Sessione Live 4 V.a. n-dimensionali. Funzioni di variabili aleatorie.

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1 Sessione Live 4 V.a. n-dimensionali. Funzioni di variabili aleatorie. 9 e 11 Dicembre 2008

2 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Una v.a. n-dimensionale (o vettore aleatorio n-dimensionale) è una funzione X : Ω R n tale che ogni sua componente X i, i = 1,..., n sia una v.a. Si dice funzione di ripartizione congiunta del vettore aleatorio la funzione con (x 1,..., x n) R n. F X (x 1,..., x n) = P({X 1 x 1 }... {X n x n}) = = P({X 1 x 1 },..., {X n x n}), Si dicono invece funzioni di ripartizione marginali della v.a. (X 1,..., X n), le funzioni F Xi (a) = P(X 1, X 2,..., X i a,..., X n ), i = 1,..., n; Per due v.a. X 1, X 2, si dice momento misto di ordine r = r 1 + r 2 il numero h i µ r1,r 2 = E X r 1 1 X r 2 2 = X x r 1 1 x r 2 2 f X (x 1, x 2 ) (x 1,x 2 )

3 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Nota la densità congiunta di un vettore aleatorio f X (x 1,..., x n) p X (k 1,..., k n) continua discreta le densità marginali si calcolano con Z + Z + f Xi (s) =... f X (t 1,..., t i 1, s, t i+1, t n) dt 1... dt i 1 dt i+1... dt n, nel caso continuo, e con p Xi (s) = + X X... p X (k 1,..., k i 1, s, k i+1, k n), nel caso discreto. k 1 = k n=

4 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Vengono scelte a caso 3 palline da un urna contenente 3 palline rosse, 4 bianche e 5 blu. Se denotiamo con X ed Y rispettivamente il numero di palline rosse e bianche scelte, ricavare la densità congiunta di X ed Y.

5 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Vengono scelte a caso 3 palline da un urna contenente 3 palline rosse, 4 bianche e 5 blu. Se denotiamo con X ed Y rispettivamente il numero di palline rosse e bianche scelte, ricavare la densità congiunta di X ed Y. Soluzione: bisogna ricavare p(i, j) = P(X = i, Y = j), i = 1,..., 3; j = 1,..., 3.

6 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Vengono scelte a caso 3 palline da un urna contenente 3 palline rosse, 4 bianche e 5 blu. Se denotiamo con X ed Y rispettivamente il numero di palline rosse e bianche scelte, ricavare la densità congiunta di X ed Y. Soluzione: bisogna ricavare p(i, j) = P(X = i, Y = j), i = 1,..., 3; j = 1,..., 3. Si ha allora che `5 3 p(0, 0) = `12 = 10 `3 `4 ` p(1, 1) = 220 `12 = `4 `5 1 2 p(0, 1) = `12 = 40 `3 `4 1 2 p(1, 2) = 220 `12 = `3 `5 1 2 p(1, 0) = `12 = 30 `3 3 p(3, 0) = 220 `12 =

7 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Quindi abbiamo j i P(X = i) 0 10/220 40/220 30/220 4/220 84/ /220 60/220 18/ / /220 12/ / / /220 P(Y = j) 56/ /220 48/220 4/220 1

8 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Il 15% delle famiglie in una certa comunità non ha bambini; il 20% ne ha uno, il 35% ne ha due, il 30% ne ha tre. Supponiamo che in ogni famiglia, ogni figlio sia maschio o femmina con uguale probabilità e in maniera indipendente. Scelta a caso una delle famiglie, ricavare la densità (discreta) del numero di figli.

9 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Il 15% delle famiglie in una certa comunità non ha bambini; il 20% ne ha uno, il 35% ne ha due, il 30% ne ha tre. Supponiamo che in ogni famiglia, ogni figlio sia maschio o femmina con uguale probabilità e in maniera indipendente. Scelta a caso una delle famiglie, ricavare la densità (discreta) del numero di figli. Soluzione: sia M il numero dei maschi, ed F il numero delle femmine nella famiglia scelta a caso; vanno pertanto calcolate le quantità

10 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Il 15% delle famiglie in una certa comunità non ha bambini; il 20% ne ha uno, il 35% ne ha due, il 30% ne ha tre. Supponiamo che in ogni famiglia, ogni figlio sia maschio o femmina con uguale probabilità e in maniera indipendente. Scelta a caso una delle famiglie, ricavare la densità (discreta) del numero di figli. Soluzione: sia M il numero dei maschi, ed F il numero delle femmine nella famiglia scelta a caso; vanno pertanto calcolate le quantità P(M = 0, F = 0) = P(senza figli) = 0.15 P(M = 0, F = 1) = P(1 femmina e in totale un figlio) = P(F = 1 1 figlio)p(1 figlio) = = 1/2 0.2 P(M = 0, F = 2) = P(2 femmine e in totale due figli) = P(F = 2 2 figli)p(2 figli) =... = (1/2) ottenendo la seguente tabella di probabilità congiunte:

11 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi j i

12 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi La densità congiunta di X ed Y è data da ( 2e x e 2y 0 < x <, 0 < y < f (x, y) = 0 altrimenti Si calcolino P(X > 1, Y < 1), P(X < Y ), P(X < a)

13 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi La densità congiunta di X ed Y è data da ( 2e x e 2y 0 < x <, 0 < y < f (x, y) = 0 altrimenti Si calcolino P(X > 1, Y < 1), P(X < Y ), P(X < a) Soluzione: vale che Z 1 Z + Z 1 P(X > 1, Y < 1) = 2e x e 2y 2y x + dxdy = 2e ˆ e = Z 1 = e 1 2e 2y dy = e 1 1 e 2. 0

14 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Inoltre ZZ Z + Z y P(X < Y ) = 2e x e 2y dxdy = 2e x e 2y dxdy = {(x,y):x<y} 0 0 Z + = 2e 2y `1 e y Z + Z + dy = 2e 2y dy 2e 3y dy = = = 1 3. "! Quindi: Z a Z y Z a P(X < a) = 2e 2y e x dydx = e x dx = 1 e a

15 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Si consideri un cerchio di raggio R e supponiamo di scegliere a caso un punto dentro al cerchio in modo tale che tutte le regioni di uguale area interne al cerchio abbiano uguale probabilità di contenere il punto (cioè il punto è uniformemente distribuito dentro al cerchio). Fissando il centro del cerchio come origine di un sistema di assi cartesiani e ponendo X ed Y le coordinate del punto scelto, segue che essendo (X, Y ) un punto scelto a caso e in modo uniforme, la densità congiunta di X ed Y è data da ( c se x 2 + y 2 R 2 f (x, y) = 0 se x 2 + y 2 > R 2 per qualche c. Si determini la costante c; si determinino le densità marginali di X ed Y ; Si calcoli la probabilità che D, la distanza dall origine del punto selezionato, sia minore od uguale ad a; Si calcoli E(D).

16 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Soluzione: poiché vale che R + R + f (x, y) dxdy = 1 segue che c RR x 2 +y 2 R 2 dxdy = 1, ed osservando che l integrale doppio rappresenta l area del cerchio, si ottiene che c = 1 πr 2 Vale inoltre che p con c = R 2 x 2, Z + f X (x) = f (x, y) dy = 1 Z πr 2 dy = 1 Z c x 2 +y 2 R 2 πr 2 dy = c = 2 πr 2 p R 2 x 2, per x 2 R 2. e 0 altrove (cioè per x 2 > R 2 ). Similmente per simmetria ( 2 p f Y (y) = πr R 2 y 2 per y 2 R 2, 2 0 per y 2 > R 2

17 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Per la funzione di distribuzione di D = p X 2 + Y 2, la distanza dall origine, si ottiene quanto segue: per 0 a R p F D (a) = P X 2 + Y 2 a = P X 2 + Y 2 a 2 ZZ = f (x, y) dxdy = x 2 +y 2 a 2 = 1 ZZx2+y2 a2 πr 2 dxdy = πa2 πr 2 = a2 R 2. Pertanto la densità di D è e dunque è facile ora calcolare la media f D (a) = 2a R 2, 0 a R, E(D) = 2 Z R R 2 a 2 da = 2R 0 3.

18 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi La densità congiunta di X ed Y è data da ( e (x+y), 0 < x < +, 0 < y < + f (x, y) = 0 altrimenti Si determini la densità della variabile X/Y.

19 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi La densità congiunta di X ed Y è data da ( e (x+y), 0 < x < +, 0 < y < + f (x, y) = 0 altrimenti Si determini la densità della variabile X/Y. Soluzione: iniziamo calcolando la funzione di distribuzione di X/Y. Per a > 0, «ZZ Z X + Z ay F X/Y (a) = P Y a = e (x+y) dxdy = e (x+y) dxdy = {x/y a} 0 0 Z " # + + = (1 e ay )e y dy = e y + e (a+1)y = 0 a = 1 1 a + 1. Differenziando, si ottiene la densità di X/Y, che quindi è data da f X/Y (a) = 1, per 0 < a < +. (a + 1) 2

20 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi La densità congiunta di X ed Y è data da f (x, y) = c(x 2 y 2 )e y, y x y, 0 < y < + a) Determinare il valore di c; b) Si determinino le densità marginali; c) Si calcoli E(X). La densità congiunta di X ed Y è data da f (x, y) = 6 7 x 2 + xy 2, 0 < x < 1, 0 < y < 2; a) Si verifichi che è effettivamente una densità di probabilità; b) Si calcoli la densità marginale di X; c) Si calcoli P(X > Y ); d) Si calcoli P(Y > 1/2 X < 1/2); e) Si calcolino E(X) ed E(Y ). Un uomo e una donna si danno appuntamento davanti a un cinema alle Se l uomo arriva ad un istante uniformemente distribuito tra le e le e la donna, indipendentemente dall uomo, arriva in un istante uniformemente distribuito tra le 12 e le 13, si determini la probabilità che il primo che arriva attenda l altro per non più di 5 minuti. Qual è la probabilità che l uomo arrivi per primo?

21 Richiami di teoria Come si calcolano le densità marginali Esercizi Se X è una v.a. uniforme sull intervallo (0, 1) ed Y una v.a. esponenziale di parametro 1, si determini la distribuzione di a) Z = X + Y ; b) Z = X/Y. Le v.a. X ed Y hanno distribuzione congiunta data da e zero altrove. a) Si calcolino E(X) ed E(Y ); b) Si calcolino Var(X) e Var(Y ). f (x, y) = 12xy(1 x), 0 < x < 1, 0 < y < 1

22 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Dato un vettore aleatorio (X, Y ), quando X ed Y sono indipendenti? Quando X ed Y sono non correlate? Che relazioni ci sono fra questi due tipi di indipendenza? Giustificate la risposta.

23 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Dato un vettore aleatorio (X, Y ), quando X ed Y sono indipendenti? Quando X ed Y sono non correlate? Che relazioni ci sono fra questi due tipi di indipendenza? Giustificate la risposta. Soluzione: due v.a. X ed Y sono indipendenti se vale F (x, y) = F X (x)f Y (y), per ogni (x, y) R 2 dove F è la funzione di ripartizione congiunta, ed F X, F Y sono le funzioni di ripartizione marginali.

24 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Dato un vettore aleatorio (X, Y ), quando X ed Y sono indipendenti? Quando X ed Y sono non correlate? Che relazioni ci sono fra questi due tipi di indipendenza? Giustificate la risposta. Soluzione: due v.a. X ed Y sono indipendenti se vale F (x, y) = F X (x)f Y (y), per ogni (x, y) R 2 dove F è la funzione di ripartizione congiunta, ed F X, F Y sono le funzioni di ripartizione marginali. Due v.a. sono non correlate se la loro covarianza è nulla (analogamente sono correlate positivamente se la covarianza è positiva, negativamente viceversa).

25 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Dato un vettore aleatorio (X, Y ), quando X ed Y sono indipendenti? Quando X ed Y sono non correlate? Che relazioni ci sono fra questi due tipi di indipendenza? Giustificate la risposta. Soluzione: due v.a. X ed Y sono indipendenti se vale F (x, y) = F X (x)f Y (y), per ogni (x, y) R 2 dove F è la funzione di ripartizione congiunta, ed F X, F Y sono le funzioni di ripartizione marginali. Due v.a. sono non correlate se la loro covarianza è nulla (analogamente sono correlate positivamente se la covarianza è positiva, negativamente viceversa). L indipendenza implica la non correlazione, ma non vale viceversa, cioè se due v.a. sono non correlate, allora non è detto che siano indipendenti

26 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Mostriamo che l indipendenza implica la non correlazione: E(XY ) = X X xyf (X,Y ) (x, y) = X X xyf X (x)f Y (y) = x y x y = X x xf X (x) X y yf Y (y) = E(X)E(Y ). Poiché la covarianza è Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))] = E [XY XE(Y ) YE(X) + E(X)E(Y )] = = E(XY ) E(Y )E(X) E(X)E(Y ) + E(Y )E(X) = E(XY ) E(X)E(Y ) si ha subito che se due v.a sono indipendenti, allora sono anche non correlate.

27 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Sia Y una v.a. di Bernoulli con probabilità di successo pari a 0.2. Sia X la seguente v.a.: ( 2 p(2) = 0.7 X = 3 p(3) = 0.3 Supponiamo che X ed Y siano indipendenti. a) Fornire la distribuzione di Z = 2Y + X + 1; b) Determinare la covarianza fra Y e Z ; c) Determinare la covarianza fra Z ed Y ;

28 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Soluzione: a) Occorre anzitutto determinare la funzione di densità di Y : ( 1 p(1) = 0.2 Y = 0 p(0) = 0.8 e, sapendo che X ed Y sono indipendenti, possiamo costruire la tabella a doppia entrata della distribuzione congiunta di (X, Y ), per determinare i possibili valori che la Z può assumere: Y X 0 1 p X (Z = 3) 0.14 (Z = 5) (Z = 4) 0.06 (Z = 6) 0.3 p Y

29 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Quindi la distribuzione della v.a. Z sarà data da 8 3 p(3) = 0.56 >< 4 p(4) = 0.24 Z = 5 p(5) = 0.14 >: 6 p(6) = 0.06 b) Calcoliamo la covarianza tra Y e Z : Cov(Y, Z ) = Cov(Y, 2Y + X + 1) = E(YZ ) E(Y )E(Z ) = = E[Y (2Y + X + 1)] E(Y )E[2Y + X + 1] = = E(2Y 2 ) + E(XY ) + E(Y ) E(Y )[E(2Y ) + E(X) + 1] = = 2E(Y 2 ) + E(XY ) + E(Y ) 2E(Y ) 2 E(X)E(Y ) E(Y ) = = 2[E(Y 2 ) E(Y ) 2 ] + E(XY ) E(X)E(Y ) = = 2Var(Y ) + Cov(X, Y ) = 2Var(Y ). c) Poiché la covarianza è un operatore simmetrico, abbiamo che Cov(Y, Z ) = Cov(Z, Y ).

30 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Data la seguente matrice di probabilità congiunte Y X /10 3/ /5 1/10 2 1/10 0 1/5 Calcolare Cov(X, Y ) ed il coefficiente di correlazione. Soluzione: sommando per righe e per colonne, otteniamo rispettivamente le distribuzioni marginali di Y e di X come p Y (j) = (2/5, 3/10, 3/10), p X (i) = (1/5, 1/2, 3/10), i, j = 0, 1, 2. in questo modo possiamo calcolare Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) E(XY ) = 1 1/ / /5 = 6/5; E(X) = 1 1/ /10 = 11/10; E(Y ) = 1 3/ /10 = 9/10 Cov(X, Y ) = =

31 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Il coefficiente di correlazione è dato da ρ = Cov(X, Y ) σ X σ Y ; Pertanto è necessario calcolare le varianze di X ed Y e da esse estrarre le radici per ottenere le deviazioni standard. Vale che Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 e poiché E(X 2 ) = 1 2 1/ /10 = 17/10, Var(X) = 17/10 121/100 = 49/100 Analogamente si ricava che Var(Y ) = 69/100, e quindi σ X = r = 7 r , σ Y = 100 = 10 e dunque ρ = = = 23.

32 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami La matrice di covarianza C di un vettore aleatorio (X, Y ) con vettore delle medie (E(X), E(Y )), è la matrice 2 2 formata dai momenti centrali del secondo ordine, cioè» Var(X) Cov(X, Y ) C = C X,Y = Cov(X, Y ) Var(Y ) Nel caso n dimensionale, la matrice di covarianza C di un vettore X = (X 1,..., X n) è una matrice n n data da C = C Xi,X j = ˆCov(X i, X j ), 1 i, j n. La matrice di covarianza è evidentemente simmetrica.

33 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Indicare i valori di verità corretti riguardanti la matrice di covarianza È costituita esclusivamente da quantità positive o nulle V F Le quantità positive o nulle sono sulla diagonale principale, mentre fuori dalla diagonale ci possono essere V F quantità di segno qualunque È costituita da quantità positive o nulle salvo che sulla diagonale principale V F È costituita da elementi tra loro uguali se sono in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale V F Esiste per ogni vettore aleatorio con un numero finito di determinazioni V F È costituita da elementi tutti strettamente maggiori di 0 V F Se ha gli elementi sulla diagonale principale tutti nulli allora ha tutti nulli anche gli altri elementi V F

34 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Sia f (x, y) = (x + y)i [0,1] [0,1] (x, y) la densità congiunta di due variabili aleatorie X ed Y. Dopo aver calcolato le due densità marginali, verificare se a) f X (x)f Y (y) = f (X,Y ) (x, y); b) X ed Y sono correlate; c) Y ha varianza finita; d) X non possiede funzione generatrice dei momenti.

35 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Sia f (x, y) = (x + y)i [0,1] [0,1] (x, y) la densità congiunta di due variabili aleatorie X ed Y. Dopo aver calcolato le due densità marginali, verificare se a) f X (x)f Y (y) = f (X,Y ) (x, y); b) X ed Y sono correlate; c) Y ha varianza finita; d) X non possiede funzione generatrice dei momenti. Soluzione: cominciamo col calcolare le marginali di X ed Y : Z 1 f X (x) = (x + y) dy =»xy + y 2 1 = x e per la simmetria con cui le variabili compaiono nel problema, anche f Y (y) = y + 1/2. Vale pertanto che f X (x)f Y (y) = (x + 1/2) (y + 1/2) x + y = f (X,Y ) (x, y).

36 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Va ora calcolata la correlazione. Per fare ciò basta calcolare la covarianza. Poiché Z 1 E(X) = (x 2 + (1/2)x)dx = 7/12, E(Y ) = 7/12, 0 ed inoltre Z 1 Z 1 E(XY ) = xy(x + y)dxdy =... = 1/3, 0 0 si calcola che Cov(X, Y ) = 1/3 7/12 7/12 = 1/144, da cui deduciamo che X ed Y sono correlate negativamente. Ora la varianza di Y ; manca da calcolare E(Y 2 ): Z 1 y E(Y 2 2 «) = y 3 dy = 5 12 dunque Var(Y ) = 5/12 49/144 = 11/144 <, visto che E(Y ) = E(X) per simmetria.

37 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Calcoliamo infine la funzione generatrice dei momenti di X, se è possibile: Z 1 «1 m X (t) = e tx x dx = et 2t 1 2t + et et t t t 2 che esiste per qualunque t 0.

38 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami L espressione della densità di un vettore aleatorio normale bivariato è data da» 1 x µx 2 2ρ (x µ 1 X )(y µ Y ) y µy 2 f (x, y) = p 2πσ X σ e 2(1 ρ 2 + ) σ X σ X σ Y σ Y Y 1 ρ 2 dove µ X, µ Y, σ X, σ Y sono rispettivamente le medie e deviazioni standard delle distribuzioni marginali di X e di Y. Il coefficiente ρ è legato alla covarianza σ XY : ρ = σ XY σ X σ Y Si vede subito che l espressione della densità ha senso solo per ρ < 1.

39 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Una v.a. bidimensionale (X, Y ) ha distribuzione normale bivariata. Si sa che le due componenti X ed Y sono concentrate (cioè hanno media nulla) e hanno varianza pari rispettivamente ad 1 e 4. La covarianza è incognita. a) Convincersi che la covarianza σ XY può assumere solo valori compresi fra 2 e 2; b) Determinare la funzione generatrice dei momenti per (X, Y ) in funzione del parametro σ XY.

40 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Una v.a. bidimensionale (X, Y ) ha distribuzione normale bivariata. Si sa che le due componenti X ed Y sono concentrate (cioè hanno media nulla) e hanno varianza pari rispettivamente ad 1 e 4. La covarianza è incognita. a) Convincersi che la covarianza σ XY può assumere solo valori compresi fra 2 e 2; b) Determinare la funzione generatrice dei momenti per (X, Y ) in funzione del parametro σ XY. Soluzione: introduciamo la matrice di covarianza e a sua inversa:» σ 2 C = X σ XY σ XY σy 2 C 1 = 1» 1/σ 2 X ρ/σ X σ Y 1 ρ 2 ρ/σ X σ Y 1/σY 2 ed i vettori z = (x, y) e µ = (µ X, µ Y ); possiamo allora scrivere più agevolmente la densità come 1 f (x, y) = 2π p C e 1 T 2 (z µ) C 1 (z µ)

41 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Essendo il coefficiente di correlazione in modulo minore o uguale ad 1 si ottiene subito che la covarianza deve essere minore o uguale a 2: ρ = σ XY σ X σ 1 σ XY 1 σ XY 2 Y 1 2 Per calcolare la funzione generatrice dei momenti introduciamo il vettore t = (t X, t Y ); si ha che h G(t) = E e tzi = e tt µ+(1/2)t T Ct ; nel nostro caso, con medie nulle e deviazioni standard rispettivamente uguali ad 1 e 4, si ha: h G(t) = E e tzi = e 1 t 2 2 X +2ρt X t Y +4t2 Y ;

42 Richiami sulla matrice di covarianza Normale bivariata: richiami Una v.a. bidimensionale discreta ha funzione di densità data dalla formula f (x, y) = k(2x + y)i x,y {1,2} (x, y) dove k è una costante; determnare il valore di k, calcolare le disribuzioni marginali e dire se X ed Y sono indipendenti. La funzione di ripartizione di una v.a. bidimensionale è data da F (x, y) = (1 e αx )(1 e βy )I {x 0,y 0} (x, y) Calcolare le funzioni di ripartizione di X ed Y ; X ed Y sono indipendenti? Correlate? Calcolare P(X < 1), P(X < 1, Y < 1), P(X > x, Y > y).

43 Richiami teorici per voi per voi Dato uno spazio di probabilità (Ω, F, P) ed una v.a. X : Ω R, sia l insieme D X = {x Rt.c. per almeno unω Ω, X(ω) = x}. Sia h(x) : D X R una funzione reale misurabile. Allora la variabile Y = h(x) : Ω R è ancora una v.a. Con le analoghe estensioni lo stesso discorso può essere ripetuto per un vettore aleatorio n dimensionale: se X : Ω R n, D X è definito come sopra ed h(x) = h(x 1,..., x n) : Ω R allora Y = h(x) : Ω R è una variabile aleatoria. Come trovo la distribuzione (densità) di Y? Ci sono tre possibilità

44 Richiami teorici per voi per voi Tramite funzione di ripartizione Cioè determinando quanto vale P(Y y), ovvero la regione dello spazio R n tale che h(x 1,..., x n) y. Se f (x 1,..., x n) è la densità di X allora la funzione di ripartizione di Y è Z f (x 1,..., x n)dx 1... dx n. Θ(y) Derivando, ovviamente si ottiene la densità di Y. Tramite trasformazione Si può applicare quando X è monodimensionale e la funzione h( ) è invertibile. Allora vale che P(Y y) = P(X h 1 (y)) cioè F Y (y) = F X (h 1 (y)). Tramite f.g.m. Cioè sfruttando la sua unicità.

45 Richiami teorici per voi per voi Data una v.a. di Poisson di parametro λ = 3, calcolare la densità di Y = min(3, X).

46 Richiami teorici per voi per voi Data una v.a. di Poisson di parametro λ = 3, calcolare la densità di Y = min(3, X). Soluzione: come si ragiona? P(Y = k) = P (min(3, X) = k), k = 0, 1, 2,... se k = 3 vuol dire che X 3 pertanto P(Y = 3) = P(X 3) = 1 P(X < 3) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = = 1 e 3 + 3e «e 3 = e 3. se k = 0, 1, 2 vale che se k > 3 vale che P(Y = k) = P(X = k) = 3 k e 3 k! P(Y = k) = 0 perché il minimo fra 3 ed X non può essere maggiore di 3.

47 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a. gaussiana standard ed M = max(0, X). Quanto valgono P(M 0) e P(M < 0)? Determinare la funzione di ripartizione di M. N.B.: sul vostro libro a pag.192 viene illustrato come calcolare la funzione di ripartizione e la densità delle v.a. max e min tra due (n) v.a. indipendenti: in questo esercizio e nel precedente non ci troviamo nella stessa situazione.

48 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a. assolutamente continua con densità uniforme sull intervallo ( π/2, π/2); qual è la funzione di ripartizione di Y = tan X? Qual è la sua densità? La v.a. Y ammette media?

49 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a. assolutamente continua con densità uniforme sull intervallo ( π/2, π/2); qual è la funzione di ripartizione di Y = tan X? Qual è la sua densità? La v.a. Y ammette media? Soluzione: se X è uniforme come nel testo, significa che ha densità e ripartizione rispettivamente uguali a 8 f X (x) = 1 >< 0 x π/2 π I ( π/2,π/2)(x), F X (x) = x/π + 1/2 π/2 x π/2 >: 1 x > π/2 Dunque, poiché Y = tan X è strettamente crescente sull intervallo di definizione della X, e quindi invertibile, vale che F Y (y) = P(tan X y) = P(X arctan(y)) = = arctan(y) π Derivando otteniamo la densità di Y. + 1, per ogni y R 2

50 Richiami teorici per voi per voi f Y (y) = d arctan(y) + 1 dy π 2 «= 1 π(1 + y 2, per ogni y R. ) la precedente densità è detta densità di Cauchy; vediamo se ammette media; deve essere finito il seguente integrale: Z + Z y + π(1 + y 2 ) dy = 2 0 Z + = 1 π 0 y π(1 + y 2 ) dy = 2 Z + (1/2) d `1 dy + y 2 π y 2 dy = d `1 dy + y y 2 dy = 1 π h i + log(1 + y 2 ) = +. 0 La densità di Cauchy è un esempio di densità continua che non ammette momenti di ordine n per ogni n.

51 Richiami teorici per voi per voi Sia U una v.a. uniforme sull intervallo (0, 1). Determinate le funzioni di densità, media e varianza delle seguenti v.a.: Y 1 = U 1/2; Y 2 = U 1/2 ; Y 3 = (U 1/2) 3 ; Y 4 = 1 U+1/2 ; Y 5 = ln U, dove λ > 0; λ

52 Richiami teorici per voi per voi Due numeri X ed Y vengono scelti a caso e indipendentemente con distribuzione uniforme su [0, 1]. Qual è la probabilità che essi differiscano per più di 1/2? Indicando con Z la distanza tra X ed Y, qual è la densità di Z? Qual è la distanza media fra X ed Y?

53 Richiami teorici per voi per voi Due numeri X ed Y vengono scelti a caso e indipendentemente con distribuzione uniforme su [0, 1]. Qual è la probabilità che essi differiscano per più di 1/2? Indicando con Z la distanza tra X ed Y, qual è la densità di Z? Qual è la distanza media fra X ed Y? Soluzione: X ed Y hanno distribuzione congiunta uniforme sul quadrato [0, 1] [0, 1]. La probabilità richiesta è P[(X, Y ) A] dove A R 2 è la regione di piano i cui punti (x, y) sono tali che x y > 1/2, e la cui area vale 1/4.!!"# $!"#!

54 Richiami teorici per voi per voi Dunque P( X Y > 1/2)=1/4. Calcoliamo la funzione di ripartizione di Z. Se 0 t 1 allora P(Z > t) = P( X Y > t) altro non è che l probabilità che il punto (X, Y ) si trovi in una regione simile alla precedente, dove, questa volta, al posto di 1/2 c è t. Dunque, sempre per t 1 tale probabilità è uguale di nuovo all area della regione, cioè, in questo caso, (1 t) 2. Allora la funzione di ripartizione di Z è ( 1 (1 z) 2 0 z 1 F Z (z) = 1 P(Z > z) = 0 altrove per cui la densità è f Z (z) = 2(1 z), per 0 z 1. La distanza media tra X ed Y è dunque Z 1 E(Z ) = 2 z(1 z) dz =

55 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a esponenziale di parametro λ ed Y = X, dove la funzione g(x) = x rappresenta la parte intera di x. Calcolare la densità di Y.

56 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a esponenziale di parametro λ ed Y = X, dove la funzione g(x) = x rappresenta la parte intera di x. Calcolare la densità di Y. Soluzione: ricordiamo preliminarmente che la funzione g(x) = x ha come grafico il seguente g(x)=[x] x La variabile Y ha dunque valori interi nell insieme dei numeri naturali, e pertanto è una v.a. discreta (mentre la X era continua).

57 Richiami teorici per voi per voi Dunque bisogna calcolare Z k+1 P(Y = k) = P(k X < k + 1) = λe λt dt = e λk e λ(k+1) = k = e λk (1 e λ ). Ponendo p = 1 e λ si riconosce la densità discreta di una geometrica di parametro p.

58 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a assolutamente continua con densità f X (x) = ce x, x R; Determinare la costante; Calcolare media e varianza di X; Calcolare P( 1 < X < 1); Determinare la densità di Y = X 2.

59 Richiami teorici per voi per voi Sia X una v.a assolutamente continua con densità f X (x) = ce x, x R; Determinare la costante; Calcolare media e varianza di X; Calcolare P( 1 < X < 1); Determinare la densità di Y = X 2. Soluzione: deve valere che Z Z Z + 1 = f X (x) dx = ce x dx = 2c e x dx = 2c, R R 0 da cui c = 1/2.

60 Richiami teorici per voi per voi Poiché vale che E(X) = 1 Z + xe x dx = 0, 2 Var(X) = E(X 2 ) = 1 Z + Z + x 2 e x dx = x 2 e x dx = La probabilità richiesta è P( 1 < X < 1) = 1 Z 1 Z 1 e x dx = e x dx = 1 e Inoltre si ha che P(X 2 (0, + )) = 1, cioè X 2 è a valori positivi; pertanto la densità è F X 2 (x) = P(X 2 x) = P( x X x) = F X ( x) F X ( x), f X 2 (x) = f X ( x) d x fx ( x) d dx dx ( x) = f X ( x) + f X ( x) 2, x ovviamente per x > 0.

61 Richiami teorici per voi per voi Consideriamo la funzione f (x) = ( cx (λ+1) se x > r 0 se x < r con λ, r > 0. Determinare c in modo che la funzione sia una densità. Sia X una v.a. con densità f (x): per quali valori di λ, X ha media finita? Per quali valori ha varianza finita? Qual è la distribuzione di Y = log(x/r)? Se X è una v.a tale che P(X > x) = ( 1 se x < 1 x λ se x 1, λ > 0 qual è la funzione di ripartizione di Y = log X? E la sua densità?

62 Richiami teorici per voi per voi Consideriamo la funzione f (x) = ( cx (λ+1) se x > r 0 se x < r con λ, r > 0. Determinare c in modo che la funzione sia una densità. Sia X una v.a. con densità f (x): per quali valori di λ, X ha media finita? Per quali valori ha varianza finita? Qual è la distribuzione di Y = log(x/r)? Se X è una v.a tale che P(X > x) = ( 1 se x < 1 x λ se x 1, λ > 0 qual è la funzione di ripartizione di Y = log X? E la sua densità? Fine.