Lezione 12. Sottogruppi finiti di ordine fissato. I Teoremi di Sylow.

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1 Lezione 1 Prerequisiti: Lezioni, 7. ruppi di perutazioni. Riferienti ai testi: [Fd] Sezione.1; [H] Sezione.7; [PC] Sezione 5.1 Sottogruppi finiti di ordine fissato. I Teorei di Sylow. Dal Teorea di Lagrange (.) sappiao che, per ogni sottogruppo H di un gruppo finito, l ordine di H divide l ordine di. In altri terini, condizione necessaria affinché un gruppo finito abbia un sottogruppo di un certo ordine n, è che n divida. Questa condizione, in generale, non è sufficiente. Esainiao la situazione in particolari classi di gruppi, e stabiliao, in ogni caso, se per ogni divisore n di esiste un sottogruppo H di tale che H = n. Iniziao con un seplice risultato, che è un richiao dal corso di Algebra 1. Proposizione 1.1 Dato il gruppo ciclico oltiplicativo (positivo) di n il sottogruppo n g ha ordine. = g di ordine n, per ogni divisore Diostrazione: In effetti, si ha che n nk g = g = 1 k se e solo se n divide nk, il che avviene se e solo se k è un intero. Il più piccolo intero positivo k per cui ciò si verifica è. Per definizione di n periodo, si ha dunque che o g =. Nota Per ogni divisore di n esiste, in realtà, un unico sottogruppo di avente ordine. Chi sa diostrarlo? Il teorea di Lagrange si inverte dunque per i gruppi ciclici. Passiao ai gruppi di perutazioni. Esepio 1. Per ogni divisore di S = 6 e di S = troviao un sottogruppo di S e S rispettivaente. Le tabelle seguenti riepilogano i sottogruppi che già abbiao incontrato nei capitoli precedenti. Indichereo, di volta in volta, un solo sottogruppo per ogni classe di isoorfiso. S Sottogruppo Divisore di 6 { id } 1 (1) (1) S 6

2 S Sottogruppo Divisore di { id } 1 (1) (1) (1), { id,(1)(),(1)(),(1)() } S 6 C((1)()) 8 A 1 S Estendiao ora la ricerca al gruppo S 5 di ordine 10. Ci potrà essere utile deterinare gli ordini dei centralizzanti degli eleenti di S 5, contando gli eleenti delle classi di coniugio. Struttura ciclica Eleenti nella classe di coniugio Ordine dei centralizzanti Esepio (1,1,1,1,1) 1 10 C(id) = S 5 (1,1,1,) 5 = 10 1 C((1)) (1,1,) 5 = 0 6 C((1)) (1,) 5! = 0 C((1)) (5)! = 5 C((15)) (1,,) = 8 C((1)()) (,) 5 = 0 6 C((1)(5)) Deteriniao esplicitaente questi sottogruppi: C ((1)) = { id, (1), (), (5), (5), (5), (5), (1)(), (1)(5), (1)(5), (1)(5), (1)(5)} C ((1)) = { id, (1), (1), (5), (1)(5), (1)(5)} C ((1) = { id, (1), (1)(), (1)} C ((15)) = { id, (15), (15), (15), (15)} C ((1)()) = { id, (1)(), (1)(), (1)(), (1), (1)}

3 C ((1)(5)) = { id, (1)(5), (1), (5), (5), (1)(5)} Quest ultio gruppo è isoorfo a C((1)), Infatti è isoorfo a C ((1)(5)) = { id, (1)(5), (1)(5), (1), (1), (5)}, che coincide con C((1)). Questo è un gruppo abeliano di ordine 6. S 5 ha anche sottogruppi di ordine 6 non abeliani, ad esepio S. In generale, l elenco sopra non esaurisce le classi di isoorfiso dei sottogruppi di S 5. C((1)) è un sottogruppo di ordine isoorfo a Z Z, entre (1) è un sottogruppo di ordine ciclico. L elenco non coprende nessun sottogruppo di ordine 10 o di ordine 60: però sappiao che S 5 ha un sottogruppo isoorfo a D 5 (Esercizio 10.9), che ha ordine 10, e sappiao anche che il gruppo alterno A 5 ha ordine 60. Mancano ancora all appello altri possibili ordini di sottogruppi: 15, 0,, 0, 0. Ciò può far sorgere il sospetto che, in questo caso, il Teorea di Lagrange non si inverta: più avanti sareo in grado di conferare il sospetto. Per il oento, possiao trovare in A un controesepio: possiao infatti provare che A, che ha ordine 1, non ha alcun sottogruppo di ordine 6. Supponiao per assurdo che esista un sottogruppo H di A avente ordine 6, sia σ un suo eleento diverso dall identità. Per una conseguenza del Teorea di Lagrange (Corollario.) o( σ ) è un divisore di H, quindi si ha uno dei seguenti casi: - o( σ ) = 6 : ciò è però ipossibile, nessuna perutazione di S ha periodo 6; - o( σ ) = : gli unici eleenti di periodo in A sono le perutazioni aventi struttura ciclica (,). A eno di ridenoinare gli eleenti, possiao supporre che (1)() H. In tal caso nessun altro eleento dello stesso tipo può appartenere ad H: se, per fissare le idee, (1)() H, allora (1)()(1)() = (1)() H, e quindi - { id, (1)(), (1)(), (1)()} H, che contraddirebbe il Teorea di Lagrange, poiché non divide 6. Pertanto H deve contenere un eleento di ordine, possiao supporre che sia (1). Allora (1) H, (1)(1)() = (1) H, quindi (1)(1) = (1)() H, e si conclude, coe pria, con una contraddizione. - o( σ ) = : in tal caso, per quanto appena diostrato, tutti gli eleenti di H diversi dall identità hanno periodo. Se uno di questi è (1), ad H appartengono anche il suo inverso ed un altro - ciclo, che possiao supporre sia (1), insiee al suo inverso (1). Quindi - (1)(1) = () H, quindi () H, a allora H ha più di 6 eleenti. Poiché ogni caso conduce ad una contraddizione, non esiste alcun sottogruppo di ordine 6 in A. Riassuendo: se n divide l ordine di un gruppo finito : - non ha necessariaente un eleento avente periodo n (nessun eleento di S ha periodo 6); - non ha necessariaente un sottogruppo di ordine n (nessun sottogruppo di A ha ordine 6).

4 Il seguente risultato stabilisce un criterio sufficiente per l esistenza, in un gruppo finito, di eleenti aventi un certo periodo. Teorea 1. (Teorea di Cauchy) Dato un gruppo finito, se p è un nuero prio tale che p, allora ha un eleento di periodo p. Diostrazione: Sia = np. Procediao per induzione su n 1. Se n = 1, il gruppo è ciclico di ordine p (v. Corollario.8), e la tesi è vera. Sia ora n > 1, e supponiao la tesi verificata per i valori di n più piccoli. Supponiao dappria che sia abeliano. Se è ciclico, la tesi segue dalla Proposizione 1.1. Supponiao allora che non sia ciclico. Sia x, x id. Allora 1 < o( x) <. Se p o( x ), allora, per l ipotesi induttiva, il sottogruppo ciclico x ha un eleento di periodo p, e la tesi segue per. Se, invece, p / o( x), allora, per il Teorea di Lagrange (.), p / x. o( x ) = < Per l ipotesi induttiva, il gruppo quoziente / x ha un eleento x y di periodo p. Si ha: ( ) ( x y) o y = x, dunque p = o( x y) o( y). Poiché non è ciclico, y è un sottogruppo proprio, dunque la tesi segue per l ipotesi induttiva. Supponiao ora che non sia abeliano. Allora Z( ). Se p Z( ), la tesi segue per l ipotesi induttiva. Altrienti, nell equazione delle classi s = Z( ) + C( x ) i= 1 i il prio ebro è ultiplo di p, entre non lo è il prio addendo del secondo ebro. Segue che non lo è neeno la restante soa, e quindi non lo è uno dei suoi terini. Ciò C( x ) significa che p C( x i ). D altra parte C( xi ), dunque la tesi segue, anche in questo caso, per l ipotesi induttiva. Esepio 1. Il gruppo sietrico S n ha cicli di lunghezza p per ogni prio p che divide n!. Infatti, ogni prio siffatto è inore o uguale a n. Con considerazioni analoghe a quelle effettuate nella precedente diostrazione si può provare il seguente, fondaentale enunciato. Teorea 1.5 (Teorei di Sylow) Sia un gruppo finito, e sia p un nuero prio che divide. Sia p n la assia potenza di p che divide. Allora valgono le seguenti proprietà. a) ha un sottogruppo di ordine p i per ogni i=1,..., n. b) Ogni sottogruppo di ordine p i è contenuto in un sottogruppo di ordine p n. c) I sottogruppi di ordine p n sono a due a due coniugati. d) Il nuero di sottogruppi di ordine p n è congruo a 1 odulo p, ed è un divisore di. Diostrazione: Vedi i testi consigliati, oppure il sito internet: i

5 Definizione 1.6 Rispetto alle notazioni del precedente enunciato, un sottogruppo di ordine p i si dice p-gruppo. Un sottogruppo di ordine p n si dice p-sylow. Esercizio 1.7 Deteriniao i p-sottogruppi ed i p-sylow di S. I valori di p da considerare sono p = e p =. I -Sylow hanno 8 eleenti, i -Sylow hanno eleenti. Sottogruppi di ordine : (1), (1), (1), (), (), () Sottogruppi di ordine : (1) = { id, (1), (1)(), (1)} (1) = { id, (1), (1)(), (1)} isoorfi (1) { id, (1), (1)(), (1)} = { id, (1)(), (1)(), (1)()} Sottogruppi di ordine 8 (-Sylow): C((1)()) = id, (1)(), (1)(), (1)(), (1), (), (1), (1) { } { } = { } C((1)()) = id, (1)(), (1)(), (1)(), (1), (), (1), (1) = () C((1)())() C((1)()) id, (1)(), (1)(), (1)(), (1), (), (1), (1) = () C((1)())() Abbiao verificato che i -Sylow sono a due a due coniugati (e quindi isoorfi). È facile rendersi conto che ogni gruppo di ordine o è contenuto in un sottogruppo di ordine 8. Inoltre, il nuero di -Sylow è congruo a 1 odulo : è infatti uguale a. Sottogruppi di ordine (-Sylow): (1), (1) = () (1) () (1) = () (1) () () = (1) (1) (1) Il nuero dei -Sylow è, congruo a 1 odulo. I prossii esercizi sono applicazioni dei teorei di Cauchy e di Sylow. Esercizio 1.8 Sia n il prodotto di nueri prii a due a due distinti. Provare che allora ogni gruppo abeliano di ordine n è ciclico. Svolgiento: Sia un gruppo di ordine n, e sia n = p1 p ps la decoposizione di n in fattori prii. Procediao per induzione su s. Se s=1, per il Corollario.8 il gruppo è ciclico. Sia allora s>1, supponiao la tesi vera per i valori di s più piccoli. Per il teorea di Cauchy, esiste in un x eleento di ordine p s, Poiché, per il Teorea di Lagrange (.), / x = p1 ps, l ipotesi induttiva si applica al gruppo quoziente / x, che è abeliano, e pertanto è ciclico. Sia x y un generatore di / x. Allora o( y ) è un ultiplo di o( x y) = p1 ps (oltre ad essere un divisore

6 di ). Se o( y) = p1 ps, si ha che = y, e la tesi è provata. Altrienti o( y) = p1 ps, e dunque x y { } =, e pertanto, 1 k k k k k k k k ( ) = xy = x y x = y x x y x = y = 1 p p p k s s Dunque il sottogruppo xy di ha ordine p1 ps ps, cioè coincide con. Osservazione 1.9 Dal precedente esercizio segue, in particolare, che ogni gruppo abeliano avente ordine del tipo pq, con p e q prii distinti, è ciclico. Ciò vale, ad esepio, per il gruppo soa diretta Z Z. Ma ciò già lo sapevao: il Teorea Cinese dei Resti stabilisce, infatti, che p q Z p Z q Z pq. Esercizio 1.10 Provare che un gruppo di ordine 15 è ciclico. Svolgiento: Sia un gruppo di ordine 15. Sia k il nuero dei suoi 5-Sylow, che sono i suoi 1 : quindi il nuero di eleenti sottogruppi di ordine 5. L intersezione di due 5-Sylow distinti è { } di periodo 5 è k. D altra parte, per il Teorea di Sylow, d), k 1 (od 5), e k divide 15. Segue che k=1, e gli eleenti di periodo 5 sono. Analogaente, si trova che il nuero degli eleenti di periodo è uguale a. Contando insiee l identità, e gli eleenti di periodo 5 e, non si esauriscono tutti gli eleenti del gruppo. Per il Teorea di Lagrange (.), i restanti eleenti hanno necessariaente periodo 15, e quindi ognuno di essi è un generatore di. ha un unico -Sylow e un unico 5-Sylow: d altra parte, sappiao che in un gruppo ciclico esiste un solo sottogruppo avente un ordine fissato. (v. Nota dopo la Proposizione 1.1) Nota In un gruppo ciclico di ordine 15 il nuero di generatori è pari a ϕ (15) = 8. I conti tornano: = 15. Osservazione 1.11 Dall Esercizio 1.10 possiao concludere che S 5 non ha sottogruppi di ordine 15. Infatti, S 5 non ha eleenti di periodo 15.