APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO

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1 APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO Introduzione al calcolo nuerico Rappresentazione dei nueri sul calcolatore Stailità e condizionaento Metodi nuerici Un fenoeno fisico può essere rappresentato attraverso un odello ateatico L uso di un etodo nuerico consente la risoluzione approssiata di tale odello ateatico con l uso di un calcolatore In pratica, la risoluzione di un prolea con un calcolatore si riconduce all ipleentazione di un algorito, ossia di una serie di istruzioni univocaente definite ed eseguiili in un tepo finito I etodi nuerici servono per risolvere prolei troppo coplessi, coe ad esepio la risoluzione dell integrale e d, in quanto si diostra che non è a possiile scriverne una priitiva in fora seplice, oppure prolei di cui si conosce perfettaente il etodo risolutivo, a che risultino troppo grandi da trattare a ano, ad esepio un sistea lineare con 00 equazioni in 00 incognite Sistea Floating Point Il sistea oating point (virgola oile) è un odo di rappresentare i nueri che i calcolatori noralente utilizzano In sostanza, fissata una ase β di un sistea di nuerazione, la rappresentazione oating point di un nuero reale consiste in una antissa oltiplicata per un opportuna potenza di β, in odo tale da non avere né parte intera, né zeri dopo la virgola Ad esepio con β = 0 : * * *0 0 L esponente della ase viene definito caratteristica Si può osservare che questo sistea è posizionale, infatti vale: Nueri acchina 0789 = 7 *0 + 8*0 + 9*0 L, U è definito coe segue: L insiee dei nueri acchina con t cifre di antissa, ase β e range [ ]

2 F t s e, = β d iβ i= ( β t, L, U ) { 0} R : = ( ) i dove: t, β sono interi positivi, β ; 0 d β, i =,,, t i d 0 rappresentazione noralizzata; L e U, U generalente positivo e L negativo; e = caratteristica t d i i= i β = antissa, variaile fra Per ogni nuero reale F( β, t, L, U ) si ha β e β ( β ) = a L U in = β β non è cioè possiile rappresentare alcun nuero inore di in, a parte lo zero, senza coettere un errore di underow Siilente non è possiile rappresentare alcun nuero aggiore di a senza coettere un errore di overow Errore Sia R e una sua approssiazione = = Si definisce errore assoluto la quantità S e ( ) β S e ( ) β E a = Questo tipo di errore non porta inforazioni sull ordine di grandezza di Si definisce errore relativo la quantità E r = = E a forula valida 0

3 In questo caso si hanno inforazioni anche sull ordine di grandezza di Tecniche di approssiazione e Per poter rappresentare correttaente un nuero reale = sgn( ) β in nueri acchina, è necessario che esso cada nel range [ L, U ] Se la sua antissa ha già un nuero di cifre pari a t, allora si è già in presenza di un nuero acchina, altrienti è necessario approssiare I due principali etodi di approssiazione sono: arrotondaento: viene approssiato con il nuero acchina più vicino; in caso di equidistanza di da entrai i nueri acchina, aggiore e inore, si approssia il nuero reale con il nuero acchina che ha la cifra eno significativa della antissa (l ultio a destra) pari Questo è il etodo applicato dai calcolatori troncaento: viene approssiato al nuero acchina più grande il cui valore assoluto sia inore di Esepio: Con il etodo dell arrotondaento: Con il etodo del troncaento: Due antisse acchina distano fra di loro di una quantità pari a β Tutti i nueri che si trovano fra due antisse acchina devono essere approssiati, perché il calcolatore non li distingue È necessario ora calcolare i assii errori che si possono coettere con i due etodi di approssiazione Nel caso del troncaento, dato che tutte le antisse [ + β ) approssiate a, il assio errore coettiile risulta essere, sono < β Nel caso dell arrotondaento, invece, dato che tutte le antisse β, + β sono approssiate a, il assio errore coettiile risulta essere β

4 Stia dell errore assoluto Riassuendo i risultati fin qui ottenuti si ha, per quanto riguarda il troncaento, e < β, per quanto concerne, invece, l arrotondaento β e Dato che = β si ha (inorazione di ) e = β β e β quindi troncaento: arrotondaento: < ε e β β e ε β β Il terine β viene detto epsilon di acchina e viene indicato con eps t β Con il siolo ε si indica la precisione di acchina, ossia la assia precisione relativa di calcolo raggiungiile sul calcolatore Due quantità che differiscono eno della precisione di acchina sono considerate uguali, poiché il calcolatore non le distingue Non ha senso cercare di deterinare approssiazioni con precisione relativa inore di ε I nueri acchina possono essere rappresentati in doppia precisione singola precisione o in Singola precisione: it, di cui per il segno, 8 per la caratteristica e per la antissa ase : L = 7, U = 8 e eps = Doppia precisione: 64 it, di cui per il segno, per la caratteristica e 5 per la antissa ase : L 0, U = 04 e eps = 5 ase 0: L = 08, U = 08 e eps = 0 6 4

5 Operazioni di acchina la funzione di approssiazione Il risultato di un operazione di acchina è il risultato dell operazione eseguita sui nueri acchina a cui viene Definiao ( ) applicata ( ) Esepio: soa di acchina ( ( a) ( ) ) a = + Ogni operazione di acchina introduce un errore, prescindendo dagli errori delle approssiazioni di a e di, definito coe ( ) δ = NB: NON vale la proprietà associativa e NON esistono relazioni di operazione inversa fra soa/sottrazione e prodotto/divisione Inoltre se uno dei due terini su cui effettuare l operazione di acchina è nettaente più piccolo dell altro, è frequente che il suo contriuto venga perso Due espressioni si dicono equivalenti se i loro risultati distano fra loro di una quantità dello stesso ordine di grandezza di ε Cancellazione nuerica Consiste nel fenoeno della perdita di cifre significative in seguito all operazione di sottrazione fra due nueri olto vicini fra di loro Esepio: Siano ε = = = 0 5 Calcolo delle approssiazioni ( ) = ( ) =

6 Calcolo degli errori ( ) ( ) < ε < ε Operazione di acchina ( ) [ ( )] = Calcolo delle errore ( ) [ ( )] ( ) = 044 4% >> ε ( ) l errore relativo che si copie è decisaente troppo grande Coe si spiega questo fatto? Nel oento in cui aiao approssiato le antisse di e di sono state uttate via le cifre deciali oltre la sesta (nei liiti della precisione di acchina), quindi l incertezza si è concentrata sull ultia cifra riasta Applicando la sottrazione la cifra significativa con incertezza risale fino, al assio, alla pria cifra deciale In pratica si aplifica l errore di approssiazione Anche se avessio operato applicando l arrotondaento e non il troncaento, non avreo ottenuto risultati igliori: si ottiene, infatti, un errore relativo pari al %, ossia si ottiene un errore che continua ad essere dello stesso ordine di grandezza del risultato Perciò l errore non nasce dall operazione in sé, a dalle approssiazioni, opportunaente aplificate dalla sottrazione Per evitare il fenoeno di cancellazione nuerica, è necessario trovare altre vie per ottenere lo stesso risultato, ossia se è possiile utilizzare fore alternative per evitare la sottrazione di acchina è ene concentrarsi su quelle Esepio: Per h 0 ( + h) f ( ) f 0 0 f ( 0 ) (rapporto increentale) h 6

7 Quindi se h è olto piccolo si ha che f ( h) f ( ) e quindi si ricade nel caso precedente (cancellazione nuerica) Devo cercare odi alternativi per calcolare la edesia derivata pria Ipotizziao che sia f ( ) sin( ) = Applicando le forule di prostaferesi è possiile trasforare la differenza di seni in un prodotto di funzioni trigonoetriche: ( + h) sin( ) sin h h = cos sin h h in questo odo posso ottenere lo stesso risultato evitando la cancellazione nuerica, in quanto ho eliinato la sottrazione di acchina Stailità di un algorito e condizionaento di un prolea È necessario coprendere coe gli errori vengano aplificati e si propaghino dai dati al risultato di un prolea, in ase a coe è posto il prolea stesso e in ase all algorito utilizzato per risolverlo Un prolea si dice en posto se aette una e una sola soluzione In caso di soluzioni ultiple, ad esepio con le equazioni di grado superiore al prio, è necessario specificare quale delle soluzioni si sta cercando e calcolarne una alla volta Inoltre i risultati devono dipendere con continuità dai dati, ossia a piccole variazioni dei dati non devono corrispondere variazioni enori dei risultati Se il prolea non soddisfa queste richieste, allora non è en posto Ci occupereo solaente di prolei en posti Consideriao un generico prolea che ha un dato d e una relazione funzionale che lega il risultato al dato: = f ( d ) Noenclatura: δ d è una generica perturazione del dato in ingresso, ad esepio l errore di approssiazione dovuto alla eorizzazione dei nueri in un calcolatore; = f ( + δd ) è la soluzione esatta del prolea con ingresso d + δd ~ è la risposta dell algorito risolutivo al dato d + δd, generalente si ha che ~ Esepio: Risolvere l equazione lineare = 5 Supponiao di introdurre una perturazione sul terine noto, quindi il prolea diventa = 5 000; la soluzione è 5000 = =

8 Supponiao che, per qualche otivo, il calcolatore restituisca un nuero diverso Questo nuero è, ad esepio, ~ = 500 E si verifica che ~ Condizionaento È lo studio di coe il prolea reagisce alle perturazioni sui dato Cioè si vuole deterinare la variazione del risultato δ avendo in ingresso una perturazione δ d del dato Se un δ d piccolo dà δ piccoli, il prolea si dice en condizionato, altrienti (a δ d piccoli corrispondono δ grandi) si dice al condizionato Nuero di condizionaento È una costante oltiplicativa K che aplifica l errore sul risultato Essa può essere grande o piccola Un nuero di condizionaento grande iplica che una piccolissia perturazione sui dati diviene enore sui risultati (prolea al condizionato) Al contrario, un K piccolo significa che il prolea è en condizionato δ K δd d δ K δd d Nel prio caso la perturazione sui risultati può arrivare fino a K volte la perturazione sui dati; nel secondo caso, invece, la perturazione sui risultati è circa K volte la perturazione sui dati Esepio: soa di due terini Dati: d d = a = Relazione funzionale: = a + Dati perturati: a = a + δa = + δ 8

9 Risultato perturato: = + δ Relazione funzionale perturata: = a + Sostituendo: + δ = a + δa + + δ Poiché = a + si ottiene: δ = δa + δ Se ci si potesse ferare qui si potree dire che se δ a e δ sono piccoli, anche δ lo è Tuttavia isogna ancora inserire il nuero di condizionaento K = δ = δa + δ a + δa a + + δ a + = a a + δa a + a + δ Chiaiao K a = a a + e K = a + i due coefficienti di aplificazione rispettivaente degli errori su a e su Il nuero di condizionaento sarà il più grande fra i coefficienti di aplificazione: K = a ( K, K a ) Si nota che il prolea sarà sicuraente al condizionato se le due quantità a e sono olto siili e di segno opposto Infatti si verifica che se a + 0 allora K Stailità nuerica di un algorito Significa studiare coe l algorito aplifica gli errori Un algorito è nuericaente staile se gli errori sui risultati sono quasi dello stesso ordine di grandezza di ε In forule, un algorito è nuericaente staile se: ~ ε Una differenza di acchina, con cancellazione nuerica, è sicuraente un algorito instaile 9