim = x + lim x + + x f(t)dt = 0. Osserviamo anche che, come appare dalla (7), se la funzione di rischio h(x) è crescente l apparecchiatura subisce un usura positiva (invecchiamento). Infatti, si ha P (x < X x + x X > x) = S(x+ x) = = = 1 e x+ x x h(t)dt, da cui, se h(x) è crescente, per x 1 < x 2 si ha Allora G.Sanfilippo x1 + x x 1 h(t)dt < x2 + x x 2 h(t)dt. 1 e x 1 + x x h(t)dt 1 < 1 e x 2 + x x h(t)dt 2,

7 1.1 Affidabilità 4 e quindi P (x 1 < X x 1 + x X > x 1 ) < < P (x 2 < X x 2 + x X > x 2 ). Con lo stesso ragionamento, si dimostra che se h(x) è decrescente c è usura negativa (ringiovanimento). Infine, il caso in cui h(x) è costante (assenza di usura) è caratteristico della distribuzione esponenziale. Infatti, se allora f(x) = λe λx, x 0, h(x) = f(x) = λe λx e = λ. λx Viceversa, se h(x) = cost = λ > 0, allora f(x) = h(x) = λe x 0 λdt = λe λx, x 0. Alcuni modelli particolari di funzioni di rischio sono: (a) h(x) = α + βx; (b) h(x) = cx β. Nel caso (a) (modello lineare), essendo h(x) 0, + 0 h(x)dx = +, segue che le costanti α e β devono essere non negative ed almeno una positiva, cioè devono soddisfare le condizioni α 0, β 0, α + β > 0. Pertanto, nel caso β > 0, h(x) è crescente, mentre nel caso β = 0, h(x) è costante e la corrispondente distribuzione è esponenziale di parametro α. Con il modello lineare, quindi, non si può rappresentare la situazione di usura negativa. Nel caso (b), dalle proprietà di h(x) segue intanto che dev essere c > 0. Inoltre, non può essere β 1, altrimenti, per ogni fissato x > 0, si avrebbe e quindi risulterebbe x 0 ct β dt = +, = e x 0 ctβ dt = 0, x > 0. Pertanto, dev essere β > 1 e possiamo distinguere tre casi: (i) 1 < β < 0; (ii) β > 0; (iii) β = 0. Nel primo caso h(x) è decrescente e quindi siamo in presenza di usura negativa; nel secondo caso h(x) è crescente (usura positiva); nel terzo caso h(x) è costante (assenza di usura) e la distribuzione è esponenziale di parametro c. G.Sanfilippo

8 1.1 Affidabilità 5 La distribuzione di probabilità corrispondente alla funzione di rischio h(x) = cx β è detta distribuzione di Weibull ed ha la seguente densità f(x) = cx β e x 0 ctβ dt = cx β e c β+1 xβ+1. G.Sanfilippo