1 Simulazione di prova d Esame di Stato

Transcript

1 Siulazione di prova d Esae di Stato Problea Risolvi uno dei due problei e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Sia y = f) una funzione reale di variabile reale tale che la sua derivata seconda sia uguale al logarito naturale di ) e il cui grafico sia tangente nel punto A di coordinate ; ) alla circonferenza di centro C; ). a. Deterinare l espressione di f). b. Individuare il nuero di zeri della funzione f) e disegnare il grafico. c. Considerare l arco di curva piana di equazione y = f) copreso tra il punto di flesso della funzione e l asse delle ordinate. Qual è la lunghezza di tale arco di curva? + ) ) a. Raggio della circonferenza: AC = = ; C: ) +y +) = 6 4. La retta t tangente al grafico di f) nel punto A deve essere ortogonale al segento AC: t: y + = ) + LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO AC = + = 5 = =5. AC Dato il significato geoetrico della derivata pria di una funzione calcolata in un punto, possiao concludere che f ) =5. f ) = f )d = ln )d = ln ) f ) = ln) + + c =5 c = 9. f) = f )d = ln )d ) d = d = ln ) + c. f = ln ) k ) = k = 3 6 f) = ln )

2 b. Per rispondere ai due quesiti, studiao la funzione f). D f = { R: >0} = ;0) [ f) = ln ) )] 6 =+ ln ) f) = ) = = f ) 0 ln ) = 0 inio 9 f ) 0 ln ) 0 f) ha concavità verso l alto se < 0 <0 y = 9 y A ) ; flesso. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO y = ln ) 0 O f) assue valori negativi passa per A), il suo punto di inio assoluto ha ordinata negativa <. f) agli estrei del suo doinio è positiva allora esistono zeri. y 0 O A ln )

3 c. l = 0 {+[f )] } d. La definizione di lunghezza di un arco di curva richiede che la funzione sia continua e derivabile su [ ;0], a f) non è continua in zero. Essendo però la discontinuità in = 0di terza specie, ha senso calcolare la lunghezza dell arco di curva, ricorrendo al concetto di integrale iproprio. l = + b 0 b {+[f )] } d [ ln ) ) + 9 ] d = ln ) ) d = 3 3 ln ) ) 3 [ ln ) ) +9ln ) ) = 3 3 ln ) ) 3 [ 3 3 ln ) ) d = 3 ln ) ) 3 = 3 3 ln ) ) 9 3 ln ) ) c. 9ln ) ) d = 9 ln ) ) 9 d = ] d 3 ] d = LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO { b 3 l = b 0 = = 9 ln ) ) 9 + k 3 ln b) ) + b ln b) ) ) 8 = b + 9 ) + 7 b3 9 4 b + 85 } 4 b = Problea In un riferiento cartesiano ortogonale è data la curva γ di equazione + y =, essendo una costante reale. a. Ricercare per quale traslazione degli assi l equazione assue la fora XY = k. b. Trovare le coordinate dei punti A e B couni alla curva e alla bisettrice del prio quadrante e deterinare la lunghezza del segento AB. c. Verificare che per qualsiasi valore del paraetro tutte le curve descritte dall equazione hanno in coune un edesio punto C. Deterinare l area del triangolo ABC. Studiare l andaento di tale area al variare del paraetro. 3

4 d. Fatta ruotare la curva γ di un angolo giro attorno alla retta di equazione y =, deterinare il volue del solido itato dalla superficie così ottenuta e dai piani perpendicolari all asse passanti per i punti 0 = C, > 0, nel caso di negativo. a. y = + traslazione t XY = k Occorre fare in odo che il centro di sietria S di γ diventi l origine del nuovo sistea di riferiento. La curva γ è un iperbole equilatera traslata, S è dato dall intersezione dell asintoto verticale =+ con quello orizzontale y = S ; ) { = X + t: y = Y + L equazione della curva nel nuovo sistea di riferiento si ottiene quindi ) + Y += X + X + ) { y = b. {A; B} = + y =, XY = 5 { y = + ) =0 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO { y = = + ± + ++ AB = ) +3 + = y = se =0 y = { c. C: C: y = + y = se = + + =0 =0 L altezza relativa alla base AB del triangolo ABC è la distanza h del punto C dalla retta AB y = ) 0+ h = = A ABC = AB CH =

5 +3 + A) = D A = { R: } = A) > 0 D A A) = ± ± A) = A) =0 + A) =+ =0asintoto verticale ± 3 A 4 se > ) = se < A ) > 0: { < 3 >0 { > 3 <0 Adecrescente in 0; + ) Adecrescente in ; 3 5 y ; 3 5 = y = ) 3+ ) 5 ;0 0; + ) asintoto orizzontale ) 3+ ; A crescente in ) 5 ;0 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO y = A) 3 5 O 3+ 5 y = d. V = π 0 [f)] d. La forula vale quando la rotazione della funzione f) è fatta attorno all asse. La retta y = risulta essere l asse delle ascisse nel sistea di riferiento traslato ottenuto nel punto a. Occorre trasforare anche gli estrei di integrazione nel nuovo sistea di riferiento. X ) 5 V = π dx = 5π [ X ] X =5π +X ) X. X 5

6 Questionario Deterinare il valore del paraetro k in odo che valga + k ) =. + + k + + k + = + k + ) = k + k ; k = k =4. Precisare se esiste, e in caso afferativo deterinare il valore, del paraetro t tale che sia ovunque continua la funzione: { sen + t) se <0 f) = cos t) se 0 Le funzioni trigonoetriche seno e coseno del testo sono continue su tutto l asse reale, se considerate singolarente. L unico punto in cui f) potrebbe non essere continua è in corrispondenza di =0. sen0 + t) =cos0 t) sen t = cos t) =cos t t = π + kπ, k Z. 4 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 3 Perché non è applicabile il teorea di Rolle alla funzione f) = considerata nell intervallo [ a; a]? Il teorea di Rolle richiede che la funzione f) sia derivabile su a; a), entre f) = non è derivabile in =0 a; a). Infatti il rapporto increentale di f) relativo al punto 0 =0ha ite destro diverso dal ite sinistro. y = { se 0 + se 0 y y = O 6

7 4 Due barche inizialente alle distanze a e b da un generico punto P, navigano verso P secondo traiettorie rettilinee perpendicolari tra loro, alle velocità rispettivaente di h e k. Quando è inia la distanza tra le barche? A quanto è pari tale distanza inia? Nel oto rettilineo unifore lo spostaento è dato da st) =vt + s 0,dove v = velocità costante, s 0 = posizione iniziale. Nel nostro caso s A t) = ht + a, s B t) = kt + b dove sono stati utilizzati sistei di riferiento centrati in P rispettivaente nelle direzioni delle rette PA, PB. dt) = ht + a) + kt + b) d t) = t in = h + k )t ha kb ha + kb 0 se t a ht) +b kt) h + k ; ha + kb h + k, d in = dt in )= k P B b a d h hb ka h + k. A LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 5 Dare la definizione di funzione tra insiei. Quante funzioni differenti esistono tali che il doinio di f sia dato dall insiee D = {; ;...; n} e l insiee iagine sia I = {a; b}? f: D = {; ;...; n} I = {a; b} Il nuero di funzioni f distinte è dato dal nuero di disposizioni con ripetizione di oggetti a e b) di classe n, ovvero sono i gruppi ordinati di eleenti uno in corrispondenza di ogni eleento di D) estratti da I. D ;n =n. 6 La successione a n è definita dalla forula ricorsiva a =0 a n+ = a n Scrivere il terine a 93. La successione è itata? È convergente? Qual è l espressione della soa dei prii n terini? Nella successione {a n } tutti gli eleenti con indice dispari sono uguali a 0, quelli con indice pari sono uguali a 0 a 93 =0. 7

8 La successione è itata: 0 a n 0, n non può essere divergente. {a n } non è convergente. Supponiao esista l = a n ε >0: all intervallo l ε; l + ε) possono appartenere gli infiniti eleenti uguali a 0, a non quelli uguali a 0 n + o viceversa). La soa dei prii n terini si può espriere coe n 0 + ) se n pari 0 s n = n 0 + ) se n dispari 0 7 L equazione +log = log ha: a. una soluzione reale b. due soluzioni reali c. infinite soluzioni reali d. nessuna soluzione reale e ln +log ) = e ln log + log )ln =log ln se, +log =log log = =. Verifichiao se = è soluzione: +log = log = 0 = l equazione ha soluzioni reali. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 8 Calcolare il valore dell integrale 0 +) d. Dato che la funzione integranda non è definita per =0, si tratta di risolvere un integrale iproprio. Usando la definizione si ha: 0 +) d = a 0 a +) d. L integrale può essere risolto usando la sostituzione = t: +) d = t t + 3 t dt = + t dt = + 3 [ ] + t ) dt = =t 3 arc tg t + c = 3 arc tg + c. 8

9 a 0 a +) = 3 arc tg d = 3 arc tg a 0. a + 3 arc tg ) a = 9 Sia f) una funzione continua a valori reali definita su [a; b] tale che fa) < 0 <fb). Per ciascuna delle seguenti afferazioni dire se sia vera o falsa e in tal caso giustificare la risposta con un opportuno esepio: a. esiste un solo punto 0 [a; b] tale che f 0 )=0; b. esiste aleno un punto 0 [a; b] tale che f 0 )=0; c. esiste un solo punto 0 a; b) tale che f 0 )=0se la funzione è dispari e a = b. a. Falso. Si consideri f) =sen nell intervallo [ π ; 5 π]. b. Vero. c. Falso. Si consideri una funzione il cui grafico sia il seguente. b O b LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 0 Dopo aver diostrato che y = + e è invertibile, calcolare la derivata della sua inversa = gy) nel punto y =. y = + e D = R y =+e +e > 0 in tutto R. La funzione data è dunque onotòna crescente in tutto il doinio e quindi è ivi biunivoca. Ciò iplica che sia invertibile. Se k è tale che fk) =,ovvero se k è l antiagine di, allora: g ) = f k) = + e e =. Si intuisce e si verifica che 0 è il valore richiesto, eventualente anche ediante i grafici di y = e e di y =. Infatti: f0) = 0 + e 0 =; f 0) = + e 0 =; g ) = f 0) =. 9