Autovalori e autovettori

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1 Autovalori e autovettori Equazione caratteristica Molti problei interessanti in un gran nuero di discipline scientifiche si possono ricondurre alla seguente relazione atriciale Ax = λx dove A è una atrice quadrata, x è un vettore non nullo e λ uno scalare. in cui una trasforata lineare del vettore x risuta uguale ad un seplice riscaldaento dello stesso vettore x. Di solito, la oltiplicazione di una atrice per un vettore coporta odifiche iportanti nello stesso vettore. Nel caso però che i cabiaenti si liitino ad un cabio di scala e/o di orientaento antenendo inalterate le coponenti del vettore x si parla di x coe di autovettore della atrice A e di λ coe autovalore della atrice A. Sia x che λ sono soluzioni del sistea di equazioni lineari oogenee Se il deterinante della atrice dei coefficienti Ax λx = ( A λi)x = 0 A λi è nullo allora l unica soluzione possibile è x=0, detta banale poiché non richiede nessun particolare sforzo per essere deterinata. Se invece il deterinante è nullo si apre la via a diversi ragionaenti interessanti. Ad ogni atrice quadrata A di ordine è associata una funzione polinoiale ottenuta dal deterinante della atrice A a cui è sottratta la atrice identità oltiplicata per uno scalare.

2 ti i volte ( ) i = Tr Tr A A A [ A λi] = a a a a a a a a a Lo sviluppo del deterinante produce la cosiddetta equazione caratteristica: A λi = C 0 λ + Cλ + + C + C = 0 Se indichiao con t i la traccia della potenza i-esia della atrice A e cioè t i = Tr A i ( ) = Tr i volte AAA A I coefficienti dell equazione caratteristica sono calcolabili dalla relazione con a traccia delle potenze della atrice. Esepio C 0 = C 3 = ( 3 C t + C t + t 3) C = t C = ( C t + t ) C = ( C t + C t + + C t + t ) ; A = A 6 0 ; A 3 = A ; C 0 =; C = 6; C = ( 6 ) Ne consegue che l equazione caratteristica è t =+ + 3 = 6 t = = 30 t 3 = =3 ( ) = 3; C 3 = [( 3 3 ) 6 + ( 6)30 +3] =0 λ 3 6λ + 3λ +0 = 0 L equazione caratteristica, coe ogni polinoio, può essere scritta coe un prodotto A λi = ( ) ( λ λ )( λ λ ) ( λ λ )

3 Le radici dell equazione caratteristica sono gli autovalori di A. Quindi esistono soluzioni, non necessariaente reali e/o distinte, rispetto al sistea di equazioni Ax=λx. Esepio 3 ; A λi = 3 λ λ A λi = 0 ( 3 λ) ( λ) = 0 λ 5λ + 4 = 0 Le radici λ =4 e λ = sono gli autovalori della atrice A. La traccia di una atrice quadrata è pari alla soa dei suoi autovalori. Consideriao la fattorizzazione dell equazione caratteristica f ( λ) = ( ) ( λ λ i ) Il coefficiente della potenza λ - espresso in terini della traccia è c = che deve coincidere con lo sviluppo della fattorizzazione ( ) a ii ( ) Tr( A) = ( ) + λ i = ( ) ( a + a + a nn ) = ( ) tr( A) quindi c = ( ) + λ i e pertanto Tr A ( ) = λ i Il deterinante di una atrice quadrata coincide con il prodotto dei suoi autovalori λ i Esepio λ 4 ; A λi = λ A λi = 0 ( 3 λ) ( 7 λ) 6 = 0 λ 0λ + 75 = 0 λ = 5, λ =5, λ λ = 5 *5 = 75; (3)(7) ( 4)( 4) = 9 6 = 75

4 Gli autovettori Molte applicazioni statistiche coinvolgono un insiee di vettori non nulli associati ad una data atrice ed in particolare ai suoi autovalori. La relazione che interessa è la seguente ( A λ i I)x i = 0 ovvero Ax i = λ i x i i =,,, Dove è il nuero di vettori linearente indipendenti presenti nella atrice A; x i è un autovettore associato all autovalore λ i. Il sistea di equazioni oogenee ( A λ i I)x i = 0 ha aleno una soluzione non banale se λ i è un autovalore di A. Si verifica subito che c è un problea di univocità. Se x i è un autovettore associato a λ i lo sarà anche kx i dove k è uno scalare non nullo. Infatti Ax i = λ i x i A kx i = λkx i Ay i = λ i y i con y i = kx i Quindi, ad ogni autovalore sono associati infiniti autovettori che però differiscono tra di loro solo per un fattore oltiplicativo. Esepio 3 λ = 4 e λ = ( A 4I) x = 0 0 x = 0 0 x x = 0 x = x x x x = 0 x = e x = produce (,) che è un autovettore associato a λ =4. Allo stesso odo, per λ = si ha x 0 0 x = 0 0 x x = 0 0 x = x x Ne consegue che È una atrice forata con degli autovettori associati agli autovalori della atrice A. Naturalente, anche la atrice k k k k k e k 0 È una atrice di autovettori associati agli autovalori di A. Da notare che gli autovettori così ottenuti sono linearente indipendenti. Infatti, la relazione: 0 k + k = 0

5 è verificata se e solo se k =k =0 il che è escluso dalla condizione posta sugli scalari k e k. Il calcolo degli autovalori e dei corrispondenti autovettori non può essere basato sulla deterinazione delle radici dell equazione caratteristica che abbiao utilizzato per atrici (x). Infatti, supponiao che l equazione caratteristica sia λ 3 + pλ + qλ + r = 0 che diventa γ 3 + aγ + b = 0 con il cabio di variabile λ=γ-p/3 cioè se si pone a = q p 3 b = p3 9pq + 7r 7 si può calcolare la quantità pseudo-discriinante d=b /4 + a 3 /7 cosicché: d>0 Una radice reale γ =(-b/+d) (/3) + (-b/-d) (/3) e due iaginarie d=0 Tre radici reali di cui aleno due uguali: γ =(-b/) (/3), γ =(b/) (/3), γ 3 =(b/) (/3) d<0 Tre radici reali e distinte: γ =(a/3) 0.5 cos(θ/3), γ =(-a/3) 0.5 cos(θ/3+π/3), γ 3 =(-a/3) 0.5 cos(θ/3+π/3) dove cos(θ)= b/(-a).5 Esepio λ = 5, λ =, λ 3 = 4 4 E chiaro che non si può procedere in questo odo artigianale. Per fortuna sono disponibili diversi algoriti di calcolo rapidi ed efficienti che risolvono brillanteente il problea della deterinazione industriale degli autovalori ed autovettori. Matrici ortogonali Una atrice è ortogonale se a) A è quadrata; b) A A t = I; c) t A I Il prodotto di atrici ortogonali è ortogonale Se AA t = A t I e BB t = B t B = I allora ( A B) B t A t = ABB t A t = AA t = I B t A t AB = B t B = I

6 L inversa della atrice ortogonale Q coincide con la sua trasposta Q t = Q Q Q = t I Il deterinante di A ortogonale è oppure dato che A A t = I A A t = I = Tuttavia A A t = A A t = A A = ± Se A è ortogonale e λ k è un autovalore di A allora anche (λ k ) - è pure un autovalore di A. Infatti λ λ,,λ Se è pari, ad ogni λ k corrisponde un (λ k ) -. Se è dispari aleno un autovalore è pari a ±. Matrice di Householder H t = I xx con x 0 e x x = t H è ortogonale H H t = ( I xx t )( I xx t ) = ( I xx t )( I xx t ) = I xx t xx t + 4xx t = I Autovalori di una atrice diagonale ( ) = diag a,a,,a a a ( a λ ) L equazione caratteristica è ( ) 0 0 a λ 0 ( a A λi = λ) ( a λ) A λi = ( a i λ) = ( a λ) ( a λ) a λ ( ) Quindi gli autovalori della atrice diagonale coincidono con i valori sulla diagonale.

7 Autovettori di una atrice diagonale Hanno tutti fora: Esepio 0 0 αe i = α dove l è iposizione i - esia λ = 6, λ = 3, λ3 = Autovalori della atrice inversa. Se λ è un autovalore non nullo di A allora (λ) - è un autovalore di A - (se l inversa esiste). Infatti Au = λu A Au = λa u u = λa u λ u = A u A λ I u = 0 Si noti anche se µ è un autovettore della atrice A associato a λ allora µ è anche un autovettore della atrice A - associato a (λ) -. Autovalori della atrice (A+βI) e dei suoi autovettori Indichiao con λ un autovalore di A e µ un autovettore ad esso associato Au = λu βiµ + Au = λµ + βiu ( A + βi)u = ( λ + β)u Quindi (λ+β) è un autovalore della atrice (A+βI) e u che è un autovettore di A è anche autovettore di (A+βI). Autovalori della potenza di una atrice. Sia λ k un autovalore della atrice quadrata A di ordine. Au = λu Moltiplicando per A entrabi i terini otteniao A u = λ k Au A u = λ λu = λ u Se λ un autovalore di A allora (λ) p è un autovalore di A p ed A condivide gli autovettori con A p.

8 Proprietà dell equazione caratteristica Poiché l equazione caratteristica è un deterinante ad essa si applicano le proprietà dei deterinanti. a) Gli autovalori di A e A t sono uguali. Infatti b) ( A λi) t = ( A t λi) b) AB = A B se A e B sono quadrate e dello stesso ordine. Quindi ( A λi) ( B βi) = A λi B βi c) Il deterinante di una atrice triangolare (inferiore o superiore) è pari al prodotto degli eleenti sulla diagonale. a a a 0 a a a a a 0 0 a d) Se P una atrice quadrata ed abbiano Q e W lo stesso ordine. Allora e) P 0 W Q = P Q Quindi P λi 0 = P λi Q βi W Q βi f) Se P e Q sono dello stesso ordine si ha g) 0 P I Q = P h) scabiando due righe o due colonne non cabia gli autovalori. Infatti il deterinante cabia di segno, a l equazione caratteristica è uguagliata a zero e ciò non ha quindi effetto. Teorea di Hailton-Cayley Ogni atrice quadrata soddisfa la sua equazione caratteristica f ( λ) = C 0 λ + C λ + + C + C = 0 Se al posto dello scalare λ si sostituisce la atrice A e si considerano le corrispondenti potenze di atrici, si ottiene f ( A) = C 0 A + C A + + C A + C I = 0 Se post-oltiplichiao f(a) (che è una atrice) per un l autovettore x associato all autovalore λ, allora

9 A λi = C 0λ + C λ + + C + C = 0 + f ( A)x = C i A i x = C i A i x = C i λ i x = C i λ i x e poiché λ è un atovalore di A, verifica l equazione caratteristica per cui e, pertanto, f(a)x=0. + C i λ i = 0 Autovettori riga e autovettori colonna Sebbene l uso coune veda autovettori colonna cioè soluzioni che verificano Aµ = λµ esistono anche gli autovettori riga e cioè soluzioni del sistea t A λµ t µ = che in genere sono diversi (a eno che A non sia una atrice sietrica). Spettro della atrice A L insiee degli autovalori della atrice A è anche noto coe spettro di A e di solito gli autovalori sono posti in ordine decrescente di grandezza λ λ λ In particolare, l autovalore di odulo assio è noto coe raggio spettrale di A. raggio spettrale = ρ A ( ) = ax{ λ λ i autovalore di A} i Deterinante ed autovalori Se un autovalore è zero allora il deterinante della atrice è nullo. Infatti λ i = λ λ λ e basta che uno solo degli autovalori sia nullo perché si abbia A =0. Inoltre, a causa del prodotto, il deterinante risulta olto sensibile ai valori piccoli (cioè quelli che in valore assoluto sono inferiori all unità).

10 Rango di una atrice E dato dal nuero di vettori linearente indipendenti in essa contenuti. Se A è di ordine (nx) allora r( A) in{ n,} cioè A non può contenere vettori LIN più di quanto non sia il più piccolo tra nuero di righe n e nuero di colonne. a) Se A è quadrata di ordine il rango di A verifica la relazione Dove z(a) è il nuero di autovalori non nulli nella equazione caratteristica della atrice b) Se A è una atrice diagonale allora il suo rango è uguale al nuero di colonne o righe non nulle. c) Rango di un prodotto. Se C=AB allora r ( A) z( A) diag( a,a,,a ) ; r( A) = se a ii 0 i =,,, ( C) in{ r( A) r( B) } r, perché se una atrice è oltiplicata per una atrice non singolare allora il suo rango riane invariato. Tuttavia C = Q A dove Q - esiste r( C) r( A) Q C r( A) r( C) e quindi r(a) = r(c) d) Il rango di una atrice è pari al nuero di autovalori diversi da zero associati alla atrice. In questo caso il rango è pari a. ; A λi = λ λ A λi = 0 λ 4λ + 3 = 0 λ = 3, λ = Autovalori di una atrice triangolare (inferiore o superiore) Se A è una atrice triangolare, gli autovalori coincidono con gli eleenti sulla diagonale. Infatti ( ) a a a λ 0 ( a λ) a A λi = ( a λ) che è ancora triangolare

11 Poiché il deterinante della atrice triangolare è dato dal prodotto degli eleenti sulla diagonale, avreo λi = ( a ii λ) = ( a λ) ( a λ) a λ ( ) = 0 Con evidenti radici λ i = a ii i =,,,. Calcolo degli autovettori Consideriao atrici quadrate di ordine Esepio: 0 con autovalori λ = 3, λ =, λ3 = si deve deterinare un vettore u tale che Au = λ k u ( A λ k I) = 0 con u 0 per k=,,3. Tale sistea ha un nuero di soluzioni linearente indipendenti (LIN) pari a Le soluzioni si ottengono da r ( A λ I) k u k = [ G ( A λ k I) I]z Dove G - è la cosiddetta inversa generalizzata di (A-λ k I) e z un vettore arbitrario. In breve, G - soddisfa la condizione GG - G=G (ª condizione di Moore-Penrose). Possiao scriverne l inversa generalizzata coe ( A λ k I) = B k C k D E Dove B k è non singolare (cioè esiste la sua inversa ordinaria) ed ha lo stesso rango di (A-λ k I). Effettuiao adesso la partizione del vettore arbitrario z z t = [ z z ] Dove z ha un nuero di eleenti pari al rango di (A-λ k I). ( A λ k I) = B k 0 con atrice nulle di diensioni opportune 0 0

12 Ecco quindi il calcolo dell autovettore u k = B k 0 B k 0 0 D I t 0 z con t = ran(a λ E 0 I t z k I) C k che iplica u k = I t B k Ck 0 0 I k 0 z 0 I t z = 0 B k C k z = +B k C k z 0 I z z Esepio Per λ =3 si ha A λ I = 7 6 λ = 3, λ =, λ 3 = 4 con B = ; C = 0 0 B = ; G = 0 ; Z t = Z α u = 0 α α = α α α Poiché α è arbitrario possiao scegliere α= per ottenere u = con tutti valori interi. [ ] con α scalare Calcolo degli autovettori per autovalori ultipli Se l autovalore λ k ha olteplicità k il rango di (A-λ k I) deve essere stabilito di volta in volta Esepio 0 ; Equaz.Caratt.: ( λ ) ( λ ) e con λ = ( volte) e λ =

13 All autovalore λ corrisponde A λ I = Poniao che ha rango quindi vi sono ( 3 -) = vettori LIN associati a λ = B = ; C = [ ]; Z t = Z α α [ ] Per cui Per λ =- otteniao Posto si ottiene Dando i valori u = ( ) α α α α ( α + α ) = α α 0 A λ I = 3 che ha rango. B = 0 ; C 3 = ; Z t = [ Z α] 3 u = α α 0 = α α α ( α =, α = 0)( ; α = 0, α = ), α = avreo U = 0 che ha U 0 0 e quindi i tre autovettori sono LIN Altro esepio con E. C. : λ ( λ ) ( λ 6) e con λ = ( volte) e = 6. ( A λ I) = Il rango di questa atrice è : infatti la 3 a riga si ottiene soando alla a la a oltiplicata per due.

14 Se il rango è, allora esistono 3-ran(A-λ I)=3-= vettori LIN associati a λ =. Se definiao B = ; C = 0 ; Z t = [ Z α] Otteniao u = + 4 α 0 α = α α α Per λ =6 si ha A λ I 6 = che ha pure rango dato che la 3 a è ottenuta soando la a per (-) e soando due. Definiao ora: B = 6 3 ; C = 0 ; Z t = Z α [ ] otteniao u = 3 8α 8α α quindi le radici della equazione caratteristica sono tre, a i vettori LIN ottenibili sono due. Ne consegue che, se gli autovalori non sono distinti non necessariaente è possibile ottenere autovettori linearente indipendenti.

15 Autovalori distinti e indipendenza lineare degli autovettori Sia A quadrata di ordine ed ipotizziao che gli autovalori siano tutti distinti. Ipotizziao inoltre che gli autovettori associati agli autovettori siano LID cioè linearente dipendenti. La dipendenza lineare iplica che esistano degli scalari Non tutti nulli tali che β i u i = 0 cioè β u + β u + + β u = 0 per aleno un β i 0 Moltiplichiao ora ogni terine per il prodotto Ottenendo [ ] + β u [( A λ I) ( A λ 3 I) ( A λ I) ] + + [ ( )] = 0 β u ( A λ I) ( A λ 3 I) ( A λ I) β u ( A λ I) ( A λ 3 I) A λ I Per k gli addendi sono tutti nulli dato che uno dei fattori β k u k ( A λ k I) è zero poiché λ k è un autovalore e u k un autovettore. Quindi che equivale a e che si riduce a β,β,,β ( A λ I) ( A λ 3 I) ( A λ I) β [( A λ I) ( A λ 3 I) ( A λ I) ]u = 0 [ ( )]( A λ I)u = 0 ( )( A λ 3 I) ( A λ I) ( ) = 0 = β ( A λ I) ( A λ 3 I) A λ I [ ] Au λ u [( )( A λ 3 I) ( A λ I) ] λ u λ u = β A λ I ( ) = 0 = β A λ I = β [( A λ I) ( A λ 3 I) ( A λ I) ]µ λ λ ( ) = 0 β ( λ λ )( λ λ 3 ) ( λ λ )u = 0 Poiché gli autovalori sono distinti ciò iplica che β =0. Lo stesso si può dire per gli altri coefficienti β i e questo contraddice l ipotesi di dipendenza lineare in cui aleno uno dei β i è diverso da zero. Quindi gli autovettori associati ad autovalori distinti sono LIN.

16 Autovalori ripetuti e indipendenza lineare A è quadrata di ordine. Supponiao che l autovalore λ k abbia olteplicità k e che esistano p autovalori distinti tali che λ,λ,,λ p p i = La atrice A avrà associati autovettori LIN se e solo se si verifica la seguente condizione Sufficienza. Se r( A λ k I) = k per k =,,, p r( A λ k I) = n k ( A λ k I)u k ha ( k ) = k soluzioni LIN. Per diostrare che autovettori in gruppi diversi siano LIN supponiao che non lo siano. In particolare supponiao che u k associato a λ k sia una cobinazione lineare degli autovettori z,z,,z p associati a λ h h=,,,p con h k. In breve si ipotizza che p u k = β i z i con β i 0 per aleno un i Allora k Au k = β i Az i λ h u k = β i λ k z i = λ k β i z i k k Si dovrebbe perciò avere: λ k u k = λ h u k che è ipossibile dato che si è posto λ k λ h Necessità. Ciò equivale a diostrare che se U - AU=D esiste, allora si ha ran(a-λ k I)=-r. Sia D la atrice diagonale forata con gli autovalori della atrice A. Ne consegue che (D-λ k I) ha esattaente k zeri sulla diagonale e cioè tanti quanto è la olteplicità di λ k. Quindi ran(d-λ k I)=- k Poiché esiste U - AU=D ne consegue che A=UD - U e quindi ( A λ k I) = ( UDU λ k I) = U[ D λ k I]U e poiché ran(d-λ k I)=- k, lo stesso sarà per A-λ k I perché il rango riane invariato se la atrice è oltiplicata per atrici non singolari. In generale quindi, se ci sono autovalori ripetuti diversi da zero, siao sicuri che il rango della atrice originaria non è coproesso, a il rango della atrice forata con gli autovettori sarà pieno solo se gli autovalori sono distinti oppure, se ripetuti, si verifica la condizione posta all inizio del paragrafo.

17 Matrici in fora canonica siile Se A è quadrata di ordine, ad ogni autovalore λ k di A può essere associato un autovettore tale che Au k = λ k u k per k =,,, Aggreghiao le relazioni nella notazione copatta λ λ A[ u u u ] 0 ovvero AU = UD 0 0 λ Dove U è forata dagli autovettori e D è una atrice diagonale D è la fora canonica siile di A. D = diag( λ,λ,,λ ) Esepio Con 0 E.C. ( λ ) ( λ ) = 0 λ =, λ =, λ 3 =, e, ad esepio, U = 0 0 AU = 0 = UD = = Se U è non singolare allora U - AU=U - UD=D. Diagonalizzazione di una atrice Data la atrice quadrata A di ordine è possibile ipostare la relazione AU=UD dove D è una atrice diagonale i cui eleenti sono gli autovalori di A ed U una atrice forata con gli autovettori ad essi associati. La atrice U è non singolare se r( A λ k I) = k per k =,,,P con k olteplicità di λ k e p nuero di autovalori distinti. In questo caso si può porre la relazione

18 U AU = D Se la relazione sul rango non è verificata per qualche λ k allora A è deficitaria e U - non esiste. Ciò può succedere però solo in caso di autovalori ripetuti. a) Il deterinante di A è uguale al deterinante di D. U AU = D U A U dato che A B = A B poiché U = U U AU = U A U = A e quindi D b) A e D hanno la stessa equazione caratteristica e quindi gli stessi autovalori. Il converso però non è vero: P e Q possono avere gli stessi autovalori (e quindi lo stesso deterinante) a non necessariaente risulteranno siili nel senso pria descritto. Le due atrici P = 0 ; Q = 0 0 hanno gli stessi autovalori λ = e λ =, a per ogni qualunque atrice non singolare C si ha C - PC=I. dato che P=I e quindi non esiste una atrice U tale che U - PU=Q c) La relazione U - AU=D iplica che A=UDU - e quindi d) A = A UDU A = UD U A p = UD p U e questo è vero per ogni intero p (inclusi i negativi). Matrici sietriche Le atrici sietriche hanno alcune proprietà interessanti rispetto ad autovalori e autovettori che conviene studiarle separataente. Una atrice quadrata A è sietrica quando è identica alla sua trasposta A t a ij = a ji i =,,,; j =,,, a) Se gli eleenti di A sono reali ed A è sietrica allora le radici dell equazione caratteristica sono pure reali. b) Tutte le atrici sietriche sono diagonalizzabili e cioè esiste U - tale che UDU c) Gli autovettori di una atrice sietrica sono ortogonali a due a due Caso. Autovalori distinti Siano λ λ e u, u gli autovettori associati D = diag( λ,λ,,λ ) Au = λ u u T Au = λ u T u

19 Poiché autovettori riga e colonna coincidono si ha e dato che λ λ l identità è possibile solo se λ u T u = λ u T u u T u = 0 sono vettori ortogonali Questo vale per ogni coppia di autovalori e di autovettori. Caso. Autovalori ripetuti. La diostrazione è più coplessa, a è accertato che se A è sietrica e λ k è un suo autovalore con olteplicità k allora ran(a-λ k I)=n- k e (A-λ k I)u=0 ha k soluzioni LIN e ortogonali. d) Il rango di una atrice sietrica coincide con il nuero di autovalori diversi da zero. Infatti, poiché A=UDU t ran(a) e ran(d) coincidono ed essendo D diagonale il suo rango è dato dal nuero di autovalori non nulli. e) Quoziente di Rayleigh. Se A è una atrice sietrica di ordine (x) con autolavori allora λ λ λ λ x t Ax x t x λ i) Matrici in fora canonica siile ortogonali. Sappiao che A=A t allora A è diagonalizzabile che, data la sietria, è possibile trovare vettori linearpende indipendenti ortogonali associati agli autovalori di A, singoli o ltipli che siano. D altra parte, se u e u sono autovettori associati a λ e λ e cioè u t u = u t u = 0 Possiao trasforare i due vettori in odo che la loro nora euclidea sia unitaria u + = u t u u ; u + = u t u u ; u + i ( ) t u i + = u t i u u t iu i i u t i u = i A questo punto possiao diagonalizzare l originaria atrice A con lo schea QDQ t con Q t Q = QQ t = I Esepio

20 ; λ = 5, λ =, λ = 3 α u = α ; A λ I = α ( ) α + α e quindi u = α = u 3 α Se si pone α=, α = α =, e poi α =-, α = si perviene a 0 U = Q = E facile verificare che Q è ortogonale e che Q t AQ=D=diag(5,-,-). h) Scoposizione in valori singolari (Scoposizione spettrale). Per la particolare atrice A t A si può ostrare la nota proprietà A t cioè la soa dei prodotti esterni delle colonne di A. Coe è noto il prodotto esterno o prodotto vettoriale di due vettori conforabili deterina una atrice. Se u, v sono due vettori colonna ( x ) allora uv t sarà una atrice quadrata di ordine ( x ). j= t a j a j u = 4 ; v = 0 uv t = [ ] = Il prodotto di due atrici può essere realizzato utilizzando il prodotto esterno dei loro vettori r r AB = [ c c c ] = c r t + c r t t + c r r Sia ora U la atrice ortogonale usata nella diagonalizzazione di A con U t U=I. Quindi Preoltiplicando per A si arriva a t I = u j u j j= T Au j u j = A j= j= λ t j u j u j = A

21 Che è nota coe la scoposizione spettrale di A. Tale forula si applica anche alle potenze di A. A P = P T λ j u j u j f) Gli autovalori di una atrice sietrica sono tutti non-negativi se e solo se la atrice è non negativa definita cioè x t Ax 0 per ogni x e questo si diostra con la siilitudine a D. Matrici sietriche non negative definite Le fore quadratiche x t Ax sono nulle se x è coposto esclusivaente da zeri. Alcune di esse sono però nulle solo se x=0. Esepio 5 ; x T Ax = [ x x x 3 ] 5 x t Ax = x + 5x + x3 + 4 x x + x x 3 + x x 3 = ( x x ) + ( x + x 3 ) + ( x + x 3 ) che è aggiore di zero a eno che x =x =x 3 =0. Altre fore quadratiche sono nulle anche per x 0. Esepio ; x t Ax = [ x x x 3 ] x t Ax = 37x +3x +7x3 4 x x 48x x 3 6x x 3 = ( x x ) + ( 6x 4x 3 ) + ( 3x x 3 ) Che risulta nulla per x=[ 3]. Le fore quadratiche si dicono: Le ultie due categorie sono indicate congiuntaente con il terine di fore quadratiche non negative definite. Proprietà delle atrici non negative definite a) Se A è positiva definita allora a i >0 e A >0, Se A è positiva seidefinita allora a i 0 e A =0 b) Se A è positiva (sei)definita lo sarà pure QAQ t per ogni atrice non singolare Q. Infatti, posto allora positive defnite se x T Ax > 0 x 0 positive seidefinite x T Ax 0 x 0 e x T Ax = 0 per qualche x 0 y T T x = 0 x Ax = 0. y = (Q t ) x Ay 0 yq y 0 T x x x 3 x x x 3

22 c) Le atrici non negative definite aettono la scoposizione: A=QQ t con Q reale e rango pieno di colonna inoltre, se A è positiva definita Q è non singolare. Un iportante conseguenza è che d) Se X è una atrice con eleenti reali allora (X t X) è sietrica e non negativa definita. Inoltre se X ha rango pieno allora (X t X) è positiva definita. e) Autovalori di atrici sietriche non negative definite. Se la atrice A è sietrica ed ha autovalori non negativi allora è non negativa definita ed è positiva definita se gli autovalori sono positivi Esepio x T Ax = ; E.C. = λ( λ 4) ( λ 53) = 0;λ = 53, λ =4, λ 3 = 0 Se A è non negativa definita abbiao U t AU=D. Sia ora D 0.5 la atrice diagonale D 0.5 = diag cioè forata dalle radici quadrate degli autovalori di A. Si avrà perciò j= = y i x i x j u ij per y = Q t x UDU T = ( UD U T )( UD U T ) = H con H = UD U T ( λ i ) Ne consegue che gli autovettori danno la direzione dei seiassi della ellissoide attraverso il coseno e gli autovalori ne danno la lunghezza. La assia eccentricità è data dal coefficiente di condizionaento: