Correzione di Esercizi 4 di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Mercoledì 4 maggio 2016

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1 Correzione di Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Mercoledì maggio 6 Chun Tian. Answer of Exercise Figure. Catena di Markov.. (a) Le classi di equivalenza e i loro periodi. Da Figure, si guarda che, nella catena di Markov lo stato comunica con lo stato perché p (), >, quindi. Invece, non esiste n tale che p (n), >, quindi. Allora gli stati e non sono equivalenti:. L altra parte, si vede facilmente che gli stati e sono equivalenti:. Quindi ci sono classi di equivalenza nella catena di Markov: C }, C, }, in qui C è massimale. Nella classe di equivalenza C, si vede che p (), >, quindi A+ n p(n), > } N,,,...}, allora il massimo comune divisore (MCD) degli elementi di A + è, quindi il periodo dello stato è. L altra parte, p(), >, quindi anche il periodo dello stato è. Dato il fatto che tutti gli stati di una classe di equivalenza hanno lo stesso periodo, allora: Il periodo della classe di equivalenza C è, Il periodo della classe di equivalenza C è. Date: May 9, 6, Version.. Uno stato s comunica con s, s s, se n p (n) s,s >. Due stati s e s si dicono equivalenti, s s, se s s e s s.

2 CHUN TIAN.. (b) Calcolare p (),. Usando la formula di Chapman-Kolmogorov: (.) p (m+n) i,j si può calculare che p (), k k p (m) i,k p(n) k,j p (),k p() k, p,p, + p, p, + p, p, (c) Calcolare lim n p (n),. Consideriamo solo la parte irriducibile (ha una sola classe di equivalenza) come Figure. Figure. Catena di Markov (la parte irreducible) Per questa parte della catena di Markov, abbiamo la matrice di transizione: [ ] Π p, p, p, p, Secondo la teorema ergodico, abbiamo i seguenti equazioni: oppure π 9 7, π 7. Allora, π + π π π + π π π + π lim n p(n), π 7. Answer of Exercise.. (a) Calcolare K. A partire dalla proprietà di densità: quindi K. π (θ)dθ Kθ dθ K In questo caso, π.

3 Correzione di Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Mercoledì maggio 6.. (b) Calcolare la densità a posteriori di Θ. π 7 (θ) π (θ) 7 P(E i Θ θ) i θ θ ( θ) θ 7 ( θ) Si nota che π 7 (θ) soddisfa la distribuzione beta a parametri α, β : Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) (.) β α,β (x) xα ( x) β x [, ] altrimenti quindi la constante di π 7 (θ) è quindi K Si può verificare che Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) Γ() Γ()Γ()! 9 7!! π 7 (θ) θ 7 ( θ) π 7 (θ)dθ θ 7 ( θ) dθ. Answer of Exercise La distribuzione gamma ha una densità: λ α Γ(α) (.) Γ α,λ (x) xα e λx x altrimenti.. Calcolare P( X ). Quando α, λ, la funzione di densità diventa xe x x p(x) Γ, (x) altrimenti La funzione ripartizione F (x) è: F (x) Quando x <, F (x), quando x, Allora F (x) x te t dt [te t x x x x p(x)dx td(e t ) ] e t dt [xe x + e t x] (xe x + e x ) e x ( + x) P( X ) F () F () e e

4 CHUN TIAN.. Calcolare P(X). Per la previsione, si può calculare a mano, a partire dalla densità: P(X) xp(x)dx x e x dx (dopo due volte dell integrale per parte) oppure usare direttamente la formula di previsione della distribuzione Gamma: P(X) α λ. Answer of Exercise Da un mazzo di 5 carte vengono distribuite ai giocatori A, B, C, D carte a ogni giocatore. Il numero dei casi possibili è sempre (.) #casi possibili 5!!!!! Dobbiamo distribuire 5 carte in gruppi, passo e passo, ma il ordine dei gruppi non è importante. Al primo passo, scegliamo carte fra tutte le 5 carte per il giocatore A, ci sono ( 5 ) scelte; poi scegliamo carte fra le reste 5 9 carte per il giocatore B, ci sono ( 9 ) scelte; poi scegliamo carte fra le reste 9 6 carte per il giocatore C, ci sono ( 6 ) scelte. Per il giocatore D, invece c?è solo una scelta: tiene tutte le reste carte, come ( ). Questi passi sono indipendenti, quindi il numero dei casi possibili è ( )( )( )( ) !!!!! È ovvia che se cambiamo il ordine dei giocatori, questo number non si cambia. Si guarda che, ci sono un altro approccio più semplice: facciamo solo permutazione! Si nota che ci sono 5! permutazioni o casi per mettere 5 carte in una linea, e poi definiamo che il giocatore A deve tenere le carte da n. a n., il giocatore B deve tenere le carte da n. a n.7, ecc. Ma in questo modo le carte tenute da ogni giocatore ha il ordine. Per eliminare questi ordini, dobbiamo dividere! 5! per ogni giocatore. Quindi al fine abbiamo!!!! casi possibili. Useremo l approccio ultimo per calcolare i numeri dei casi favorevoli... (a) la probabilità che il giocatore A abbia tutte carte di cuori. In questo caso, il giocatore A non ha nessun scelta: deve tenere tutte le carte di cuori. Poi dobbiamo distribuire le reste 9 carte in gruppi per i giocatori B, C e D, in ogni gruppo c è proprio carte. Quindi il numero dei casi favorevoli sarebbe #casi favorevoli allora la probabilità richiesta sarebbe P #casi favorevoli #casi possibili È una probabilità piccolissima. 9!!!! 5!!!!! 9!!!! 9!! 5! ( ) 5.57

5 Correzione di Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Mercoledì maggio (b) la probabilità che il giocatore A abbia assi e il giocatore B un asso. Facciamo due passi:. distribuire assi alle giocatori A e B.. distribuire le reste carte alle giocatori. In questo caso, il giocatore A ha ( ) scelte per le assi, poi il giocatore B non ha scelta, deve tenere il resto asso. (Anche possiamo fare il giocatore B scegliere un asso dai assi, ci sono ( ) scelte, e poi il giocatore A non ha scelta ma deve tenere i resti assi. Il risultato è uguale.) Poi, come sempre, dobbiamo distribuire le reste carte alle giocatori: il giocatore A ha bisogno di carte (perché ha già assi), il giocatore B ha bisogno di carte (perché ha già un asso), carte per i giocatori C e D. Quindi il numero dei casi favorevoli sarebbe #casi favorevoli allora la probabilità richiesta sarebbe P #casi favorevoli #casi possibili!!!!! 5!!!!!!!!!!!!! 5!!! Answer of Exercise La previsione e varianza a posteriori di Θ. Partendo dalla densità subordinata f(x θ) (x θ) exp ( ) π sappiamo che la varianza dei numeri aleatori è σ. Partendo dalla densità a priori di Θ π (θ) (θ + ) exp ( ) π sappiamo che la previsione a priori è µ, la varianza a priori è σ. Anche abbiamo che x i X + X + X Così usiamo la formula direttamente: µ µ σ xi + σ + n σ σ ( σ σ + n ) ( σ + σ 5 5 ) La densità a posteriori di Θ. Sappiamo che la densità a posteriori di Θ è anche normale in questa caso, quindi π (θ) exp ( (θ µ ) 7 ) πσ π exp 7 ( θ + 5 ) } 5 C è un errore in π (θ), ho scelto di cambiare il numero a.

6 6 CHUN TIAN 5.. Un altro metodo. π (θ) π (θ) f(x i θ) i (θ + ) exp ( ) exp ( (θ x ) ) exp ( (θ x ) ) exp ( (θ x ) ) exp ((θ + ) + (θ x ) + (θ x ) + (θ x ) )} exp ( )} 7θ + (6 (x + x + x ))θ exp ( 7θ + 5 )} 5 θ exp 7 ( θ + 5 )} 5 θ exp 7 ( θ + 5 ) } 5 allora 7 π (θ) π exp 7 ( θ + 5 ) } 5 poi la previsione e varianza vengono direttamente da π (θ), dato il fatto che è una densità normale. 5.. Un altra definizione di π (θ). Se invece abbiamo la densità a priori di Θ così: π (θ) (θ + ) exp ( ) π questa volta sappiamo che la previsione a priori è µ, la varianza a priori è σ. Così usiamo la formula direttamente: µ µ σ xi + σ + n σ σ allora ( σ σ + n ) ( σ + ) π (θ) (θ + exp ( π ) ) 6. Answer of Exercise 6 Per la distribuzione geometrica di parametro p., abbiamo che P(X k) p( p) k P(X) p σ (X) p p

7 Correzione di Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Mercoledì maggio (a) La previsione P(X). 6.. (b) La probabilità P( X ). P(X) p. P( X ) P(X ) + P(X ) + P(X ) 6.. (c) La probabilità P(X > ). P(X > ) P(X ) p( p) + p( p) + p( p) p( p) [ + ( p) + ( p) ]..7 ( ).599 P(X ) P(X ) p p( p) ( p).7.9 References [] F. Biagini and M. Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Springer-Verlag Italia, Milano, 6. address: chun.tian@unibo.it Dipartimento di Informatica - Scienza e Ingegneria

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