Esercitazione 4. Aprile 2019

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1 Esercitazione Aprile ALCUNE NOTE Versione aggiornata! Dal momento che questa esercitazione è stata svolta a più puntate, vi prego (soprattutto chi non ha potuto partecipare alle ore supplementari) di prestare attenzione alle aggiunte e correzioni che sono state fatte di volta in volta. Nel corso di questa soluzione ho indicato i punti che sono stati oggetti di correzioni e commenti. Integrate e le vostre note e se non vi torna qualcosa non esitate a contattarmi! Inoltre, visto che l ho scritta un po velocemente, se trovate qualche errore segnalatemelo, grazie! In particolare TURNO : come vi anticipavo per mail, attenti alla correzione sulla mediana che abbiamo affrontato negli ultimi minuti dell ultima lezione (punto c dell Esercizio 7). Trovate la stessa cosa anche al punto f dell Esercizio (non con la mediana ma con i terzili, ma è lo stesso modo di ragionare). Spero vi risulti chiaro. TURNO : per voi la funzione generatrice dei momenti NON è ancora stata fatta ma la trovate comunque in questa esercitazione (visto che è l ho fatta con il TURNO nell ora supplementare). Riprendetela quando la farete a lezione. in fondo trovate l esercizio della prova parziale dell anno scorso con una traccia di soluzione. Fatelo come preparazione. Esercizio Sia data la seguente funzione k x, x 5 k x, x p(x) k x altrove Buon lavoro! a) Si ricavi il valore del parametro k che rende p(x) una funzione di probabilità per una v.c. discreta X. b) Si ricavi E(X) e var(x) c) Si ricavi la funzione di ripartizione di X e se ne faccia il grafico d) Si calcolino le seguenti probabilità P (X ), P (X.5), P (X.5), P (X > ), P ( < X ), P ( < X X )

2 a) Affinchè p(x) risulti essere funzione di probabilità dobbiamo imporre che e che Per la a) deve essere k. a) p(x), x,..., 5 b) 5 p(x) x OSSERVAZIONE: in classe mi sembra di aver scritto p(x) (trovando quindi una condizione più stringente per k). Non è sbagliato (e può capitarvi di trovarlo scritto anche così) ma non è necessario imporre anche che siano, dal momento che con b) chiediamo che tutte le probabilità sommino a (e implicitamente che siano tutte minori di ; in altre parole, affinchè la loro somma sia, nessuna può essere superiore a ). Quindi è sufficiente p(x). Per la b) si ha Riscriviamo quindi k + k + k + k + k k x, x 5 p(x) x, x x altrove / / / / / 5 b) E(X) 5 x p(x) x p() + p() + p() + p() + 5 p(5) var(x) E[(X E(X)) ] 5 [x E(X)] p(x) x ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (5 ) oppure (assolutamente equivalente) var(x) E(X ) E(X) 5 x p(x) x

3 c) P (X x) i x p(x i) F () i p(x i) F () i p(x i) p() F () i p(x i) p() + p() + F () i p(x i) p() + p() + p() F () i p(x i) p() + p() + p() + p() F (5) i 5 p(x i) p() + p() + p() + p() Quindi x < x < x < 6 x < 8 x < 5 x

4 d) P (X ) P (X.5) P (X.5) F (.5) P (X > ) P (X ) F () P ( < X ) F () F () P ( < X, X ) P ( < X X ) P (X ) P (X ) P (X ) / 8/ Esercizio Sia data la seguente funzione k x + x p(x) k (x ) x /6 x altrove a) Si ricavi il valore del parametro k che rende p(x) funzione di probabilità per una v.c. discreta X. b) Si ricavi la funzione di ripartizione di X se ne tracci il grafico. c) Si ricavino la media e la varianza di X. d) Si consideri la variabile casuale Y X +. Si calcolino media e varianza di Y. TRACCIA di soluzione a) In questo caso è immediato verificare p(x) perchè sostituendo x la funzione di probabilità diventa k x, x p(x) /6 x altrove che è sempre positiva (ovviamente sia k che /6 sono positivi). Imponendo che (fatelo) p(x) x 5 otteniamo k ±. Vanno bene entrambi i valori! b) c) E(X).75 e var(x) 5/8. d) Vi ricordo il risultato teorico x < 5 x < x < x

5 E(aX + b) ae(x) + b var(ax + b) a var(x) Nel nostro caso quindi Esercizio Sia data la seguente funzione E(Y ) E(X) +.5 var(y ) k/ x /6 x p(x) k / x altrove a) Si ricavi il valore della costante k che rende p(x) funzione di probabilità per una v.c. discreta X e se ne tracci il grafico. b) Si determini la funzione di ripartizione di X se ne tracci il grafico. c) Si calcolino il valore atteso E(X) e la varianza var(x). d) Sia Y + X. Si ricavino le funzioni generatrici dei momenti di X e di Y utilizzando la nota relazione tra le due f.g.m. Verificare i risultati ottenuti al punto c). e) Si determini il momento terzo standardizzato. f) Si calcolino i terzili e si rappresentino sui grafici precedenti TRACCIA di soluzione a) k perchè: Per la condizione a) p(x) x,, dobbiamo imporre solo che il primo pezzo sia positivo (gli altri due pezzi sono sempre positivi). Quindi vogliamo che da cui k k. Dalla condizione b) x p(x) otteniamo che k k ovvero dobbiamo risolvere l equazione di secondo grado k + k 5 da cui k (ok) e k 5 b) (che non rispetta la condizione ricavata da a) k ). x < 8 x < 7 6 x < x 5

6 c) E(X).875 e var(x).. d) Funzione generatrice dei momenti è definita come m X (t) E(e tx ) che nel nostro caso (variabile discreta) diventa m X (t) E[e tx ] e tx p(x) x e t p() + e t p() + e t p() e t 8 + et 6 + et 6 Dalla teoria abbiamo che chiamata Y bx + a si può ricavare la funzione generatrice dei momenti di Y partendo da quella di X usando il seguente risultato Quindi nel nostro caso m Y (t) e at m X (bt) m Y (t) e t m X (t) [ e t e t 8 + et 6 + ] e6t 6 Per ricavare valore atteso e varianza dalla generatrice ricordiamo che la derivata r esima della fgm valutata in ci dà il momento r-esimo. Quindi per calcolare il valore atteso (momento primo) facciamo la derivata della fgm e la valutiamo in, m X(t) e t 8 + et 6 + et 7 6 E(X) m X(t) t Per la varianza in modo del tutto analogo calcoliamo il momento secondo (derivata seconda valutata in ) e poi sottraiamo il quadrato del valore atteso. m X(t) e t et + et 6 6 6

7 e) Il momento terzo standardizzato è ( E var(x) E(X ) E(X ) m X(t) t E(X ) (.875). ) [ (X ) ] X E(X).875) E var(x). (.) / E[(X.875) ] (.) / E[X X(.875 ) X (.875)] [ E(X (.) / ) E(X) 6.565E(X ) ] Valore atteso e momento secondo li abbiamo già dai punti precedenti. Manca da determinare E(X ). Potete usare la fgm come prima (derivata terza,...) oppure la semplice uguaglianza Finitelo voi! E(X ) x p(x) x f) I terzili sono i quantili di ordine / e /. Per il primo terzile: x / min {x tale che F (x) /} Ci dobbiamo chiedere per quali x la F (x) è maggiore o uguale a /. Guardiamo come è fatta la F scritta al punto b). Dal secondo pezzo (che vale /8) la F (x) è maggiore di / (/8 > /!) quindi la F è maggiore di / per gli x da in poi. Il minimo è! Quindi Per il secondo terzile: x / min{x } x / min {x tale che F (x) /} Ci dobbiamo chiedere per quali x la F (x) è maggiore o uguale a / e poi prendere il minimo di queste x. Sia /8 che 7/6 sono minori di / quindi l unico pezzo in cui la F è maggiore di / è quando è uguale a, per x da in poi. Il minimo è! Quindi Esercizio Sia data la funzione x / min{x } kx x / < x f(x) / kx < x altrove a) Si ricavi il valore di k che rende f(x) una funzione di densità per una v.c. X e se ne tracci il grafico. b) Si ricavi E(X) e var(x) 7

8 c) Dopo aver ricavato la funzione di ripartizione F (x), si determinino il primo quartile e la mediana, fornendone il significato. a) Affinchè f(x) sia funzione di densità devono verificarsi a) f(x) x (NON f(x) ) ATTENZIONE soprattutto a chi non ha partecipato alla lezione supplemenatre in cui abbiamo ripreso e commentato questa condizione a). Integrando + f(x)dx b) + f(x)dx kxdx + dx + ( ) kx dx kx + x ( ) + x kx ( ) k + ( ( ) + k 6 + k ) k + 5 k + da cui k. Con k abbiamo che f(x) x (condizione a)). La densità diventa quindi x/ x / < x f(x) / x/ < x altrove

9 b) E(X) + x xf(x)dx dx + x + x + ( ) + xdx + ( + x ( ) x dx x ) ( ) var(x) + x f(x)dx E(X) x x dx + x ( dx + x x c) La funzione di ripartizione per variabili casuali continue è Nel nostro caso quindi Per valori di x < Per x x f(t)dt x F (x) dt x t dt t x x ) dx ( ) Abbiamo integrato il primo pezzo della funzione di densità f fino ad x. Per < x x f(t)dt t x dt + dt t + t x + x x Abbiamo integrato il primo pezzo di f da a e il secondo pezzo fino a x. Per < x In sintesi abbiamo x f(t)dt t + t + t dt + ) x ( t t dt + x ( ) t dt + + x x + x + x 5

10 x < x x x x < x + x 5 < x x > d) Mediana La mediana x.5 è il quantile di ordine.5 (o secondo quartile). Per calcolarla analiticamente dobbiamo risolvere x.5 F (.5) Consideriamo la funzione di ripartizione per < x (cioè dove vale x/ /) e risolviamo Otteniamo x.5. x.5 Significato: almeno metà della popolazione ha un valore di X /. Primo quartile (è il quantile di ordine.5). Stessa cosa ma con p.5. Considero la funzione di ripartizione per x e ottengo x.5 da cui x.5. Significato: il 5% della popolazione ha un valore X, il 75% della popolazione ha un valore di X. Esercizio 5 Si consideri la seguente funzione di ripartizione della v.c. continua X { x F X (x) k ( e x ) x > a) Si dimostri che il parametro k può assumere solo il valore. b) Si calcoli la funzione di densità f X (x).

11 c) Si calcoli la mediana di X e si commenti il valore ottenuto. d) Si calcoli P (X > X > ) TRACCIA di soluzione a) Tra le proprietà della funzione di ripartizione Quindi dobbiamo imporre che lim x + k lim x + ( e x ) e x va a quando x + quindi la quantità tra parentesi tende a e il tutto lim x + k Imponiamo quindi che da cui k. k b) f(x) df (x) dx d dx ( e x ) xe x c) Mediana è uguale a.5887 (equazione esponenziale!) d).5 Esercizio 6 Sia data la seguente funzione di riaprtizione x < F X (x) x x < x / x k x > k a) Si ricavi il valore di k che rende questa funzione una funzione di ripartizione per una v.c. continua X e se ne tracci il grafico. b) Si ricavi la funzione di densità f(x) e se ne ricavi il garfico. c) Calcolare P (X >. X >.7) d) Si ricavi il valore atteso di X. a) Per le proprietà della funzione di ripartizione dobbiamo avere che lim x lim x + lim F (x + h) F (x) h

12 ovvero deve essere continua nei salti. Quindi dobbiamo avere che in k sia continua, cioè k (abbiamo imposto che in k il secondo pezzo della F e il terzo siano uguali). Ricaviamo k b) Per ricavare la densità dalla ripartizione bisogna derivare. Derivando si ottiene f(x) df (x) dx x x < f(x) x / altrove

13 c) P (X >., X >.7) P (X >. X >.7) P (X >.7) P (X >.) P (X.) P (X >.7) P (X.7) F (.) F (.7) (. /).7 (.7) d) Esercizio 7 Si consideri la seguente funzione E(X) + x xf(x)dx xx dx + x dx + / / + x / 8 x dx xdx { x k y x, e y,, p(x, y) altrimenti a) Si supponga che p(x, y) sia la funzione di probabilità di una variabile casuale bivariata discreta. Si dimostri che il valore di k può essere solo pari a. b) Si ricavi la funzione di ripartizione di Y, e se ne tracci il grafico. c) Si calcolino la mediana di Y e E(Y ). d) Si determini la probabilità P (X > Y < ). a) Se è funzione di probabilità allora deve valere che p(x, y) ovvero da cui b) Riscriviamo (x,y) k + k + k + k + k + k k. X - Y tot / / / / / / / / tot 6/ / 6/ Notiamo che sommando le colonne otteniamo la distribuzione marginale di Y e sommando le righe la marginale di X. La funzione di probabilità di Y è quindi (dalle colonne)

14 6/ y p(y) / y 6/ y Da cui la funzione di ripartizione F Y (y) è y < 6 F Y (y) y < y < y c) E(Y ) 8. (fatelo voi) Per la MEDIANA ATTENZIONE: Correggete rispetto a quanto ho detto in classe (TURNO ). Per il TURNO non l abbiamo fatto in classe ma guardatelo. La mediana di Y è definita come y.5 min{y tali che F (y).5} Dobbiamo individuare per quali y la F è maggiore di.5 e poi prendere il minimo di questi y. Partiamo dal secondo pezzo della F e 6 > /. quindi da in poi la F sarà maggiore di y.5 min{y tali che F (y).5} min{y } La mediana è! Per mettervi alla prova e vedere se avete capito mostrate che il terzo quartile è. d) P (X >, Y < ) P (X > Y < ) P (Y < ) + 6 +

15 Esercizio della Prova parziale 8 - Soluzioni Sia data la funzione { x < f(x) x x a) Si verifichi che la funzione f è una funzione di densità. Notate che f non dipende da nessun parametro. Dobbiamo solo verificare che verifichi le condizioni a) b). Verificare a) è immediato (/x è sempre positivo) quindi dovete solo verificare b) risolvendo l integrale e mostrando che fa. b) La funzione di ripartizione è c) Il nono decile è x..5 d) + x dx x < F X (x) x x P (X > X > 5).5 5