PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2011/12

Transcript

1 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 0/ Esercizio Prova scritta del 7/06/0 Siano X e Y due v.a. indipendenti, con distribuzione continua Γ(, ). Si trovino la distribuzione di X Y e di (X Y ). Esercizio In un recipiente sono contenute n palle nere, n palle bianche e n palle rosse, (con n > 3), e si effettuano estrazioni, lasciando fuori ogni volta la palla estratta. Si calcoli la probabilita P (n) che, nelle prime tre estrazioni, siano uscite tre palle dello stesso colore. Si calcoli poi il valore limite di tale probabilita, quando n cresce indefinitamente. Esercizio 3 Una fabbrica produce biglie aventi diametro di lunghezza X (misurata in millimetri). Si supponga che X N(µ, σ = 0.04). Posto di aver misurato un campione casuale di n = 50 biglie e di aver trovato che x = 5 si calcoli l intervallo di confidenza per la media al livello del 5%. Supponendo che il valore di x rimanga invariato determinare il valore minimo di n affinché l ampiezza dell intervallo di confidenza si riduca a 00. Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: ( Φ(, 8) = 0, 9, Φ(, 645) = 0, 95 Φ(, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 ) Esercizio Soluzioni compito 7/06/0 Usando il prodotto di convoluzione, non e difficile dedurre che la densita di Z = X Y e data da f Z (z) = 0 0 f X (z + y)f Y (y)dy = z e z y e y dy, dove z = max{0, z}. Un semplice calcolo fornisce allora { f Z (z) = e z e z e z =, z > 0 e z, z 0 = e z,

2 per ogni z reale. Quanto alla distribuzione di Z, intanto si puo osservare che tale variabile e sempre positiva; inoltre, per u > 0 si ha F Z (u) = P ([ Z u]) = P ([ u Z u]) = u 0 f Z (t)dt = e u. Dunque, anche Z ha distribuzione Γ(, ). Per determinare la distribuzione di (X Y ) = Z, basta calcolare la funzione di ripartizione. Per v > 0 si ha infatti P ([Z v]) = P ([ Z v]) = e v, e quindi, derivando f Z (v) = v v e. Esercizio L evento cercato e unione di tre eventi incompatibili, ciascuno relativo al colore della palla estratta. Questi eventi hanno tutti la stessa probabilita, pari a n(n )(n ) = (n )(n ). L evento in questione ha dunque probabilita 3n(3n )(3n ) 3(3n )3n ) P (n) = Un semplice calcolo fornisce il limite: (n )(n ) (3n )(3n ). lim n P (n) = 9. Esercizio 3 Poiché la popolazione di partenza é normale sappiamo che: P ( z α X µ n z α σ ) = α. Quindi con i dati che noi abbiamo risulta α = 0, 05 da cui α/ = 0, 05. Possiamo quindi determinare il valore di z α essere: che dalla tabella sulla funzione normale vediamo z α =, 96. Da cio ricaviamo che l intervallo fiduciario per µ é dato da: e sostituendo con i numeri si ha (5, 96 (X z α σ/ n; X + z α σ/ n) ; 5 +, 96 ) = ( ; ) = (4.9445; )

3 L ampiezza dell intervallo di confidenza e dunque circa 0.. Se si vuole che tale ampiezza si riduca a 0.0, ossia ad del valore trovato per n = 50, bisogna che n venga moltiplicato per il quadrato di, cioe. Pertanto, occorre un campione di 6050 prove, se si vuole che, con la stessa media campionaria, l intervallo di confidenza abbia ampiezza 0.0. (Una stima piu precisa fornisce n = 6047). Prova scritta dell /07/0 Esercizio Sia X una variabile aleatoria con distribuzione continua, di tipo U(0, ). Posto poi, per x [0, ]: f(x) = x, si determini la distribuzione di Y = f(x) e successivamente quella di Z = f(y ). Esercizio Si supponga di lanciare indefinitamente un dado onesto, in condizioni di indipendenza, finche non esca il primo 5. Detta T la variabile aleatoria che rappresenta il numero di lanci occorrenti per la prima uscita del 5, si calcoli la probabilita che il numero intero T abbia 0 come ultima cifra. Esercizio 3 Adoperando le proprieta della funzione Γ, si provi che la funzione f(x; A) = π A 3 x e A x, con x IR, e una densita di probabilita, per qualsiasi parametro reale A 0. Si determini la stima di massima verosimiglianza per A, supponendo noto un campione aleatorio (y,..., y n ) estratto dalla distribuzione che ha f come densita. Soluzioni compito /07/0 Esercizio Un semplice esame della funzione f mostra che si ha { x, x f(x) = x, x. Dunque, chiaramente Y ha valori compresi tra 0 e. Fissato t [0, ], risulta [f(x) t] [x t ] [x t ], e le due alternative (x t e x t sono incompatibili. Dunque P ([Y t]) = P ([X t ]) + P ([X t ]) = t = t. 3

4 Pertanto, la funzione di ripartizione di Y e la stessa di X, e quindi Y U(0, ). A questo punto e ovvio che anche Z ha le stesse caratteristiche, e quindi Z U(0, ). Esercizio Chiaramente, T NB(, ). Poiche T e a valori interi positivi, lo stesso 6 vale per T. Ora, il numero intero T ha come ultima cifra 0 se e solo se e multiplo di 0, e cio accade se e solo se T e multiplo di 0. Dunque, detto E l evento in oggetto, il calcolo della probabilita richiesta si puo svolgere come segue: P (E) = + k= P ([T = 0k]) = + k= 6 (5 6 )0k = + ( )0 ) k = 5 (5 6 )0 ( 5 = k= 6 ) Esercizio 3 Essendo Γ( 3) = π, e poiche la funzione f e pari rispetto a x, si ha f(x; A)dx = 4 π 0 A 3 x e A x dx = π 0 ve v dv = π Γ( 3 ) =, (avendo effettuato la sostituzione v = A x ). Dunque, effettivamente f e una densita per ogni A 0. Ora, la verosimiglianza del campione (y,..., y n ) e data da L(y,..., y n ; A) = ( π ) n A 3n y y...y n e A (y +y +...y n). Eliminando le costanti irrilevanti, bisogna massimizzare, rispetto al parametro A, la funzione L 0 (A) = A 3n e A (y +y +...y n). Derivando, e ponendo S = y + y +...y n, si ottiene L 0(A) = 3nA 3n e SA A 3n e AS AS = A 3n e SA (3n SA ). Si vede ora facilmente che il valore di A che massimizza L 0 (e quindi la verosimiglianza), 3n e A =. S Prova scritta del /09/0 Esercizio Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Normale standard. Usando la facile relazione x ax = (x a) a, si calcolino valor medio e varianza di Y = e X. 4

5 Esercizio Si supponga di lanciare un dado onesto 5 volte, e si denoti con S la somma delle 5 facce uscite. Si trovi una relazione tra le quantita P ([S = k]) e P ([S = 05 k]) per k variabile tra 5 e 90 (ossia tutti i valori possibili per S). probabilita che il numero S sia dispari. Se ne deduca la Esercizio 3 Una variabile aleatoria X ha distribuzione normale. Si supponga che σ = 0.9 e che si voglia stimare µ sulla base di osservazioni I.I.D. della X, x,..., x : qual é l ampiezza dell intervallo di confidenza per µ al livello di significativita del 5%? Quante dovrebbero essere le osservazioni, se si vuole che l ampiezza dell intervallo si riduca di un terzo? Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: ( ) Φ(, 8) = 0, 9, Φ(, 645) = 0, 95 Φ(, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 Soluzioni compito /09/0 Esercizio Per calcolare E(e X ), basta svolgere l integrale E(e X ) = π Utilizzando la relazione suggerita, avremo Analogamente, avremo E(e X ) = π E(e X ) = π Tramite la relazione suggerita, troveremo e x e x dx = e e (x ) dx = e x e x dx = π e x x dx. e π π = e. π e 4x x dx. E(e X ) = π e e (x ) dx = e. Infine, V (e X ) = E(e X ) E (e X ) = e e. 5

6 Esercizio La relazione richiesta e di uguaglianza: P ([S = k]) = P ([S = 05 k]), per ogni k = 5,..., 90. Per esempio, con k = 5, avremo 05 k = 90: i due eventi corrispondono ad avere tutti oppure tutti 6 rispettivamente; dato che il dado e onesto, i due eventi hanno la stessa probabilita. Dato un valore generico di k, la probabilita che S sia uguale a k viene calcolata come somma di probabilita di eventi del tipo [X = k, X = k,..., X 6 = k 6 ], dove ogni X i denota quante volte esce la faccia i, e le sestuple (k, k,..., k 6 ) sono scelte ogni volta in modo tale che k + k + 3k k 6 = k, (oltre naturalmente alla condizione i k i = 5). Ora, per l onesta del dado, l evento A := [X = k, X = k,..., X 6 = k 6 ] ha la stessa probabilita dell evento simmetrico A := [X = k 6, X = k 5,..., X 6 = k ], che a sua volta e favorevole a S = 05 k, in quanto A comporta che S = k 6 +k k +6k = (7 )k 6 +(7 )k +...+(7 6)k = 7 i k i k = 05 k. In altre parole, comunque si scelga k, e comunque si scelga la sestupla (k,..., k 6 ) in modo favorevole a S = k, la sestupla simmetrica (k 6, k 5,..., k ) e favorevole a S = 05 k, e ha la stessa probabilita di verificarsi. Sommando tali probabilita al variare delle sestuple (k, k,..., k 6 ) in tutti i modi ammissibili, si ottiene la relazione di uguaglianza tra P ([S = k]) e P ([S = 05 k]). Ora, la condizione che S sia dispari equivale a richiedere che S sia uguale a 5, o a 7, ecc. fino a 89: per ciascuno di tali valori (tra loro incompatibili), c e un corrispondente valore pari che ha la stessa probabilita di verificarsi: per 5 c e 90, per 7 c e 88=05-7, ecc. Pertanto, sommando le probabilita di tutti i possibili valori dispari di S si ottiene la stessa probabilita che si otterrebbe sommando tutti i possibili valori pari, e quindi ciascuna di tali somme (P ([S pari] o P ([S dispari])) ha lo stesso valore, cioe. Esercizio 3 Detta x la media aritmetica dei dati x,..., x, l intervallo di confidenza cercato per µ sara [x δ, x + δ], ove δ = σ n z 0.05, ossia δ =

7 L ampiezza dell intervallo é dunque circa.0. Se si vuole ridurre di un terzo tale ampiezza, basta moltiplicare per 9 4 osservazioni, per cui il campione dovra essere costituito da 7 dati. il numero di Prova scritta del 6/09/0 Esercizio Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Normale standard. Usando la facile relazione x ax = (x a) a, si calcolino valor medio e varianza di Y = X = e X ln. Esercizio In un recipiente ci sono 4 palline, numerate da a 4. Si supponga di estrarre 5 volte una palla a caso dall urna, rimettendola poi nel recipiente dopo averne annotato il numero. Denotata con S la somma dei numeri annotati, si trovi una relazione tra le quantita P ([S = k]) e P ([S = 5 k]) per k variabile tra 5 e 00 (ossia tutti i valori possibili per S). Se ne deduca la probabilita che il numero S sia pari. Esercizio 3 Una variabile aleatoria X ha distribuzione normale, X N(µ, σ ). Si supponga che σ = 0.5 e che si voglia stimare µ sulla base di 5 osservazioni I.I.D. della X, x,..., x 5 : qual é l ampiezza dell intervallo di confidenza per µ al livello di significativita del 5%? Quante dovrebbero essere le osservazioni, se si vuole che l ampiezza dell intervallo si riduca di un quarto? Detta Φ la funzione di ripartizione della distribuzione normale N(0, ), utilizzare la seguente tabella: ( ) Φ(, 8) = 0, 9, Φ(, 645) = 0, 95 Φ(, 96) = 0, 975 Φ(.58) = 0, 995 Soluzioni compito 6/09/0 Esercizio Si ha πe( X ) = e x ln e x dx = e ln (x ln ) e dx = e ln π, 7

8 per cui E( X ) = e ln.7. Si ha poi, analogamente, πe( X ) = e x ln e x dx = e ln (x ln ) e dx = e ln π, per cui E(4 X ) = e ln.64. In conclusione, V ( X ) = E(4 X ) E ( X ) = e ln e ln Esercizio La relazione richiesta e di uguaglianza: P ([S = k]) = P ([S = 5 k]), per ogni k = 5,..., 00. Per esempio, con k = 5, avremo 5 k = 00: i due eventi corrispondono ad avere tutti oppure tutti 4 rispettivamente; poiche tutte le palline sono equiprobabili, i due eventi hanno la stessa probabilita. Dato un valore generico di k, la probabilita che S sia uguale a k viene calcolata come somma di probabilita di eventi del tipo [X = k, X = k, X 3 = k 3, X 4 = k 4 ], dove ogni X i denota quante volte esce la palla numero i, e le quaterne (k, k, k 3, k 4 ) sono scelte ogni volta in modo tale che k + k + 3k 3 + 4k 4 = k, (oltre naturalmente alla condizione i k i = 5). Ora, per l equiprobabilita, l evento A := [X = k, X = k, X 3 = k 3, X 4 = k 4 ] ha la stessa probabilita dell evento simmetrico A := [X = k 4, X = k 3, X 3 = k, X 4 = k ], che a sua volta e favorevole a S = 5 k, in quanto A comporta che S = k 4 +k 3 +3k +3k +4k = (5 )k +(5 )k +(5 3)k 3 +(5 4)k 4 = 5 i k i k = 5 k. In altre parole, comunque si scelga k, e comunque si scelga la quaterna (k,..., k 4 ) in modo favorevole a S = k, la quaterna simmetrica (k 4,..., k ) e favorevole a S = 5 k, e ha la stessa probabilita di verificarsi. Sommando tali probabilita al variare delle quaterne (k, k, k 3, k 4 ) in tutti i modi ammissibili, si ottiene la relazione di uguaglianza tra P ([S = k]) e P ([S = 5 k]). Ora, la condizione che S sia dispari equivale a richiedere che S sia uguale a 5, o a 7, ecc. fino a 99: per ciascuno di tali valori (tra loro incompatibili), c e un 8

9 corrispondente valore pari che ha la stessa probabilita di verificarsi: per 5 c e 00, per 7 c e 98=5-7, ecc. Pertanto, sommando le probabilita di tutti i possibili valori dispari di S si ottiene la stessa probabilita che si otterrebbe sommando tutti i possibili valori pari, e quindi ciascuna di tali somme (P ([S pari] o P ([S dispari])) ha lo stesso valore, cioe. Esercizio 3 Detta x la media aritmetica dei dati x,..., x 5, l intervallo di confidenza cercato per µ sara [x δ, x + δ], ove δ = σ n z 0.05, ossia δ = L ampiezza dell intervallo é dunque circa Se si vuole ridurre di un quarto tale ampiezza, basta moltiplicare per 6 il numero di 9 osservazioni, per cui il campione dovra essere costituito da dati. 9 Prova scritta del 9/0/0 Esercizio Supponiamo che una variabile aleatoria Y abbia la seguente densita : { hx 3, x > f Y (x) = 0, x, con h opportuna costante positiva. Dopo aver calcolato h, si determini la distribuzione di X =, e si confronti (se possibile) la varianza di X con quella di Y. Y Esercizio Sia (X n ) n una successione I.I.D. di variabili aleatorie di tipo discreto, ciascuna delle quali puo assumere solo i valori 0 e, entrambi con la stessa probabilita. Si ponga poi n S n = X i, i= per n =,,... Dopo aver calcolato valor medio e varianza di S n, si dimostri che, per ogni fissato a, la successione (S n n ) n converge in distribuzione, e se ne determini il limite. Esercizio 3 Sia X una variabile aleatoria la cui funzione di densita e ke θx, x >, f(x; θ) = 0, altrove, 9 n a

10 dove θ > 0. Si chiede di (a) calcolare k ed E(X) in funzione di θ; (b) fornire uno stimatore di θ con il metodo della massima verosimiglianza, sulla base di un campione casuale X,..., X n. Soluzioni compito 9/0/0 Esercizio Essendo x 3 dx =, chiaramente la costante h e uguale a. Per calcolare la distribuzione di X, valutiamo la sua funzione di ripartizione. Intanto, poiche Y assume solo valori maggiori o uguali a, la variabile X = puo assumere solo valori compresi fra 0 e. Ora, se 0 < t < Y si ha P ([X t]) = P ([Y t ]) = x dx = 3 t. Dunque e evidente che la densita f X di X e cosi definita: { 0, t / [0, ] f X (t) = t, t [0, ]. Con facili calcoli si vede poi che E(X) =, 3 E(X ) =, V (X) =, mentre Y 8 non ammette momenti di ordine, in quanto la funzione x non e integrabile in x [, + [. Esercizio Chiaramente, si ha E(X n ) =, E(X n) =, V (X n ) = per ogni n. Pertanto E(S n ) = V (S n ) = n, a causa dell indipendenza. Allora, per il Teorema del Limite Centrale, la successione ( Sn n n / ) n converge in distribuzione alla legge Normale standard. Questo risolve il quesito per quanto riguarda a =. Per a >, la successione ( Sn n n a ) n converge in probabilita (e quindi in distribuzione) a 0. Per dimostrare cio, si fissi ε > 0 e si osservi che esiste in corrispondenza un numero reale M > 0 tale che /t Φ( M) < ε 4 e Φ(M) > ε 4 dove Φ e la funzione di ripartizione della legge Normale standard. Ora, se a >, esiste certamente un intero N tale che n a / < ε M 0

11 per ogni n N. Per la convergenza in distribuzione di (S n) n, esiste poi un intero N > N tale che, per ogni n > N, si abbia P ([ S n n n M]) Φ( M) + ε 4 ε/ e anche P ([ S n n n M]) Φ(M) ε 4 > ε/. Allora, se n > N si ha P ([ S n n n a ] ε]) = P ([ S n n n n a / ε]) P ([ S n n n in quanto n a / ε > M. Ma M]), P ([ S n n n M]) = P ([ S n n n M]) P ([ S n n n < M]) ε, per quanto visto in precedenza. In conclusione, fissato ε > 0, abbiamo trovato un intero N tale che, per ogni intero n > N, risulta P ([ S n n n a ] ε]) ε : questa e esattamente la convergenza in probabilita a 0. Esercizio 3 Essendo e θx dx = θ e θ, il valore di h e θe θ. Allora si ha E(X) = θe θ xe θx dx = + θ. Per quanto riguarda la stima di massima verosimiglianza, assumendo un campione casuale X,..., X n, si ha log(l(θ; x,..., x n )) = n θ + n S n, ove S n = x +... x n. Studiando la derivata rispetto a θ, si ottiene che tale funzione si massimizza quando θ = n, ossia se = x S n n θ n.