Variabili aleatorie unidimensionali: v.a. non notevoli discrete e continue indici, momenti e funzione generatrice dei momenti

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1 Sessione live #4 Variabili aleatorie unidimensionali: v.a. non notevoli discrete e continue indici, momenti e funzione generatrice dei momenti Lezioni CD: - 3-4

2 Esercizio Consideriamo le seguenti funzioni: x < x < x < x F( x) = Gx ( ) = 3 3 x < 4 < x < x 4 x 4. Quale delle due non è una funzione di ripartizione (FDR) e perchè?. quale è lo spettro della v.a. X rappresentata dalla FDR corretta? 3. Calcolare la funzione di probabilità 4. disegnare le funzioni di probabilità e di ripartizione Ricordiamo che si dice spettro di X l insieme dei valori assunti dalla v.a. X

3 Soluzione ) G non è una FDR in quanto non è continua da destra in x = ) Ricordando che, nota la FDR, lo spettro di una v.a. discreta è l insieme dei suoi punti X =,,4 di discontinuità ricaviamo immediatamente { } 3) Per definizione f( xi) = PX ( = xi) = F( xi) F( xi ). Applicando tale relazione otteniamo: f() = PX ( = ) = F() = 3 f() = PX ( = ) = F() F() = = f(4) = PX ( = 4) = F(4) F() = = 4 4 funzione di probabilità Funzione di Ripartizione 3/4 3/4 / / /4 /

4 Esercizio Sia X una v.a. discreta con funzione di probabilità (fdp): f( xc, ) = ci{,,, N} ( x) dove N N e c >.. per quali valori di c f( xc, ) è effettivamente una fdp?. scrivere la FDR di X 3. calcolare la probabilità che X sia dispari Ricordiamo che IA( x) = funzione indicatrice di A x A x A è detta Funzione Indicatrice dell insieme A N

5 Soluzione ) innanzi tutto deve essere f( xc, ) x il che è vero per la definizione di c e di I. Inoltre deve essere soddisfatta la condizione di normalizzazione (o di completezza): f( xc, ) =. x R Dunque N = f( xc, ) = fic (, ) = c = c ( N + ) c= x i= i= N N + ) La FDR è: 3) la probabilità cercata è F X k k + ( k) = = N N + i= N ( N ) PX ( = k+ ) = c= + N + = ( N + ) N+ N+ k= k= Npari Ndispari

6 Esercizio 3 k Sia X una v.a. discreta con spettro in N e fdp data da pi = PX ( = i) = i con k > i. determinare per quale k l insieme delle coppie {(, ip i )} i è effettivamente una distribuzione di probabilità (ddp) e scrivere la fdp. si calcoli la FDR 3. e con essa le seguenti probabilità: a. PX> ( 3) b. P( X 9) c. P( X )

7 Soluzione ) la funzione è evidentemente positiva. Inoltre, ricordando che il limite della serie geometrica per z < è cercato: + k k + i i z z = lim z = lim = k k i= i= z z ricaviamo subito il valore di k i + + k k = = k i = = k k = i= i= da cui p i = i+ ) k FX ( k) = PX ( k) = = = = i= i= k + i+ k i k+ Ricaviamo ora le probabilità richieste: 3a) 3b) 3c) 4 P( X > 3) = P( X 3) = F(3) = P( X 9) = PX ( 9) P( X < ) = PX ( 9) PX ( ) = F(9) F() = P( X < ) = PX ( < ) PX ( < ) = F(9) F(9) =

8 Esercizio 4 Al buio il sig. Talpa cerca una chiave in un mazzo di chiavi, mettendo da parte quelle provate. Se X è la v.a. che conta gli insuccessi:. calcolare la FDR F ( k ) X. calcolare la probabilità che il signor Talpa debba controllare almeno 8 chiavi prima di trovare quella giusta (ovvero debba subire almeno 8 insuccessi)

9 Soluzione ) Costruiamo la FDR a partire dalla fdp. Chiamiamo A i, con i =,,,,9, l evento è stata scelta la chiave giusta all i-esimo tentativo. Dovremo pertanto calcolare: p = PA ( A A A) = i,, 9. i i i Per la legge generalizzata del prodotto abbiamo che: p = PA ( A A A) = PA ( ) PA ( A ) PA ( A A ) i i i i i Per calcolare i singoli fattori del precedente prodotto osserviamo che al j-esimo tentativo le possibili scelte sono equiprobabili ognuna di probabilità dove j è il numero di j chiavi residue. Quindi al j-esimo passaggio la probabilità di non trovare la chiave giusta condizionata dal fatto che nei precedenti passaggi la chiave giusta non è stata trovata è: Sostituendo otteniamo: PA A A A 9 ( j j ) = = j. j j

10 i i 9 j p = PA ( A A ) PA ( A A ) = j i i i j j j= i j= Applicando questa complicatissima formula otteniamo il banale risultato: p = ; p = = ; p = = ; p 3 = = ; ecc. ecc Risulta quindi evidente che la fdp è pi = i mentre la FDR cercata è FX ( k) = k + ) per calcolare la probabilità richiesta possiamo ora usare la FRD appena trovata: 8 PX ( 8) = PX ( < 8) = F X (7) = = 5

11 Esercizio 5 In una partita di Dungeons & Dragons un Mago del 7 livello, rimasto senza incantesimi, attacca un coboldo con il pugnale. Nel caso riesca a colpirlo, i danni inflitti vengono stabiliti dalla somma X dei punteggi di due dadi d4 (dadi a quattro facce). a) Si trovi la distribuzione di probabilità di X e se ne calcolino media, varianza e valore più probabile. b) Con quale probabilità X vale almeno 6? Si calcoli, inoltre, la media dei danni che il Mago può infliggere col suo pugnale se: c) il pugnale è magico (i danni inflitti sono calcolati diminuendo di la somma dei dadi ed elevando poi al quadrato il risultato) d) il pugnale è magico (viene raddoppiato il punteggio dei dadi) e il Mago ha costituzione 3 (per cui il Mago, rispetto ad un personaggio di costituzione ordinaria, ha un bonus di sul totale finale dei danni)

12 Soluzione a) Scegliendo come spazio degli eventi quello delle coppie di esiti possiamo calcolare le probabilità come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Questi ultimi sono evidentemente 6. Per i casi favorevoli disegniamo una griglia, contiamo e riportiamo i risultati nella tabella della distribuzione di probabilità. Nella medesima tabella inseriamo, inoltre, i passaggi intermedi per il calcolo di media e varianza. Quindi ricaviamo: x p(x) /6 /6 3/6 4/6 3/6 /6 /6 xp(x) /6 6/6 /6 /6 8/6 4/6 8/6 x p(x) 4/6 8/6 48/6 /6 8/6 98/6 64/6 8 EX = = VarX = E X (E X) = 5= 7.5 5=.5 6 Il valore più probabile è nel massimo di p(k) ovvero

13 b) PX ( 6) = PX ( = 6) + PX ( = 7) + PX ( = 8) = = 6 6 Y = X e calcoliamo la media ricordando la proprietà di linearità: c) Definiamo ( ) E( Y) = EX EX + 4= =.5 d) Definiamo Z = X + e ricaviamo allo stesso modo: EZ = EX + =

14 Esercizio 6 La durata di un tornio si modellizza con una v.a. continua X definita su data da: + R e avente FDR t F () t = e λ dove λ è una costante reale positiva e t è espresso in anni X Sapendo che la durata media del tornio è anni, si determinino: a) la probabilità che il tornio duri più di un anno b) la varianza della durata dell'utensile c) l'intervallo di ampiezza 3 al quale corrisponde la massima probabilità di contenere la durata effettiva del tornio d) la durata massima in mesi di un eventuale garanzia affinchè questa venga soddisfatta con probabilità α =.7

15 Soluzione Per calcolare quanto richiesto dobbiamo prima ricavare il valore del parametro. Sappiamo che EX = Inoltre ricaviamo la fdd derivando la FDR: Pertanto d fx( x) = FX( x) = e dx λx EX λxe dx = = R + x λ λ Basterebbe integrare per parti per ricavare EX = = da cui λ = λ Noi invece procediamo in altro modo e calcoleremo il valore atteso tramite la funzione generatrice dei momenti che ci servirà successivamente anche per il calcolo della varianza. Sappiamo che + tx tx ( λ t) x λ ( λ t) x mx () t = E e = e f ( xdx ) = λ e dx= lim e λ t w + R w

16 e poiché il limite indicato converge a se t < λ ricaviamo ed infine a) ora possiamo calcolare mx () t λ = λ t λ ( λ ) λ E X = m' X () = = = PX ( ) PX ( ) FX () e > = = =.665 b) per la varianza usiamo ancora la funzione generatrice dei momenti e quindi = dmx ( ) λ () = = 3 E X dx ( ) ( λ ) VarX = EX EX = = = 4 λ λ λ λ

17 c) Dobbiamo trovare il valore t che massimizza la probabilità α = Pt ( < X t+ 3) = F ( t+ 3) F () t X Sostituendo l espressione esplicita della FDR otteniamo: X la cui derivata rispetto a t è α t t+ 3 t 3 = e e = e ( e ) t 3 α ' = e ( e ) che è evidentemente negativa per ogni t da cui si ricava subito che il massimo per α si ha in t =. Quindi l intervallo cercato è [,3 ].

18 d) maggiore sarà la durata della garanzia e minore sarà la probabilità che il tornio non si rompa ovvero che soddisfi la garanzia. Dobbiamo quindi trovare il valore di t tale per cui PX ( > t) = F () t =.7 Una volta individuato questo valore, il massimo numero n di mesi che soddisfa pienamente i requisiti richiesti sarà dato dalla parte intera di t. X Invertendo la relazione ricaviamo da cui t e =.7 t.73 n= [ t] = [8.556] = 8

19 Esercizio 7 Sia X una v.a. con densità di probabilità f X ( x) = ( x α ) α e x > α x α dove α è un numero reale positivo. a) Determinare α affinché f X sia effettivamente una densità e calcolarne la FDR. b) Calcolare P [ X > 3] e P [ X 3 > 7]. X c) Determinare la distribuzione di Y = e.

20 Soluzione X a) dev essere f =, ossia ( x α) α x f xdx e dx ee X α α = ( ) = α = α = α Inoltre si ricava che F X ( x) x = > x e x b) Si ha [ ] P X 7 P X 3 F (3) e > = > = X = X c) osservando che Y > e (si deduce da Y = e e X > ) ricaviamo X FY( y) = PY [ < y] = Pe [ < y] = PX [ < ln y] = FX(ln y) = e y

21 Esercizio 8 Sia X una v.a. continua con distribuzione uniforme sull intervallo [, ] ab con a Scrivere la fdd, la FDR e stabilire quanto valgono valore atteso e varianza. Soluzione Poiché X ha distribuzione uniforme in [, ] c x ab, f( x) = altrove e la sua FDR: ab la sua fdd dovrà essere del tipo: [ ] x< a x x F( x) = ftdt () = cdt cx ( a) a x b = a x> b Dovendo essere Fb ( ) = cb ( a) = ricaviamo subito Il valore atteso sarà data da: c =. b a b b t dt t a+ b EX = t ftdt () = = = R a b a ( b a) a < b.

22 e la varianza da: dove ( b a) VarX = E X (E X) = E () R ( a+ b) (E X ) = 4 3 b b t dt t a + b + ab X = t ftdt = = = a b a 3( b a) 3 a f(x) F(x) c a b X a b X

23 Esercizio 9 Il tasso di interesse annuo applicato da una banca varia tra il 6% ed il 9% e si distribuisce secondo una funzione di densità uniforme. Un cliente scelto a caso ha depositato.. di lire nella banca. Si calcolino: a) la probabilità che l anno successivo disponga di almeno.7. lire b) il valore atteso del capitale di cui disporrà il cliente dopo un anno c) la varianza del capitale di cui disporrà il cliente dopo un anno

24 Soluzione Sia T la v.a. che misura il tasso di interesse maturato nell anno. Sia inoltre C la v.a. che misura il capitale finale. Allora T Uab (, ) e C C ( T ) Deduciamo che: = + dove a =.6, b =.9 e C = i i. ( + ), ( + ) C U C a C b e quindi le richieste del testo si traducono nel calcolo di: a) b) c) i i i i i i 9 7 PC ( 7) = = i i i i i i i i 6+ 9 i i EC = = 75 ( ) VarC = = = =