III Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2018/19

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1 III Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 8/9 Martedì luglio 9 Cognome: Nome: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione Esercizio Si lancia un dado regolare a sei facce e si indica con X il risultato del lancio Successivamente si effettuano X estrazioni con reimmissione da un urna contenente una pallina bianca e una nera Sia Y il numero di palline bianche estratte (a Qual è la probabilità che vengano estratte palline bianche? (b Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti? (c Qual è la probabilità che il risultato del lancio del dado coincida con il numero di palline bianche estratte? Soluzione (a Vengono estratte palline bianche, ossia Y =, se e solo se X = e tutte e le estrazioni danno come esito una pallina bianca Dunque ( P(Y = = P(X = = = 84 (b No, non lo sono: ad esempio P(Y = >, come appena visto, e P(X = 5 = >, ma P(X = 5, Y = = P(X = 5P(Y =, perché per costruzione Y X (c Dobbiamo calcolare P(X = Y Sommando sui valori assunti da X, otteniamo ( n P(X = Y = P(X = n = n = ( = 84 n= n=

2 Esercizio Consideriamo la funzione F : R [, ] definita da, x < 4, F (x = dove a è un parametro fissato in (, x +, 4 x < a, x, a x <,, x, (a Per quali valori di a la funzione F è la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X? (b Per quali valori di a la variabile aleatoria X è assolutamente continua? Determinare la densità di X (c Calcolare P(/4 < X /4 e E[X] (d Dire se Y = +X è una variabile aleatoria assolutamente continua Soluzione (a F è continua da destra e vale e a e + Resta da imporre che sia crescente Lo è in ciascun intervallo di definizione, pertanto basta guardare ai punti di raccordo e l unica condizione da imporre è sul punto x = a: si deve avere F (a F (a, cioè a + a a a Le soluzioni dell equazione sono a { ( ± 9 + } = { ( ± } = {, }, dunque la disequazione è verificata se a a oppure a a + In definitiva, essendo a (, per ipotesi, la funzione F è crescente se e solo se a [, (b La funzione F è continua se e solo se a = a + = In tal caso, F è C a tratti e dunque X è assolutamente continua, con densità, x < 4, f X (x = F (x =, 4 x <, x, x <,, x Se invece a a + =, F non è continua e dunque X non può essere asspspolutamente continua (c Si ha E[X] = R P(/4 < X /4 = F (/4 F (/4 = 9/ / = 9/48, x f X (x dx = / /4 x dx + / x dx = ( 4 + ( 8 = + 7 (d Dato che 4 < X < qc, ossia X prende valori nell aperto U = ( 4,, e dato che l applicazione ϕ(x := +x ristretta a U è un diffeomorfismo sull immagine, segue che Y è assolutamente continua Più esplicitamente, si ha F Y (y = P(Y y = P( + X y = P(X y = F X( y da cui segue che anche F Y è C a tratti, visto che F X lo è

3 Suggerimento Può essere utile ricordare la funzione Gamma di Eulero per valori interi: z k e z dz = Γ(k = (k! per k =,,, ( Esercizio Siano X, Y variabili aleatorie con densità congiunta x (y x e y se x > e y > x f (X,Y (x, y = altrimenti (a Calcolare le distribuzioni marginali di X e Y (b Dire se Cov[X, Y ] è ben definita e, nel caso, calcolarla (c Determinare la distribuzione di M := max{x, Y } (d Determinare la distribuzione di R := X/Y Soluzione (a Si ha f X (x = se x, mentre per x > f X (x = f (X,Y (x, y dy = x(y xe y dy = xe x (y xe (y x dy = xe x R x Si ha f Y (y = se y, mentre per y > y [ x f Y (y = f (X,Y (x, y dx = e y x(y x dx = e y y x R In definitiva X Gamma(, e Y Gamma(4, (b Si ha E(XY = x y f (X,Y (x, y dx dy = R ( = dy y e y y 4 = 4 x dy y e y ( y ] y x (y x dx = y e y dy y 5 e y = Γ( = 5! =, ed essendo E(X = E(Gamma(, = e E(Y = E(Gamma(4, = 4, si ottiene Cov(X, Y = E(XY E(XE(Y = 8 = (c Dato che f (X,Y (x, y = se y x, si ha P(Y > X = ossia Y > X qc, dunque M = Y qc Da ciò segue che M ha la stessa legge di Y, vale a dire Gamma(4, (d Si ha < R < qc, dunque F R (r = P(R r = se r e F R (r = se r, mentre per < r < ( ry F R (r = P(R r = f (X,Y (x, y dx dy = e y x(y xdx dy = x ry [ x e y y x ] ry ( r ( dy = r r y e y dy = r Dato che F R è C a tratti, segue che R è assolutamente continua con densità f R (r = F R(r = r( r (, (r

4 4 Esercizio 4 Sia (B n n N una successione di eventi tali che P(B n B m = P(B n P(B m per ogni m n Supponiamo che P(B n > per ogni n N e inoltre P(B n = n= Definiamo una successione (X n n N di variabili aleatorie ponendo X n := Bi (a Calcolare Cov[ Bi, Bj ] per ogni i, j N i= (b Mostrare che Var[X n ] E[X n ] per ogni n N Definiamo ora la successione (Y n n N di variabili aleatorie Y n := X n E[X n ] (c Mostrare che Y n in probabilità, in L e in L per n (d Per ogni k N, definiamo Mostrare che Y nk qc per k n k := min{n N: E[X n ] k } Soluzione 4 (a Si ha Cov[ Bi, Bj ] = E[ Bi Bj ] E[ Bi ]E[ Bj ] = P(B i B j P(B i P(B j dunque Cov[ Bi, Bj ] = se i j mentre Cov[ Bi, Bj ] = P(B i ( P(B i se i = j (b Si ha Var[X n ] = Var[ Bi ] + i= i j= Cov[ Bi, Bj ] = P(B i ( P(B i i= P(B i = E[X n ] (c Basta mostrare la convergenza in L, che implica quelle in L e in probabilità Dato che E[Y n ] =, si ha E[(Y n ] = Var[Y n ] = Var[X n] E[X n ] E[X n ] n (d Al punto precedente abbiamo mostrato che Var[Y n ] E[X n ] In particolare, per n = n k si ha E[X nk ] k e dunque Var[Y nk ] k Per la disuguaglianza di Chebyschev, per ogni ε > P( Y nk > ε Var[Y nk ] ε k < k N k N k N Per un criterio visto a lezione, ciò implica che Y nk qc i=

5 5 Esercizio 5 Siano (X n n N variabili aleatorie reali indipendenti con distribuzione normale standard N(, Definiamo una nuova successione di variabili aleatorie (Y n n N a valori in R {+ } ponendo Y n := X n, con l abituale convenzione / := + (a Si determini il seguente limite: P( < X δ c := lim (, δ δ (b Si mostri che per t + P(Y n > t c t, intendendo che il rapporto dei due membri tende a (c Si mostri che P(Y n + n N =, ossia qc si ha che Y n R per ogni n N (d Posto M n := max{y,, Y n }, si mostri che la successione M n /n converge in distribuzione: M n d Y, n e si determini la distribuzione di Y, mostrando che è assolutamente continua e determinandone la densità Soluzione 5 (a Si ha P( < X δ δ = F X (δ F X ( δ F X δ ( = f X ( =, π perché f X (x è una funzione continua in x = Quindi c = π (b Per il punto precedente, per t ( ( P(Y n > t = P X n > t = P X n t ( = P < X n t c t, avendo usato la simmetria della distribuzione N(, nella terza uguaglianza (c Per il punto precedente, per ogni n N fissato, P(Y n = + lim t P(Y n > t = Per subadditività segue che P( n N : Y n = + = Passando al complementare si ha la conclusione cercata (d Per t, P ( Mn n t = P(Y nt,, Y n nt = P(Y nt n = ( P(Y > nt n = ( π n ( ( + o( exp nt π t =: F (t, mentre il limite vale F (t = per t < La funzione F : R [, ] così determinata soddisfa le proprietà di una funzione di ripartizione, pertanto esiste una variabile aleatoria reale Y tale che F Y = F e, dunque, abbiamo mostrato che M n /n d Y Dato che F è di classe C su R, segue che Y è assolutamente continua, con densità ( f Y (t = F (t = exp π t π t (, (t

6 Esercizio Martina saltella tra cinque sassi, numerati da a 5 A ogni istante, lancia un dado regolare a sei facce e salta sul sasso corrispondente al numero estratto, se questo è connesso al sasso su cui si trova (vedi figura; in caso contrario, resta nella sua posizione 4 Descriviamo il moto mediante una catena di Markov (a Si scriva la matrice di transizione della catena Essa è irriducibile? È aperiodica? (b Quali sono le probabilità invarianti della catena? Sono reversibili? Partendo dallo stato, quanto tempo passa mediamente prima che la catena ritorni allo stato iniziale? Soluzione è data da 5 (a Indicando con E = {,,, 4, 5} lo spazio degli stati, la matrice di transizione p = 5 5 Dato che i e i per ogni i E, la catena è irriducibile È aperiodica perché p > (b Esiste un unica probabilità invariante, dato che la catena è irriducibile su uno spazio degli stati finito, dunque ricorrente positiva Per simmetria degli stati, 5 e, 4, è naturale cercare una probabilità invariante della forma π = (a, b, c, c, b con a, b, c [, ] Imponendo i E π ip ij = π j si ottiene a + b + c = a a + 5 b = b a + 5 c = c da cui a = b = c Imponendo che i E π i = si ottiene che π = ( 5, 5, 5, 5, 5 Tale probabilità invariante è anche reversibile, dato che π i p ij = π j p ji per ogni i, j E Il tempo medio di ritorno nello stato iniziale è dato da /π = 5

7 7 Tavola della distribuzione normale La tabella seguente riporta i valori di Φ(z := z e x π dx, la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard N(,, per z 5 Ricordiamo che i valori di Φ(z per z < possono essere ricavati grazie alla formula Φ(z = Φ( z z