Variabili aleatorie binomiali e di Poisson

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1 Variabili aleatorie binomiali e di Poisson Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata via Trieste, Padova vargiolu@math.unipd.it 9 gennaio 2007

2 Indice 1 Variabili aleatorie binomiali e di Poisson Coefficienti binomiali Legge binomiale Serie numeriche Legge di Poisson Formule ricorsive per le leggi binomiali e di Poisson ii

3 Capitolo 1 Variabili aleatorie binomiali e di Poisson Scopo di queste note è studiare la variabile aleatoria che risulta dalla somma di n variabili X 1,..., X n di Bernoulli indipendenti e di medesimo parametro p S n La S n é una variabile aleatoria discreta a valori nell insieme N {0,..., n}. La sua legge è quindi univocamente determinata dalle quantità P{S n k}, per k 0,..., n. È facile calcolare queste quantità per k 0, n: X i P{S n 0} P{X i 0 i 1,..., n} P{S n 1} P{X i 1 i 1,..., n} Per k 1, n 1 le cose già si fanno piú laboriose: ( n ) P{S n 1} P {X i 1, X j 0 j i} P{X i 1, X j 0 j i} n P{X i 0} p n n P{X i 1} (1 p) n p(1 p) n 1 np(1 p) n 1 ( n ) P{S n n 1} P {X i 0, X j 1 j i} P{X i 0, X j 1 j i} p n 1 (1 p) np n 1 (1 p) 1

4 2 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE BINOMIALI E DI POISSON e si fanno via via piú laboriose man mano che k si allontana da 0 e n. Infatti, per calcolare P{S n k} per un k qualsiasi, bisogna conoscere quanti sono tutti i possibili modi in cui le variabili aleatorie X i, i 1,..., n possono assumere il valore 1 esattamente k volte. Vediamo che questo problema si puó ricondurre al calcolare quanti sono tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi. 1.1 Coefficienti binomiali La soluzione al problema quanti sono tutti i possibili sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi, con n k 0, è data dai cosiddetti coefficienti binomiali: ( ) n n! k k!(n k)! (che si legge n su k), dove la quantità n! si dice fattoriale di n (o anche n fattoriale), ed è definita da n n! i n Per convenzione, si pone 0! 1. L uso piú comune dei coefficienti binomiali è nella potenza di un binomio: se a, b R e n N, allora ( ) n (a + b) n a k b n k k k1 Se n é alto, un modo per calcolare (in modo approssimato) i coefficienti binomiali è approssimare il fattoriale con la formula di Stirling: n! 2πn n+1/2 e n La dimostrazione della validità della formula è molto lunga, e viene pertanto omessa. 1.2 Legge binomiale Come detto all inizio, vogliamo trovare la legge di S n n k1 X k, con X 1,..., X n i.i.d. di legge di Bernoulli di parametro p (0, 1). La legge della variabile aleatoria S n è caratterizzata dalle quantità P{S n k} per k 0,..., n. Notiamo che possiamo scrivere l evento {S n k} come {S n k} K N, K k A K, con Allora A K {X i 1 i K, X j 0 j N \ K} P{S n k} P K N, K k K N, K k A K p k (1 p) n k K N, K k P(A K ) ( ) n p k (1 p) n k k

5 1.2. LEGGE BINOMIALE 3 S n si chiama variabile aleatoria binomiale di parametri n e p, e la sua legge si indica con B(n, p). Notiamo che se n 1, allora S 1 si riduce ad una variabile aleatoria di Bernoulli, e la sua legge si puó quindi indicare con B(1, p). Vediamo ora alcune proprietà delle variabili aleatorie binomiali. Teorema 1.1 Se S n é una variabile aleatoria di legge B(n, p): 1. E[S n ] np, Var [S n ] np(1 p) 2. se S m B(m, p) è indipendente da S n, allora S m + S n B(m + n, p) 3. se np > 5 e n(1 p) > 5, allora la legge B(n, p) puó essere approssimata con una legge N(np, np(1 p)) Dimostrazione. 1. Possiamo scrivere S n n X i, dove le X i, i 1,..., n sono indipendenti e tutte di legge B(1, p). Allora: [ n ] E[S n ] E X i E[X i ] p np Siccome poi le X i, i 1,..., n sono indipendenti, abbiamo anche: Var [S n ] Var [ n ] X i Var [X i ] p(1 p) np(1 p) 2. Intuitivamente, S m è somma di m variabili indipendenti di legge B(1, p), e S n è somma di n variabili indipendenti di legge B(1, p), e quindi S m + S n è somma di m + n variabili indipendenti di legge B(1, p). Tuttavia, non sappiamo se le variabili di Bernoulli in S m sono tutte indipendenti dalle variabili di Bernoulli in S n ; si puó tuttavia verificare che in effetti S m + S n ha legge B(m + n, p), calcolando P{S m + S n k}. 3. È un caso particolare di approssimazione normale per variabili aleatorie (X n ) n di Bernoulli. Abbiamo appena visto che se np > 5 e n(1 p) > 5, allora una legge binomiale puó essere ben approssimata da una opportuna legge gaussiana. Ci sono peró frequentemente casi in cui np < 5 (o anche n(1 p) < 5), sia perché n é basso, sia perché, nonostante n sia alto, p é talmente basso che np < 5. Cosa fare in questi casi? Nel primo caso (n basso), puó essere una buona idea usare la legge binomiale esatta, senza tentare di approssimarla. Nel secondo caso (p basso), vedremo che è possibile un altra approssimazione, chiamata approssimazione di Poisson. Prima peró è necessario analizzare la variabile aleatoria di Poisson, e per farlo richiamiamo il concetto di serie numerica.

6 4 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE BINOMIALI E DI POISSON 1.3 Serie numeriche Consideriamo una successione di numeri reali (a n ) n N e costruiamo la nuova successione s n a i a 0 + a a n i0 I numeri s n, n N, si dicono somme parziali dei termini (a n ) n N. Si dice poi serie di termini (a n ) n N, la somma infinita degli a n, e si indica con a n a 0 + a n0 Piú in particolare, se esiste il limite lim s n, allora la serie n0 a n é uguale a questo limite. Si puó quindi ricondurre la teoria delle serie a quella delle successioni. Come le successioni, le serie possono essere convergenti, divergenti o indeterminate. In particolare: 1. se lim s n K R, diciamo che la serie è convergente, e chiamiamo il numero K somma della serie n0 a n; indichiamo questo fatto con la scrittura n0 a n K; 2. se lim s n ±, diciamo che la serie è divergente, e scriviamo n0 a n ± ; 3. se lim s n non esiste, diciamo che la serie è indeterminata. Se una serie non è convergente, si dice che è non convergente (puó quindi essere divergente o indeterminata). Esempio 1.2 Infatti poniamo Allora Abbiamo s n i0 a n e quindi abbiamo il risultato. n0 1 (n + 1)(n + 2) 1 1 (n + 1)(n + 2) 1 n n + 2 a i n n + 2 ( lim s n lim 1 1 ) 1 n + 2

7 1.4. LEGGE DI POISSON 5 Esempio 1.3 n0 p n 1 1 p per ogni p tale che 0 < p < 1. Infatti poniamo a n p n. Allora Abbiamo e quindi abbiamo il risultato. s n i0 p i 1 pn+1 1 p lim s 1 p n+1 n lim 1 1 p 1 p Nel seguito ci servirà il valore della seguente serie, che diamo per noto poiché il suo calcolo è abbastanza complesso: λ n n! eλ n0 dove e 2,71... è il numero di Nepero, ottenuto come 1.4 Legge di Poisson ( e lim ) n n Prendiamo λ > 0 e consideriamo una variabile aleatoria X discreta con legge definita da λ λk P{X k} e k! La variabile aleatoria X si dice variabile aleatoria di Poisson di parametro λ, e la sua legge si indica con P o(λ). Vediamo ora alcune sue proprietà. Teorema 1.4 Se X P o(λ), allora: 1. E[X] λ, Var [X] λ 2. se Y P o( λ) è indipendente da X, allora X + Y P o(λ + λ ) Dimostrazione. 1. vedi libro di testo.

8 6 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE BINOMIALI E DI POISSON 2. Calcoliamo ( k ) P{X + Y k} P {X i, Y k i} i0 k P{X i}p{y k i} i0 e (λ+ λ) k i0 k P{X i, Y k i} i0 k e i0 λ λi i! e λ λ k i (k i)! ( ) 1 k λ i λk i e (λ+ λ) 1 k (λ + λ) k! i k! Vediamo ora che una successione di variabili aleatorie binomiali puó avere come limite una variabile aleatoria di Poisson. Teorema 1.5 Consideriamo una successione di variabili aleatorie binomiali X n legge B(n, p n ), n N, con i parametri p n tali che lim np n λ > 0. Allora X n X, con X P o(λ). Dimostrazione. Innanzitutto calcoliamo il limite di P{X n k} per un generico k: dato che vogliamo fare un limite per n, possiamo usare la formula di Stirling nei fattoriali in cui compare n: P{X n k} Abbiamo che lim np n λ. Allora Inoltre, lim ( ) n p k k n(1 p n ) n k 2πn n+1/2 e n n! k!(n k)! pk n(1 p n ) n k k! 2π(n k) n k+1/2 e (n k) pk n(1 p n ) n k e k n n k+1/2 ( k!(n k) (np n) k 1 np n n k+1/2 n ( lim 1 np n n n n k+1/2 k!(n k) n k+1/2 lim lim ) n k lim ( n k n ( 1 k n ( 1 λ ) n e λ n ) n+k 1/2 lim ) n e k ) n k ( ) n+k 1/2 n k n e quindi lim P{X n k} e k e k 1 k! λk e λ e λ λk k!

9 1.5. FORMULE RICORSIVE PER LE LEGGI BINOMIALI E DI POISSON 7 Questo basta a dire che X n legge X. Infatti, i punti di R in cui F X é continua sono tutti i punti che non sono numeri naturali; se per ogni x R \ N indichiamo con il simbolo [x] la parte intera di x, cioé il piú grande numero intero che é minore o uguale x, abbiamo: lim F X n (x) lim P{X n x} lim P{X n k} Questo ci dà la tesi. [x] k0 [x] k0 λ λk e k! P{X x} F X(x) [x] k0 lim P{X n k} Questo fatto giustifica l approssimazione di Poisson: se n è molto grande e p è molto piccolo, allora la legge binomiale B(n, p) si puó approssimare con una legge di Poisson P o(λ), con λ np. Questo è utile se np < 5, caso in cui non si puó usare l approssimazione normale. 1.5 Formule ricorsive per le leggi binomiali e di Poisson A volte può capitare di dover calcolare quantità del tipo P{X k} per parecchi k interi, dove X è una variabile aleatoria binomiale oppure di Poisson. Le seguenti formule possono allora aiutare a non dover calcolare tutti i coefficienti binomiali e/o i fattoriali, ma a fare il minimo indispensabile di operazioni sfruttando i risultati già calcolati. Teorema Se X B(n, p), allora per ogni k 0,..., n 1, 2. Se X P o(λ), allora per ogni k 0, Dimostrazione. P{X k + 1} P{X k} n k p k p P{X k + 1} P{X k} λ k Se X B(n, p), allora per ogni k 0,..., n 1 si ha che ( ) n p k+1 (1 p) n k 1 P{X k + 1} k + 1 ( P{X k} n )p k (1 p) n k k n! (k + 1)!(n k 1)! pk+1 (1 p) n k 1 n! k!(n k)! pk (1 p) n k 1 (k + 1) p 1 (n k) (1 p)

10 8 CAPITOLO 1. VARIABILI ALEATORIE BINOMIALI E DI POISSON n k p k p Riordinando i termini si ottiene la tesi. 2. Se X P o(λ), allora per ogni k 0 si ha che P{X k + 1} P{X k} e λ λk+1 (k + 1)! λk e λ k! λ k + 1 Riordinando i termini si ottiene la tesi.