Esame di Calcolo delle Probabilità del 7 gennaio 2008 (Corso di Laurea Triennale in Matematica, Università degli Studi di Padova).

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1 Esae di Calcolo delle Probabilità del 7 gennaio 2008 (Corso di Laurea Triennale in Mateatica, Università degli Studi di Padova). Cognoe Noe Matricola Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Soa Voto finale Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

2 Esercizio 1. Sia (Ω, A, P) uno spazio probabilizzato, e X, Y due processi di Bernoulli indipendenti tra di loro di paraetro rispettivaente p 1, p 2 ; chiaiao poi anche q i : 1 p i per i 1, 2. Denotiao con T e con U l istante del prio successo rispettivaente di X e di Y, cioè Definiao l evento H : {T < U}. 1. Calcolare P(H). T : inf{n 1 X n 1}, U : inf{n 1 Y n 1}, 2. Denotando P H : P( H), diostrare che P H è una isura di probabilità assolutaente continua rispetto a P. 3. Diostrare che T Ge(1 q 1 q 2 ) rispetto a P H. Esercizio 2. Si supponga che il nuero di articoli prodotto quotidianaente dalla fabbrica A sia una variabile aleatoria di edia 20 e deviazione standard 3, e che quelli prodotti dalla fabbrica B sia una variabile aleatoria di edia 18 e deviazione standard 6 (ricordiao che la deviazione standard è uguale alla radice quadrata della varianza). Supponendo che le due fabbriche operino in odo indipendente tra loro: 1. si ottenga un liite superiore per la probabilità che oggi la fabbrica B abbia prodotto più di A; 2. supponendo che valga l approssiazione norale, si approssii la probabilità che negli ultii 30 giorni la fabbrica B abbia prodotto più di A. Esercizio 3. Siano X, Y, (U n ) n variabili aleatorie indipendenti tali che le (U n ) n sono unifori su [0, 1] e X, Y hanno densità discreta data da P{X } (e 1)e, P{Y n} 1 (e 1)n! per, n 1. Definiao poi M : ax(u 1,..., U Y ) e Z : X M. 1. Trovare funzione di ripartizione e densità di M. 2. Diostrare che X e M sono indipendenti. 3. Trovare funzione di ripartizione e densità di Z.

3 Esercizio 4. Consideriao una catena di Markov X sullo spazio degli stati E : {0, 1,..., }, con > 2, con atrice di transizione definita da 1 i se j i + 1 p ij i se j i 1 0 altrienti e legge iniziale µ δ i, con i {0, 1,..., }. 1. Diostrare che tutti gli stati di E sono ricorrenti. 2. Diostrare che p (k) ij P{X k j X 0 i} 0 solo se i j ha la stessa parità di k (cioè pari se k è pari e dispari se k è dispari). In particolare, X non può essere regolare. 3. Diostrare che se π (π 0,..., π ) R +1 è isura invariante, allora deve soddisfare ( ) π k π 0 k 1,..., k 4. Diostrare che l unica probabilità invariante è la legge B(, 1 2 ).

4 Soluzioni Esercizio Siccoe X e Y sono indipendenti tra di loro, lo sono anche T e U. Calcoliao allora P{T < U} P{T < U, T k} k1 P{U > k, T k} k1 P{U > k}p{t k} k1 p 1 (1 p 2 ) k0 (1 p 2 ) k p 1 (1 p 1 ) k 1 k1 (1 p 2 ) k (1 p 1 ) k p 1q 2 1 q 1 q 2 2. Per le proprietà viste a lezione, P( H) è una probabilità assolutaente continua rispetto a P, e in particolare la sua densità rispetto a P è data da 1 P(H) 1 H. 3. La legge di T rispetto a P H è caratterizzata dalla sua densità discreta: per ogni k 0, P H {T k} P({T k} H) (1 q 1 q 2 )(q 1 q 2 ) k 1 P{T k, T < U} P{T < U} (1 p 2) k p 1 (1 p 1 ) k 1 p 1 q 2 1 q 1 q 2 Esercizio Chiaiao X i e Y i rispettivaente il nuero di articoli prodotto dalle fabbriche A e B nel giorno i, e definiao Z i : Y i X i. Se a priori non sappiao se possiao usare l approssiazione norale, ricordando che X i e Y i sono variabili aleatorie intere, abbiao P{Y i > X i } P{Z i 1} P{Z i E[Z i ] 1 E[Z i ]} P{Z i + 2 3} 1 P{Z i + 2 2} 1 P{ Z i + 2 2} P{(Z i + 2) 2 > 3 2 } Var [Z i + 2] che però, essendo aggiore di 1, è una liitazione banale. 2. Poichè le Z i hanno valori interi, utilizzando la correzione di continuità calcoliao { 30 } { 30 } { 30 } i1 P Z i > 0 P Z i 0.5 P Z i 30( 2) ( 2) i1 i { P Z 60.5 } 15 1 Φ(1.64)

5 Esercizio Per ogni t (0, 1), abbiao F M (t) P{M t, Y n} n1 P{ax(U 1,..., U n ) t, Y n} n1 P{Y n}p{ax(u 1,..., U n ) t} n1 n1 1 (e 1)n! tn n0 P{Y n}p{u i t i 1,..., n} n1 t n (e 1)n! 1 e 1 1 e 1 (et 1) et 1 e 1 Siccoe F M C 1, allora M aette densità uguale a f M (t) F M(t) et e 1 1 (0,1)(t) 2. M dipende solo da Y, (U r ) r, entre X è indipendente da Y, (U r ) r, quindi M è indipendente da X. 3. Poichè M è una variabile aleatoria assolutaente continua, possiao calcolare facilente la funzione di ripartizione di M, F M (t) P{ M t} P{ M < t} P{M > t} 1 P{M t} e e t e 1 e la densità f M (t) F M(t) e t e 1 1 ( 1,0)(t) Siccoe Z X + ( M) e M è dotato di densità rispetto alla isura di Lebesgue, per la teoria vista a lezione anche Z aette densità che, chiaando µ la legge di X, è pari a f Z (z) 1 f M (z x) µ(dx) f M (z )(e 1)e 1 e (z ) e 1 1 ( 1,0)(z )(e 1)e e z 1 ( 1,) (z) e z 1 e z 1 ( 1,) (z) quindi Z Exp(1), e la sua funzione di ripartizione è pari a F Z (z) 1 e z. 1

6 Esercizio Siccoe E è finito, esiste aleno uno stato ricorrente. Inoltre tutti gli stati counicano; difatti, se i, j E, i j, allora (supponendo per seplicità di notazione che i < j) p ( i j ) ij p i,i+1 p i+1,i+2... p j 1,j > 0 Siccoe tutti gli stati counicano e ne esiste aleno uno ricorrente, allora tutti gli stati sono ricorrenti. 2. Per induzione su k: se k 1, allora p ij > 0 solo se i j 1. Supponiao ora di avere diostrato la tesi per k. Allora p k+1 ij l p (k) il p lj p (k) i,j 1 p j 1,j + p (k) i,j+1 p j+1,j e questo è aggiore di zero solo se i (j 1) k (od. 2) oppure i (j + 1) k (od. 2), ed entrabe queste equazioni sono equivalenti a i j k + 1 (od. 2). 3. Il vettore π è soluzione di π πp, cioè π 0 1 π 1, π 1 π π 2, π 2 1π π 3,. π k k+1π k 1 + k+1π k+1,. π 1 π 1. che si può risolvere, per induzione su k, in funzione di π 0 : ( ) π 1 π 0 π 0, 1 π 2 2 (π 1 π 0 ) ( ) 2 ( 1)π 0 π 0, 2. π k+1. ( π k k + 1 ) π k 1 k + 1 ( 1)! k + 1 k!( k)! ( k)π 0 π 1 π 1 1 ( ) π 0 1 k + 1 (( ) k + 1 ( )) π 0 k k 1 ( ) π 0, k + 1! (k + 1)!( k 1)! π 0 ( ) π 0 Un odo alternativo per ottenere il risultato è il seguente: cerchiao π che soddisfi π i p ij π j p ji per ogni i, j; ovviaente questa relazione sarà non banale solo se i j

7 1, e si ha: ( j i + 1 π i 1 i ) j i 1 π i i π i+1 i + 1 π i+1, ( 1 i 1 ), che iplicano entrabe π i+1 π i i i + 1 π 0 i k k + 1 π! 0 ( i 1)!(i + 1)! k0 4. Basta iporre che k0 π k 1, e si ha quindi π 0 2, e in generale e si ha la tesi. π k 1 k0 ( ) ( ) 1 k 2 ( ) π 0 π 0 2 k ( k ) ( 1 2 ) k ( ) k 1 2 ( ) π 0 i + 1

8 Esae di Calcolo delle Probabilità del 7 gennaio 2008 (Corso di Laurea Triennale in Mateatica, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu) Hanno superato la prova: Carraretto Elena Punzi Alessandro Visione copiti corretti, registrazione voto e/o orali: giovedì 10 gennaio ore nel io studio.