Leggi congiunte di variabili aleatorie

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1 eggi congiunte di variabili aleatorie CAPIT 6 6. FUNZINI DI DISTRIBUZINE CNGIUNTE Fino a ora abbiamo considerato unicamente le leggi di singole variabili aleatorie. Tuttavia, siamo spesso interessati a studiare problemi di probabilità legati al valore congiunto di due o più variabili aleatorie. Per trattare ueste probabilità, definiamo, per due variabili aleatorie X e Y, la funzione di distribuzione congiunta di X e Y come Fa, b2 P5X a, Y b6 a funzione di distribuzione di X può essere ottenuta da uella congiunta di X e Y come segue: F X a2 P5X a6 P5X a, Y 6 6 P Q lim 5X a, Y b6 b: R lim P5X a, Y b6 b: lim Fa, b2 b: K Fa, 2 Il lettore può notare che nelle precedenti uguaglianze abbiamo fatto uso una volta di più del fatto che la probabilità è un funzione d insieme continua. In maniera analoga, la funzione di distribuzione della variabile Y è data da F Y b2 P5Y b6 lim Fa, b2 a: K F, b2-6 a, b 6 e funzioni di distribuzioni F X e F Y sono definite le funzioni di distribuzione marginali di X e Y. Tutte le proprietà riguardanti le probabilità relative alle variabili X e Y possono, in teoria, essere espresse in termini della loro funzione di distribuzione congiunta. Per esempio, supponiamo di voler calcolare la probabilità che X sia maggiore di a e Y sia maggiore di b.

2 234 Capitolo 6 eggi congiunte di variabili aleatorie Questo può essere fatto nel seguente modo: P5X 7 a, Y 7 b6 - P5X 7 a, Y 7 b6 c 2 - P5X 7 a6 c 5Y 7 b6 c 2 - P5X a6 5Y b62-3p5x a6 + P5Y b6 - P5X a, Y b64 - F X a2 - F Y b2 + Fa, b2 (.) a Formula (.) è un caso speciale della Formula (.2), la cui dimostrazione è lasciata come esercizio. P5a 6 X a 2, b 6 Y b 2 6 Fa 2, b Fa, b 2 - Fa, b Fa 2, b 2 (.2) uando a 6 a 2, b 6 b 2. Nel caso in cui sia X che Y siano variabili aleatorie discrete, è conveniente definire la (funzione di) densità discreta congiunta di X e Y come segue px, y2 P5X x, Y y6 a densità discreta di X può essere ottenuta da px, y2 tramite p X x2 P5X x6 In maniera analoga, a px, y2 y:px, y2 7 p Y y2 a px, y2 x:px, y2 7 Esempio a. Supponiamo che vengano scelte a caso 3 palline da un urna contenente 3 palline rosse, 4 bianche e 5 blu. Se denotiamo con X e Y, rispettivamente, il numero di palline rosse e bianche scelte, allora la densità discreta congiunta di X e Y, pi, j2 P5X i, Y j6,è data da p, 2 a 5 3 bna2 3 b p, 2 a 4 ba5 2 bna2 3 b 4 p, 22 a 4 2 ba5 bna2 3 b 3 p, 32 a 4 3 bna2 3 b 4 p, 2 a 3 ba5 2 bna2 3 b 3 p, 2 a 3 ba4 ba5 bna2 3 b 6

3 6. Funzioni di distribuzione congiunte 235 TABEA 6. P5X i, Y j6 j i Somme sulla colonna P5Y j Somme sulla riga P5X i p, 22 a 3 ba4 2 bna2 3 b 8 p2, 2 a 3 2 ba5 bna2 3 b 5 p2, 2 a 3 2 ba4 bna2 3 b 2 p3, 2 a 3 3 bna2 3 b Queste probabilità possono facilmente essere tabulate come nella Tabella 6.. Il lettore noti che la densità discreta della variabile X si ottiene calcolando le somme sulle righe, mentre uella di Y si ottiene sommando i valori sulle colonne. Siccome le densità discrete di X e Y appaiono ai margini di uesta tabella, per uesto motivo hanno ricevuto il nome di densità marginali. Esempio b. Supponiamo che il 5 per cento delle famiglie in una certa comunità non abbia bambini, che il 2 per cento ne abbia, il 35 per cento ne abbia 2 e il 3 per cento ne abbia 3; e supponiamo, inoltre, che in ogni famiglia, ogni figlio sia con uguale probabilità maschio o femmina in maniera indipendente. Se scegliamo a caso una famiglia di uesta comunità, allora M, il numero di maschi e F, il numero delle femmine, in uesta famiglia hanno la densità discreta congiunta mostrata nella Tabella 6.2. TABEA 6.2 P5B i, G j6 j i 2 3 Somme sulla riga P5B i Somme sulla colonna P5G j

4 236 Capitolo 6 eggi congiunte di variabili aleatorie Queste probabilità si ottengono come segue: P5B, G 6 P5senza figli6.5 P5B, G 6 P5 femmina e in totale figlio6 P5 figlio6p5 femmina figlio6.22a 2B P5B, G 26 P52 femmine e in totale 2 figli6 P52 figli6p52 femmine 2 figli6.352a 2B 2 asciamo al lettore di verificare l esattezza degli altri valori della Tabella 6.2. Diciamo che le variabili aleatorie X e Y sono congiuntamente (assolutamente) continue se esiste una funzione fx, y2 integrabile, che abbia la proprietà che per ogni sottoinsieme C dello spazio delle coppie di numeri reali P5X, Y2 H C6 fx, y2 dx dy x, y2hc (.3) a funzione fx, y2 è chiamata (funzione di) densità congiunta di X e Y. Se A e B sono una ualsiasi coppia di sottoinsiemi della retta reale, allora definendo C 5x, y2: x H A, y H B6, dalla Formula (.3) otteniamo che P5X H A, Y H B6 B A fx, y2 dx dy (.4) Poiché segue, differenziando, che Fa, b2 P5X H -, a4, Y H -, b46 b - - fa, b2 2 Fa, b2 a b sempre che le derivate parziali di F abbiano senso. Un ulteriore interpretazione della densità congiunta si ottiene dalla Formula (.4) nel modo seguente: P5a 6 X 6 a + da, b 6 Y 6 b + db6 d + db fa, b2 da db uando da e db sono piccoli e fx, y2 è continua in (a, b). Perciò fa, b2 risulta una misura di uanto sia probabile che il vettore (aleatorio) X, Y2 sia vicino a a, b2. Se X e Y sono congiuntamente continue, esse lo saranno anche individualmente, e le loro densità si posso ottenere come segue: a fx, y2 dx dy P5X H A6 P5X H A, Y H -, 26 b a a + da fx, y2 dx dy

5 dove 6. Funzioni di distribuzione congiunte 237 è perciò la densità (marginale) della variabile aleatoria X. In maniera analoga, la densità (marginale) di Y è data da Esempio c. a densità congiunta di X e Y è data da Si calcolino (a) P5X 7, Y 6 6, (b) P5X 6 Y6, e (c) P5X 6 a6. Soluzione (a) P5X 7, Y 6 6 (b) P5X 6 Y6 fx, y2 b 2e-x e -2y 6 x 6, 6 y 6 altrimenti 2e -2y - e -y 2 dy 2e -2y dy - 2e -3y dy x, y2: x 6 y y 2e -2y -e -x ` dy e - 2e -2y dy e - - e -2 2 A f X x2 fx, y2 dy f Y y2 fx, y2 dx 2e -x e -2y dx dy 2e -x e -2y dx dy 2e -x e -2y dx dy - A f X x2 dx - - fx, y2 dy dx

6 238 Capitolo 6 eggi congiunte di variabili aleatorie a (c) P5X 6 a6 a e -x dx - e -a 2e -2y e -x dy dx Esempio d. Si consideri un cerchio di raggio R e supponiamo di scegliere a caso un punto dentro il cerchio in modo tale che tutte le regioni di uguale area interne al cerchio abbiano uguale probabilità di contenere il punto. (In altre parole, il punto è uniformemente distribuito dentro il cerchio.) Se fissiamo il centro del cerchio come l origine di un sistema di assi cartesiani e X e Y rappresentano le coordinate del punto scelto (Figura 6.), segue che, essendo X, Y2 un punto scelto a caso e in modo uniforme, la densità congiunta di X e Y è data da per un ualche c. (a) Si determini la costante c. (b) Si determinino le densità marginali di X e Y. (c) Si calcoli la probabilità che D, la distanza dall origine del punto selezionato, sia minore o uguale a a. (d) Si trovi E3D4. Soluzione segue che (a) Poiché fx, y2 b c se x2 + y 2 R 2 se x 2 + y 2 7 R fx, y2 dy dx c dy dx x 2 + y 2 R 2 y R (, ) (X, Y) x Figura 6. Distribuzione congiunta.

7 6. Funzioni di distribuzione congiunte 239 Possiamo calcolare utilizzando la trasformazione a coordinate polari, o più semplicemente notando che essa rappresenta l area del cerchio ed è uin- 4x 2 + y 2 2 dy dx R di uguale a pr 2. Quindi (b) f X x2 fx, y2 dy - pr 2 x 2 + y 2 R 2 dy c dy c 2R 2 - x 2 pr 2 -c 2 pr 2 2R2 - x 2 x 2 R 2 ed è uguale a uando x 2 7 R 2. Per simmetria la densità marginale di Y è data da f Y y2 2 pr 2 2R2 - y 2 y 2 R 2 y 2 7 R 2 (c) Per la funzione di distribuzione di D 2X 2 + Y 2, la distanza dall origine, si ottiene uanto segue: per a R, F D a2 PE 2X 2 + Y 2 af P5X 2 + Y 2 a 2 6 fx, y2 dy dx x 2 + y 2 a 2 pr 2 pa2 pr 2 a2 R 2 c pr 2 dove abbiamo utilizzato il fatto che è l area del cerchio di raggio a e uindi è pari a pa 2 4x 2 + y 2 2 dy dx a. (d) Per il punto (c) otteniamo che la densità di D è x 2 + y 2 a dy dx f D a2 2a R 2 a R

8 24 Capitolo 6 eggi congiunte di variabili aleatorie Quindi E3D4 R 2 a 2 da 2R R 2 3 Esempio e. a densità congiunta di X e Y è data da + y2 e-x 6 x 6, 6 y 6 fx, y2 b altrimenti Si determini la densità della variabile X>Y. Soluzione Iniziamo calcolando la funzione di distribuzione di X>Y. Per a 7, F X>Y a2 Pe X Y a f x>y a e -x + y2 dx dy - e -ay 2e -y dy b -e -y + - a + e-a + 2y a + r ` Differenziando otteniamo che la densità di X>Y è data da f >a X>Y a2, 6 a 6. Possiamo definire in maniera analoga al caso di due variabile, la distribuzione di probabilità congiunta di n variabili aleatorie. Per esempio, la funzione di distribuzione congiunta Fa, a 2, p, a n 2 di n variabili aleatorie X, X 2, p, X n si definisce Fa, a 2, p, a n 2 P5X a, X 2 a 2, p, X n a n 6 Inoltre, le n variabili aleatorie sono dette congiuntamente continue se esiste una funzione fx, x 2, p, x n 2, detta densità congiunta, tale che per ogni sottoinsieme C dello spazio delle n-uple di numeri reali ay e -x + y2 dx dy P5X, X 2, p, X n 2 H C6 p fx, p, x n 2 dx dx 2 p dxn x, p, x n 2HC In particolare, per ogni famiglia di sottoinsiemi A, A 2, p, A n della retta reale P5X H A, X 2 H A 2, p, X n H A n 6

9 6.2 Variabili aleatorie indipendenti 24 An A n - p A fx, p, x n 2 dx dx 2 p dxn r Esempio f. a distribuzione multinomiale. Una delle più importanti distribuzioni congiunte è certamente la multinomiale, che si ottiene uando si ripeta n volte un esperimento in forma indipendente. Supponiamo che ogni esperimento possa avere come risultato uno ualsiasi tra r possibili esiti, con probabilità pari a p, p 2, p, p r, a p i, rispettivamente. Se denotiamo con X i il numero degli n esperimenti che hanno dato come risultato l esito numero i, i allora P5X n, X 2 n 2, p, X r n r 6 n! n! n 2! p n r! p n p 2 n 2 p pr n r (.5) r ogni volta che a n i n. i a Formula (.5) è verificata notando che ogni successione degli esiti degli n esperimenti che portano al fatto che l esito i si verifichi esattamente n i volte, per n i, avrà probabilità pari a p n p 2 2 p n 2, p, r, pr r, grazie all ipotesi di indipendenza. Essendoci n!>n! n 2! p n r!2 di tali seuenze (vi sono n!>n! p n r! permutazioni di n oggetti dei uali n sono uguali tra loro, n 2 sono uguali tra loro, p, n r sono uguali tra loro) la Formula (.5) risulta verificata. a distribuzione congiunta determinata dalla densità discreta congiunta data dalla Formula (.5) è detta distribuzione multinomiale. Il lettore noterà che per r 2, la distribuzione multinomiale si riduce all usuale binomiale. Come applicazione della distribuzione multinomiale, supponiamo di lanciare 9 volte un dado euilibrato. a probabilità che appaia tre volte, 2 e 3 due volte ciascuno, 4 e 5 una sola volta ciascuno e il 6 mai, è pari a 9! 3! 2! 2!!!! a 6 b 3 a 6 b 2 a 6 b 2 a 6 b a 6 b a 6 b 9! 3! 2! 2! a 6 b VARIABII AEATRIE INDIPENDENTI e variabili aleatorie X e Y si dicono indipendenti se, per ogni coppia di sottoinsiemi della retta reale A e B, P5X H A, Y H B6 P5X H A6P5Y H B6 (2.) In altre parole, X e Y sono indipendenti se, per ogni A e B, gli eventi E A 5X H A6 e F B 5Y H B6 sono indipendenti. Grazie agli assiomi della probabilità si può provare che l Euazione (2.) è verificata se e solo se per ogni coppia di numeri reali a, b, P5X a, Y b6 P5X a6p5y b6

10 242 Capitolo 6 eggi congiunte di variabili aleatorie Quindi, in termini della distribuzione congiunta F di X e Y, abbiamo che X e Y sono indipendenti se e solo se Fa, b2 F X a2f Y b2 per ogni a, b Quando X e Y sono variabili aleatorie discrete, la definizione d indipendenza (2.) risulta euivalente a px, y2 p X x2p Y y2 per ogni x, y (2.2) euivalenza segue poiché, se (2.) è soddisfatta, allora otteniamo la (2.2) ponendo A e B uguali, rispettivamente, ai sottoinsiemi formati da un solo punto A 5x6, B 5y6. Inoltre, se (2.2) è soddisfatta, allora per ogni coppia di sottoinsiemi A e B, P5X H A, Y H B6 ayhb a xha px, y2 ayhb a xha p X x2p Y y2 e uindi la (2.) risulta verificata. Nel caso di variabili congiuntamente continue la condizione d indipendenza è euivalente a fx, y2 f X x2f Y y2 per ogni x, y Perciò, semplificando, X e Y sono indipendenti se la conoscenza del valore di una non cambia la distribuzione dell altra. e variabili che non sono indipendenti vengono definite dipendenti. Esempio 2a. Supponiamo che vengano eseguite n + m prove indipendenti, ognuna delle uali abbia probabilità pari a p di risultare in un successo. Se X è il numero di successi nelle prime n prove e Y il numero di successi nelle m prove successive, allora X e Y sono indipendenti, già che conoscere il numero dei successi nelle prime n prove non modifica la distribuzione del numero di successi nelle ulteriori m prove (per l ipotesi di indipendenza delle prove). Infatti, per valori interi positivi x e y, P5X x, Y y6 a n x bpx - p2 n - x a m y bpy - p2 m - y P5X x6p5y y6 ayhb p Y y2 a xha p X x2 P5Y H B6P5X H A6 x n, y m D altra parte anche X e Z saranno indipendenti, dove Z è il numero totale di successi nelle n + m prove (perché?). Esempio 2b. Supponiamo che il numero di persone che entrano in un ufficio postale in un dato giorno sia descrivibile con una variabile di Poisson di parametro l. Si provi che, se ogni persona che entra nell ufficio postale è un uomo con probabilità pari a p e donna con probabilità pari a p, allora il numero di uomini e

11 6.2 Variabili aleatorie indipendenti 243 donne che entrano nell ufficio postale sono variabili aleatorie di Poisson indipendenti di parametri rispettivamente pari a lp e l - p2. Soluzione Denotiamo con X e Y, rispettivamente, il numero di uomini e donne che entrano nell ufficio postale. Proveremo che sono indipendenti dimostrando che la Formula (2.2) è verificata. Per ottenere uesta espressione per P5X i, Y j6, condizioniamo rispetto a X + Y come segue: P5X i, Y j6 P5X i, Y j X + Y i + j6p5x + Y i + j6 + P5X i, Y j X + Y Z i + j6p5x + Y Z i + j6 [Il lettore noti come uesta formula non sia altro che un caso particolare della formula PE2 PE F2PF2 + PE F c 2PF c 2. ] Essendo P5X i, Y j X + Y Z i + j6 chiaramente pari a, otteniamo P5X i, Y j6 P5X i, Y j X + Y i + j6p5x + Y i + j6 (2.3) ra, siccome X + Y rappresenta il numero totale di persone che entrano nell ufficio postale, segue, per ipotesi, che P5X + Y i + j6 e -l l i + j (2.4) i + j2! Inoltre, dato che i + j persone entrano nell ufficio postale e con probabilità pari a p ognuna di esse è un uomo, segue che la probabilità che esattamente i di essi sia un uomo (e uindi j siano donne) è semplicemente la densità discreta di una variabile binomiale di parametri i + j e p valutata in i, ovvero a i + j bp i - p2 j. Quindi i P5X i, Y j X + Y i + j6 a i + j bp i - p2 j (2.5) i Sostituendo la (2.4) e la (2.5) nella (2.3) abbiamo P5X i, Y j6 a i + j i l i + j bp i - p2 j e -l i + j2! Perciò lp2i -l e 3l - p24j i! j! e-lp lp2 i 3l - p24j -l - p2 e i! j! lp2i 3l - p24j -lp -l - p2 P5X i6 e i! a e j j! lp2i -lp e i! (2.6) (2.7) e in maniera simile 3l - p24j -l - p2 P5Y j6 e j! e Formule (2.6), (2.7) e (2.8) verificano uanto desiderato. (2.8)