Variabili Aleatorie Multiple

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1 Variabili Aleatorie Multiple

2 v.a. multiple - Esercizio 1 Consideriamo l estrazione con reimmissione di palline colorate da un urna contenente 5 palline bianche, 15 verdi, e 10 rosse. 1) Calcolare la probabilità di estrarre 2 palline bianche, 4 verdi e 4 rosse 2) Calcolare le probabilità marginali Soluzione 1) L esperimento in esame richiama alla mente le distribuzioni binomiali. Infatti questo è il caso più generale di distribuzione multinomiale. Diamo nome agli eventi: A 1 = {la pallina estratta ha colore bianco} A 2 = {la pallina estratta ha colore verde} A 3 = {la pallina estratta ha colore rosso} Tali eventi sono incompatibili (infatti la pallina estratta non può avere contemporaneamente due colori diversi)

3 v.a. multiple - Esercizio 1 Chiamiamo i le v.a. che contano il numero di successi per colore estratto Allora su n esperimenti (nel caso in esame le estrazioni di n palline dall urna) avremo n= x1 + + xk dove k è il numero di eventi incompatibili (nel nostro caso k = 3 è il numero di diversi colori delle palline presenti nell urna). Ricordando che, detta p i è la probabilità associata all evento A i, la funzione che definisce la probabilità di contare x i eventi A i per ogni i è: n! x! x! x! x1 x2 x f( x, x,, x ) = p p p k 1 2 k k Tale funzione, applicata al caso in esame, essendo n = 10, x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 4 e le p i calcolate col metodo del conteggio, diventa: k f ! (2,4,4) = = !4!4! 6 2 3

4 v.a. multiple - Esercizio 1 Ricordando che le distribuzioni marginali delle singole v.a. i sono binomiali e hanno forma: otteniamo, nel caso in esame: f f f n xi f ( x ) = p 1 p i x i ( ) i i i n x (2) = = (4) = = (4) = = 3 3 Le altre marginali si ottengono con conti analoghi. i

5 v.a. multiple - Esercizio 2 Siano 1, 2 e 3 v.a. indipendenti, tutte di legge N( 0, 1 ). Poniamo Y 1 = ; Y 2 = ; Y 3 = a) quali sono le leggi di Y 1, Y 2 e Y 3? b) quali coppie sono indipendenti? Soluzione Scriviamo la matrice A associata alla trasfomazione lineare che manda il vettore = ( 1, 2, 3 ) nel vettore Y = ( Y 1, Y 2, Y 3 ) : A = Y = Y Y 3

6 v.a. multiple - Esercizio 2 Il vettore aleatorio Y ha legge congiunta normale in quanto trasformazione lineare del vettore che ha legge congiunta normale. In particolare ciascuna delle tre componenti ha legge normale e per determinarla basta calcolarne media e varianza. Inoltre le tre componenti di Y sono centrate perché funzioni lineari di normali centrate. Per le varianze calcoliamo invece la matrice di covarianza C Y. C = I T T CY = AC A = AA = = Da cui ricordando che gli elementi sulla diagonale sono le varianze ricaviamo subito che: Y1 N(0,6) Y2 N(0,3) Y3 N(0,14)

7 v.a. multiple - Esercizio 2 Ricordando, invece, che gli elementi fuori dalla diagonale principale sono le covarianze, deduciamo subito che le coppie indipendenti (con covarianza nulla) sono: ( Y 1, Y 2 ) e ( Y 2, Y 3 )

8 v.a. multiple - Esercizio 3 Sia un vettore aleatorio di dimensione 3 con legge normale N(m, C) con m vettore delle medie e C matrice di covarianza dati da: m 1 = ( ) C = C ij = Indichiamo con i le componenti (scalari) di. a) calcolare E( 1 2 ) b) calcolare Cov( 1, ) c) scrivere la funzione caratteristica del vettore di componenti 1 e 3 d) trovare la legge di Z =

9 v.a. multiple - Esercizio 3 Soluzione a) E ( ) = Cov( ) + E E = C + mm = 1+ 2= b) Cov(, 4 ) = Cov(, ) 4 Cov(, ) = = C 4C = 1 41 = c) Tale vettore ha legge normale con media e varianza che si ottengono da m e C cancellando gli elementi che si riferiscono a 2 : m' 1 = C ' = 1 5

10 v.a. multiple - Esercizio 3 Da cui la funzione caratteristica: t1 + 2tt 12+ 5t2 2 it1 2 i ϑ, m' ϑ, C' ϑ φ( t, t ) = e = e e essendo: 1 ϑ, m' =( t t ) = t t ( ) 1 13t ( ) 1+ t2 ϑ, C' ϑ = t1 t2 t1 t2 1 5 t = = 2 t1 5t + 2 = 13t + 2tt + 5t

11 v.a. multiple - Esercizio 3 d) definiamo la matrice A associata alla trasformazione lineare che manda Z in. Allora Z ha legge normale con media Am e varianza ACA T : 1 = = 2 0 A = ( 2 2 3) Am ( ) T ACA = ( ) ( ) 2 = = e quindi: Z N( 2,89)

12 v.a. multiple - Esercizio 4 Sia Z un vettore aleatorio di dimensione 2 e legge normale N(m,C Z ) con: Z Z 1 = Z2 5 7 m = 0 C ( ) Z = Cij = 7 10 Sia, inoltre, un altro vettore aleatorio di dimensione 3 definito da: 1 = 2 3 Z 1 2 = Z Z a) qual è la legge di? b) calcolare media e varianza di Y = 3-4Z 1 = = Z + 2Z 3 2 1

13 v.a. multiple - Esercizio 4 a) Al solito scriviamo la matrice A della trasformazione = AZ la cui linearità garantisce che anche segua legge gaussiana con media nulla e varianza C : C Z1 2 AZ 1 1 = = Z T = ACZA = =

14 v.a. multiple - Esercizio 4 b) sostituendo 3 = Z 2 + 2Z 1 in Y = 3-4Z 1 otteniamo Y = Z 2-2Z 1 che ha valore atteso nullo e varianza VarY = 2 data da: Var Z 2Z = VarZ + Var 2Z + 2 Cov Z, 2Z = ( ) ( ) ( ) = VarZ + 4VarZ 4 Cov Z, Z = C + 4C 4C = ( ) = = 2