Equazioni differenziali lineari e oscillatori

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1 Equazioni differenziali lineari e oscillatori A.Gaudillière 1 Equazioni differenziali lineari 1.1 Equazione oogenea Un e.d.l. è un equazione d incognita x : I E = K n I intervallo di R, K = R o C della fora ẋt = Atxt + bt t I 1.1 dove A e b sono delle funzioni su I a valori in M n K e K n. Se A e b sono continue il teorea di Cauchy-Lipschitz lineare dà, per ogni t I e x in E, l esistenza e l unicità di souluzioni globali definite sull intero intervallo I del problea di Cauchy { ẋ = Ax + b xt = x Supponiao adesso che x sia una soluzione particolare di 1.1. soluzioni di 1.1 è l insiee delle funzioni x + y con L insiee S delle i.e., y soluzione di x + ẏ = A x + Ay + b ẋ = Ax è chiaata equazione oogenea associata a 1.1. In altre parole, se S è lo spazio vettoriale delle soluzioni di 1.2, allora S = x + S. Per risolvere 1.1 si tratta quindi di trovare una soluzione particolare x e di risolvere l equazione oogenea Equazioni in diensione 1 o a coefficienti costanti Se n = 1 o A è costante, l equazione 1.1 con condizione iniziale xt = x dà, per ogni t I: ẋt Atxt = bt e At ẋt e At Atxt }{{} d dte At xt 1 = e At bt

2 con At := t e, integrando tra t e t, t Asds se A è costante allora At = t t A e At xt x = t xt = e At x + e At t Osservazione: Nel caso A costante ritroviao t e As bsds t e As bsds. 1.3 S = { t e t t A x : x E } e S = x + S. Esepio: Il problea di Cauchy in R { ẋ = x t + 1 t 2 x1 = x 1 ha per unica soluzione su R + la funzione che a ogni t > associa xt = e ln t x 1 + e ln t t 1 e ln s s 2 ds = x 1 + ln t t Osservazione: la forula può anche essere utilizzata coe seplice guida nella ricerca delle soluzioni. 2 Oscillatore aronico forzato e sorzato 2.1 Equazione del oto Si considera un punto ateriale di assa che si uove orizzontalente sotto l azione di tre forze al punto x: i una forza di richiao kx con k >, ii una forza periodica f di periodo T, iii una forza d attrito fluido αẋ con α.. oppure L equazione del oto è ẍ = kx αẋ + f ẍ + α ẋ + ω2 x = f 2.1 2

3 k ẋ con ω :=, o ancora, con x := x, 1 ẋ = ω 2 α x + f }{{}}{{} A costante b periodica 2.2 Abbiao x = x + y dove x è una soluzione particolare e y una soluzione dell equazione oogenea. 2.2 Soluzione dell equazione oogenea La soluzione di ẏ = Ay che vale y in t = è t e ta y. Gli autovalori di A sono le soluzioni di deta XI = X 1 α X = X2 + α X + ω2 =. ω 2 Con := α 2 4ω 2 abbiao tre casi: i se <, i.e., α < 2ω, allora gli autovalori di A sono λ ± := α ± i ω 2 2 α le coponenti y e ẏ di e ta y sono cobinazioni lineari di e tλ + e e tλ, sicché yt = e α α 2 2 t.c cos t ω 2 + ϕ 2 per qualche C e ϕ in R +, 2 2, ii se =, i.e., α = 2ω, allora gli autovalori di A coincidono in α, le coponenti 2 di e ta y sono cobinazioni lineari di e α 2 t e te α 2 t, e per qualche C 1 e C 2 in R, yt = e α 2 t C 1 + C 2 t iii se >, i.e., α > 2ω, allora gli autovalori di A sono α 2 ± α 2 2 ω 2, e per qualche C 1 e C 2 in R. yt = C 1 e α α ω 2 t + C 2 e α + α ω 2 t 3

4 2.3 Ricerca della soluzione particolare Cerchiao una soluzione di con f periodica. Utiliziao: ẋ = Ax + f Teorea 1 Fourier Sia g una funzione T-periodica di classe C k con k 2. Con, per ogni n Z, abbiao e, per ogni t, ĝ n := 1 T con convergenza norale della seria. T gte 2iπ T nt dt li n k ĝ n = n + gt = n Z ĝ n e 2iπ T nt Da ora in poi supporeo che f è C 2. Se troviao, per ogni n Z, x n t.c. allora per linearità avreo x n = A x n + ˆf n e 2iπ T nt } {{ } b nt x := n Z x n t R 2.3 soluzione di x = Ax + b purché x n converga uniforaente. Siccoe b n converge noralente e A è continua, basterà la convergenza unifore di x n vedi dà, per ogni t t x n t = e ta x n + e ta e sa ˆf n e 2iπ T ns ds. Riscrivendo quest equazione in una base dove A trigonalizza si vede al eno nel caso che se α > o ω 2πn esiste una soluzione della fora c T ne 2iπ T nt, entre se α = e ω = 2πn esiste una soluzione della fora c T nte 2iπ T nt. Nel prio caso caso non risonante si trova, risolvendo 2.1: c n := ˆf n ω 2 + α 2iπ n 2π n 2 T T 4

5 e il teorea di Fourier assicura la convergenza della seria che definisce la soluzione particolare xt := c n e 2iπ T nt t R. n Z Se α = ed esiste n N t.c. ω = 2πn T caso risonante si trova, risolvendo 2.1: ˆf n c n = ω 2 per n ±n 2π n 2 T e sicché xt := c n = n Z\{ n ;n } ˆf n 4iπ T n per n = ±n c n e 2iπ T nt + 2tRe { ˆfn 2iω eiω T } t R è una soluzione particolare. Nel caso risonante la soluzione diverge nel tepo. 3 La forula di Liouville Consideriao un sistea lineare su R n ẋt = Atxt e denotiao t Φ t x la soluzione del problea di Cauchy { ẋt = Atxt x = x È iediato verificare che, per ogni λ, µ in R e x, x in R n Φ t λx + µx = λφ t x + µφ t x t. Per ogni t, Φ t è quindi un applicazione lineare su R n a valori in R n. È anche iniettiva e quindi biettiva visto che opera su uno spazio di diensione finita: se Φ t1 x = Φ t1 x = x 1 R n allora x = x per unicità della soluzione del problea di Cauchy { ẋt = Atxt xt 1 = x 1 Per ogni t, Φ t appartienne a gl n R, l insiee degli autoorfisi di R n. Definiao adesso W t := detφ t. Proposizione 3..1 Liouville { t W t = exp 5 } tr Asds

6 Prova: Calcoliao la derivata di W. Abbiao D t W = D t det Φ = D Φt det D t Φ e quindi due differenziali da calcolare. Iniziao con D t Φ. Per ogni x in R n, per ogni h in R, abbiao, in R n : Φ t+h x = Φ t x + hatφ t x + h ɛ x h con li h ɛ x h =. Applicando la forula a x = e 1, e 2,..., e n i vettori di una base di R n otteniao, in LR n : con li h ɛh =. Sicché: Φ t+h = Φ t + hatφ t + h ɛh D t Φ : h R hatφ t LR n. 3.1 Calcoliao adesso, per A GL n R il differenziale del deterinante in A. Per ogni H M n R deta + H = detai + A 1 H = deta deti + A 1 H Scrivendo l ultio deterinante coe soa sulle perutazioni in S n si ottienne deta + H = deta1 + tr A 1 H + H ɛh con li H ɛh = li H ɛ H =. Sicché = deta + detatr A 1 H + H ɛ H D A det : H M n R detatr A 1 H R. 3.2 Quindi, per h R D t W h = detφ t tr Φ 1 t hatφ t = detφ t tr hatφ t Φ 1 t = detφ t tr hat = htr At detφ t = htr AtW t In altre parole dw = tr AtW t. dt La risoluzione di quest equazione differenziale lineare in diensione 1 dà, per ogni t: { t } W t = exp tr Asds W 6

7 Siccoe arriviao a W = detφ = detid = 1 { t } W t = exp tr Asds In particolare, se tr At allora detφ t 1. 4 Risonanza paraetrica: l altalena 4.1 Equazione del oto Se il conducente di un altalena non si uove rispetto all altalena, il oviento è governato dall equazione del pendolo g θ + l sin θ = con θ l angolo tra le corde e la verticale e l la distanza dell asse al centro di assa. L equazione si approssia per θ piccolo in g θ + l θ =. Se il conducente sposta il suo centro di assa piegando e stendendo le gabe il sistea si può odellizzare con l equazione: i.e., introducendo x := θ θ, Supponiao ω periodica di periodo T. θ + ω 2 tθ = 1 ẋt = ω 2 x. t }{{} At 4.2 Applicazione su un periodo Se a t = il sistea è in x, dopo il tepo T sarà in Φ T x. Siccoe A è T -periodico dopo il tepo 2T sarà in Φ T Φ T x, e dopo nt in Φ n T x. Φ T si chiaa applicazione su un periodo. Coe evolve Φ n T n? Gli autovalori di Φ T hanno soa tr Φ T e prodotto detφ T = 1 per la forula di Liouville. Sono soluzioni di X 2 tr Φ T X + 1 = equazione di discriinante := tr Φ T

8 Se <, i.e. tr Φ T < 2, gli autovalori sono coplessi distinti e coniugati. Φ T è equivalente a una rotazione. Se >, i.e. tr Φ T > 2, Φ T ha due autovalori reali distinti. Uno di questi ha quindi un odulo strettaente aggiore di 1, e Φ n T n diverge. Esiste ω : t ωt tale che tr Φ T > 2? 4.3 ω quasi costante Cerchiao di rispondere alla doanda nel caso ωt = ω + ɛat t con a data periodica di periodo T e tale che Calcolo di Φ T nel caso ɛ = sup at = 1. t [;T ] Per dare una rappresentazione atriciale di Φ T basta calcolare le iagini via Φ T dei vettori della base canonica, i.e. calcolare Φ T x per x = θ θ = 1, 1. La soluzione del problea di Cauchy { θ + ω 2 = θ = 1 θ = è t cos ω t, e la soluzione di { θ + ω 2 = θ = θ = 1 è t 1 ω o sin ω T. Sicché, nella base canonica, e φ T = È possibile tr Φ T > 2 per ɛ >? L insiee cos ω T 1 ω o sin ω T ω sin ω T cos ω { = 2 se ω π tr Φ T = 2 cos ω T N, T < 2 altrienti. U := { ω, ɛ R 2 + : tr Φ T < 2 } è un aperto di R 2 +. Quindi, se ω π N, i.e. se T non è un ultiplo del ezzo-periodo T del sistea non perturbato ɛ =, non c è speranza che delle piccole oscillazioni rendino instabile la posizione d equilibrio dell altalena. Invece se ω = ω k := k π 4.1 T 8

9 per k N allora siao sulla frontiera di U. E si può ostrare che V := { ω, ɛ R 2 + : tr Φ T > 2 } va a sfiorare l asse ɛ = in ω k, k = 1, 2,... ad esepio con a costante a tratti di lunghezza T/2 e a valori in { 1; 1} vedi Arnold. Delle piccole oscillazioni del conducente andano l altalena fuori dal regie θ piccolo se 4.1 è soddisfatta. 9