2. Fissato nello spazio un punto O, consideriamo lo spazio vettoriale geometrico

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1 Algebra lineare (Mateatica C.I.) Fissato nello spazio un punto O, consideriao lo spazio vettoriale geoetrico S O dei vettori dello spazio con origine nel punto O. Sia π un piano passante per il punto O; per coe sono definite le operazioni fra vettori e fra vettori e scalari, si ha che (i) la soa di due vettori con origine O che stanno sul piano π e un vettore con origine O che sta ancora sul piano π; (ii) il prodotto di un vettore con origine O che sta sul piano π per uno scalare reale e un vettore con origine O che sta ancora sul piano π. Le stesse considerazioni valgono per una retta l passante per il punto O. Si ha che il punto O, le rette passanti per O, i piani passanti per O e l intero spazio sono gli unici sottinsiei non vuoti dello spazio che posseggono le proprieta sopra evidenziate. Queste considerazioni suggeriscono la seguente Definizione Un sottinsiee V R n si dice sottospazio dello spazio vettoriale R n se per ogni u, v V, anche u + v V; per ogni vettore u V ed ogni r R, anche ru V; 0 n V. Due esepi banali di sottospazi dello spazio vettoriale R n : l insiee {0 n } ridotto al vettore nullo di R n ; l intero spazio R n. Qualche altro esepio. Fissato un intero con n, consideriao l insiee V dei vettori di R n che hanno le coponenti dopo la a tutte nulle V = { x = [x i ] n : x + = 0, x +2 = 0,..., x n = 0. } L insiee V e un sottospazio di R n. 2. Fissato nello spazio un punto O, consideriao lo spazio vettoriale geoetrico S O dei vettori dello spazio con origine nel punto O. Sia l una retta passante per il punto O, e sia v S O un vettore che sta sulla retta l; se v e diverso dal vettore nullo, si ha che i vettori rv ultipli scalari di v descrivono al variare di r in R tutti e soli i vettori che stanno sulla retta l. Identificando ogni vettore col suo estreo libero, si ha dunque l = {rv; r R}. Sia π un piano passante per il punto O, e siano u, v S O due vettori che stanno sul piano π; se u e v non sono allineati, si ha che i vettori ru + sv

2 cobinazioni lineari di u e v descrivono al variare di r ed s in R tutti e soli i vettori che stanno sul piano π. Identificando ogni vettore col suo estreo libero, si ha dunque π = {ru + sv; r, s R}. Queste considerazioni suggeriscono la seguente Definizione 2 Dati v,..., v vettori in R n, l insiee di tutte cobinazioni lineari di v,..., v si dice sottospazio generato da v,..., v e si indica con v,..., v ; in siboli si ha v,..., v = {r v + + r v ; r,..., r R}. Osserviao che v,..., v e un sottospazio di R n in quanto per ogni u e v in v,..., v, si ha u = u + v = r i v i e v = r i v i + e dunque u + v sta in v,..., v. s i v i = s i v i, (r i + s i )v i per ogni u = r iv i in v,..., v, e per ogni r in R, si ha ru = r e dunque ru sta in v,..., v. r i v i = (rr i )v i si ha 0 n = 0v i e dunque 0 n sta in v,..., v. Osserviao inoltre che tutti i vettori v,..., v appartengono al sottospazio v,..., v ; infatti, per ogni i =, 2,..., si ha v i = 0v + + 0v i + v i + 0v i v. In realta v,..., v e il piu piccolo sottospazio di R n che contiene tutti i vettori v,..., v. Se V e un sottospazio di R n e v,..., v sono vettori in R n con V = v,..., v, allora diciao che V e generato da v,..., v e che v,..., v generano V.

3 3. Le rette per l origine nello spazio R 3 hanno coe analogo in R n i sottospazi u generati da un vettore non nullo 0 n = u R n ; i piani per l origine nello spazio R 3 hanno coe analogo in R n i sottospazi u, v generati da due vettori linearente indipendenti u R n ; siao cosi portati a considerare i sottospazi v,..., v generati da vettori linearente indipendenti v,..., v R n. Di seguito ostriao che ci si puo sepre ricondurre a questo caso. Siano v,..., v R n, con >. Se v e cobinazione lineare di v,..., v, allora v,..., v, v = v,..., v. Infatti, da un lato e chiaro che ogni cobinazione lineare di v,..., v e anche una cobinazione lineare di v,..., v, v. Dall altro, nell ipotesi che v sia cobinazione lineare di v,..., v, cioe che v si possa scrivere v = s v + + s v si ha pure che ogni cobinazione lineare di v,..., v, v r v + + r v + r v si puo scrivere r v + + r v + r (s v + + s v ) = (r + r s ) v + + (r + r s ) v e dunque e anche una cobinazione lineare di v,..., v. In odo analogo si prova che, se un vettore v i e cobinazione lineare dei rianenti v,..., v i, v i+,..., v allora v,..., v = v,..., v i, v i+,..., v. Iterando questo processo, si arriva a scrivere il sottospazio generato dall insiee dei vettori v,..., v coe il sottospazio generato da un sottinsiee di vettori v j,..., v jp linearente indipendenti v,..., v = v j,..., v jp. 4. Consideriao l equazione lineare oogenea in tre incognite x + 2x 2 + 3x 3 = 0, in breve a x = 0, dove a e il vettore riga dei tre coefficienti e x e il vettore colonna delle tre incognite. Possiao risolverla ricavando x = 2x 2 3x 3 e ponendo x 2 e x 3 uguali a paraetri liberi; le soluzioni saranno dunque date da x = x x 2 x 3 = 2p 3q p q = p q 3 0 = pu + qv

4 dove p e q variano liberaente in R. Dunque l insiee delle soluzioni dell equazione e il piano u, v generato dai vettori u, v. 5. Si ha che: l insiee delle soluzioni di una equazione lineare oogenea in tre incognite a x = 0 nella quale il vettore a dei coefficienti e non nullo, e un piano per l origine di R 3 ; l insiee delle soluzioni di un sistea di due equazioni lineari oogenee in tre incognite { a x = 0 a 2 x = 0 nel quale i vettori a, a 2 dei coefficienti sono non nulli e fra loro non proporzionali, e una retta per l origine di R 3 ; l insiee delle soluzioni di un sistea di tre equazioni lineari oogenee in tre incognite a x = 0 a 2 x = 0 a 3 x = 0 nel quale i vettori a, a 2, a dei coefficienti sono linearente indipendenti, e ridotto all origine di R 3. Tutti i piani di R 3 passanti per l origine e tutte le rette di R 3 passanti per l origine si trovano in questo odo. In generale si ha che l insiee delle soluzioni di un qualsiasi sistea lineare oogeneo in n incognite a x = 0 e un sottospazio di R n. Infatti:. a x = 0 (a,..., a R n ) se due vettori s, t R n sono soluzioni del sistea, cioe se a i s = 0, i =,..., e a it = 0, i =,..., allora per il vettore soa s + t si ha a i (s + t) = a i s + a i t = = 0, i =,..., cioe s + t e una soluzione del sistea;

5 se il vettore s R n e una soluzione del sistea, cioe se a i s = 0, i =,..., e se r e uno scalare, allora per il vettore rs si ha a i (rs) = r ( a i s) = r0 = 0, i =,...,, cioe rs e una soluzione del sistea; il vettore nullo 0 n e una soluzione del sistea in quanto a i 0 n = 0, i =,...,. Si prova che, se il vettore a i dei coefficienti della i a equazione e cobinazione lineare dei vettori a,..., a i, a i+,..., a dei coefficienti delle altre equazioni, allora il sistea a x = 0. a x = 0 ha le stesse soluzioni del sistea ottenuto cancellando la i a equazione. Iterando questo processo, si arriva a un sistea lineare oogeneo a j x = 0. a j p x = 0 nel quale i vettori a j,..., a j p dei coefficienti delle equazioni sono linearente indipendenti, e che ha le stesse soluzioni del sistea dato. 6. Nello spazio vettoriale R n abbiao evidenziato i vettori e che ha tutte le coponenti nulle tranne la pria che vale, e 2 che ha tutte le coponenti nulle tranne la seconda che vale,..., e n che ha tutte le coponenti nulle tranne la n a che vale ; abbiao osservato che i vettori e, e 2,..., e n sono linearente indipendenti e che ogni vettore x di R n si puo scrivere coe cobinazione lineare x = x e + x 2 e x n e n, dei vettori e, e 2,..., e n ; i coefficienti x, x 2,..., x n sono le coponenti del vettore x, e dunque questa scrittura e unica. Definizione 3 Sia V un sottospazio di R n e siano v,..., v vettori di V. Diciao che v,..., v forano una base di V se v,..., v sono linearente indipendenti; v,..., v generano V.

6 I vettori e, e 2,..., e n forano una base di R n, detta base canonica di R n ; il fatto che ogni vettore di R n si possa scrivere in uno ed un solo odo coe cobinazione lineare dei vettori della base canonica di R n vale piu in generale, nel senso della seguente Proposizione Sia V un sottospazio di R n e sia v,..., v una base di V. Allora ogni vettore v in V si puo scrivere in uno ed un solo odo coe cobinazione lineare v = r v + + r v di v,..., v. I coefficienti r,..., r si dicono pria,..., a coordinata di v rispetto alla base v,..., v. Di. Sia v un qualsiasi vettore del sottospazio V. I vettori v,..., v generano V, dunque v si puo scrivere in aleno un odo coe cobinazione lineare di v,..., v ; ora, se v = r v + + r v, e v = s v + + s v sono due scritture di v coe cobinazione lineare di di v,..., v, allora sottraendo ebro a ebro le due scritture otteniao 0 n = (r s )v + + (r s )v. I vettori v,..., v sono linearente indipendenti, dunque r s = 0,..., r s = 0, cioe r = s,..., r = s. 7. Si prova che ogni sottospazio di R n possiede aleno una base; in realta ciascun sottospazio non nullo di R n possiede infinite basi; vale pero il seguente Teorea, che non diostriao. Teorea Tutte le basi di uno stesso sottospazio V di R n sono forate dallo stesso nuero di vettori. Questo nuero si dice diensione del sottospazio e si indica con di(v). Chiaraente si ha di (R n ) = n. Per i sottospazi dati ediante generatori o equazioni oogenee valgono le Proposizione 2 Siano v,..., v R, e sia v,..., v = {r v + + r v ; r,..., r R} il sottospazio generato da v,..., v. Si ha di ( v,..., v ) di ( v,..., v ) = se e solo se v,..., v sono lin. indip.

7 Proposizione 3 Siano a,..., a R, e sia N (a,..., a ) = { x R n : a x = 0,..., a x = 0 } lo spazio delle soluzioni delle equazioni aventi coe coefficienti i vettori a,..., a. Si ha di (N (a,..., a )) n di (N (a,..., a )) = n se e solo se a,..., a sono lin. indip.