Corso di Laurea in Matematica Analisi Numerica (1 mod., 6 crediti, 48 ore, a.a , lez.5)

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1 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Matematica Analisi Numerica ( mod., 6 crediti, 48 ore, a.a , lez.5)

2 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Schema di un problema numerico T=y relazioni y input output

3 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Classificazione di problemi numerici. Problemi diretti relazioni y si assegna assegnate si determina 3

4 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Schema di un problema numerico T=y relazioni y input output 4

5 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Classificazione di problemi numerici. Problemi di identificazione relazioni y assegnato si determina assegnato 5

6 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Classificazione di problemi numerici 3. Problemi inversi relazioni y si determina assegnate si assegna 6

7 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Notazione Analisi degli errori a >> b significa a molto più grande di b a b significa a approssimativamente uguale a b a-b indica l errore assoluto tra i valori a e b (a-b)/a indica l errore relativo tra i valori a e b 7

8 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Analisi degli errori Tipi di errore. Errori nel modello. Errori nei dati 3. Errori di arrotondamento e nei calcoli 4. Errori di troncamento Analisi Numerica 8

9 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Rappresentazione dei numeri nel Calcolatore Notazione posizionale 8754 (nel sistema decimale) è un modo compatto di scrivere In generale in base 0 si ha cifre N=d n d n- d 0 = d n 0 n + d n- 0 n- + + d

10 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Possono utilizzarsi altre basi: binaria ( simboli: 0, ) ottale (8 simboli: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7) esadecimale (6 simboli: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E, F ) Esistono algoritmi che operano la conversione da una base ad un altra 0

11 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 In una generica base > si ha per un numero N= (d n d n-,,d d 0 ) (d n d n-,,d d 0 ) = d n n + d n- n- + + d + d 0 0 cifre in base, comprese tra 0 e -

12 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Osservazione Conversione da binario ad esadecimale (0000) = (0) 6, (000) = () 6 (000) = () 6, (00) = (3) 6. (00) = (C) 6, (0) = (D) 6 (0) = (E) 6, () = (F) 6 binario esadecimale 000 F conversione

13 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Esempio di rappresentazioni di un numero in basi differenti base rappres. numero BB 6 F 3

14 Teorema Dato un numero reale 0 esso può esprimersi univocamente come con 3 sign( )( d d d3...). sign() = (>0) oppure sign()= - (<0). p numero intero 3. 0d i - Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 mmantissa p parteesponente 4. d 0 e le d i non tutte uguali a - a partire da un indice in poi 4

15 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Esempi 345 =+( )0 4 =+(.345) =+( )0 - =+(.45) =+(40 - )0-4 =+(.4)0-4 5

16 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Osservazione d è 0 perché in tal modo nel rappresentare il numero non si scrivono gli zeri per esempio =+(40 - ) =+(.4)

17 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Osservazione La condizione 4 serve per avere una rappresentazione univoca. Altrimenti le espressioni ( ) e ()0 9 ripetuto infinite volte rappresenterebbero lo stesso numero 7

18 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Osservazione 3 La mantissa m soddisfa la relazione m In conclusione un numero reale con 0 si può scrivere nella forma =(.d d d 3 ) p le cifre potrebbero essere infinite e si parla di rappresentazione normalizzata 8

19 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Numeri macchina o sistema floating point L insieme dei numeri reali è infinito e vi sono dei numeri con un numero infinito di cifre (numeri irrazionali). In un calcolatore che ha un numero finito di celle di memoria può rappresentarsi un sottoinsieme finito dei numeri reali. Inoltre i numeri reali con un numero di cifre grande o infinito saranno rappresentati mediante approssimazioni. 9

20 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Ogni calcolatore può avere il suo modo di rappresentare i numeri. Si individua comunque uno schema generale comune, chiamato sistema floating point o sistema in virgola mobile o insieme dei numeri macchina 0

21 (definizione) Un insieme di numeri macchina con t cifre significative, base e range (L,U) è l insieme dei numeri dato da t p F(, t, L, U) 0 R sign( ) di i con t, interi > 0 e 0 d i -, Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 i=,3, d 0, L p U, U>0, L<0 i

22 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Un numero reale ha la forma. d d d 3 p le cifre potrebbero essere infinite p non è limitato Un numero macchina ha la forma. d d d t p numero di cifre finito e uguale a t p è limitato

23 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Esempi di sistemi floating point in doppia precisione calcolatore t U+ L + Dec /780 Va IBM / Cray Honeywell DPS8 63 Sperry IEEE standard chip Hewlett Packard

24 4 Il numero (cardinalità) dei numeri in un sistema floting point è infatti ) )( ( t L U t i i i p d sign R L U t F ) ( 0 ),,, ( Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5

25 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Esempio di sistema floating point con =, t=3, L=, U= Il generico numero ha la forma 0.d d p a cifra 0 3 cifre per la mantissa parte esponente con -p 5

26 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 p 0 ( 0.d d ) F(,3,,) La cardinalità di tale sistema è +(++)()() I numeri sono: lo zero e ± ± ± ± 0. - ± ± ± ± 0. 0 ± 0.00 ± 0.0 ± 0.0 ± 0. ± 0.00 ± 0.0 ± 0.0 ± 0. 6

27 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 I valori positivi nella retta reale sono rappresentati da underflow overflow I numeri si distribuiscono uniformemente tra successive potenze di ovvero tra [ -, - ], [ -, 0 ], [ 0, ], [, ] 7

28 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Un sistema floating point più realistico è dato da =, t=4, U+ L +=56 In tal caso si potrebbe avere la rappresentazione su un calcolatore utilizzando 4 bytes (precisione semplice) caratteristica mantissa 8 bits 3 bits segno 8

29 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Come rappresentiamo un numero reale, >0, (. d d d...) 3 p rappresentazione normalizzata di su un calcolatore con sistema floating point F(,t,L,U)?. è tale che L p U e d i =0 per i > t; allora è un numero macchina rappresentabile esattamente 9

30 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5. L esponente p della rappresentazione di non appartiene all intervallo [L,U]. X non può essere rappresentato esattamente nel sistema floating point. Se p < L si parla di underflow ed viene approssimato con lo zero Se p > U si parla di overflow ed non può essere rappresentato in nessun modo 30

31 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 3. L esponente p della rappresentazione di appartiene all intervallo [L,U] ma le cifre d i, per i > t non sono tutte nulle. Allora viene approssimato da un numero del sistema floating F del calcolatore 3

32 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Approssimazione ad un numero floating point Sia un numero reale > 0 della forma con p[l,u] allora il numero macchina che lo approssima si indica con fl() con fl() dato da p (. d d d...) 3 troncamento, chopping p fl( ) tronc( ) d fl( ) arrotondamento, rounding p tronc( t i d i t i i i i t ) 3

33 fl Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Esempio Sia dato il numero =65.86 in base 0. =(.6586)0 3 (in forma normalizzata ) In caso di troncamento con t=4 si approssima con fl( ) tronc( ) (.65) 0 In caso di arrotondamento con t=4 si approssima con [ tronc( )] 0 (.653) 0 4 ( ) [ tronc( )]

34 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Osservazione Se d t+ < / troncamento ed approssimazione coincidono; per esempio con t=4 in entrambi i casi si ha = (.8564)0 3 Se d t+ / troncamento ed approssimazione differiscono (in valore assoluto) di p-t ; per esempio con t=4 = (.8564)0 3 (troncamento) = (.8565)0 3 (arrotondamento) differenza = = 0. 34

35 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Proposizione Sia un numero reale in base, ovvero p i Allora (se non si verifica overflow) si ha la valutazione dell errore con k= nel caso del troncamento e d 0, con k=0.5 nel caso dell arrotondamento i fl( ) i d t k p [ L, U]. 35

36 36 Dimostrazione nel caso dell arrotondamento Si ha Poiché d 0 e m, si ha p t fl ) ( t t p p t m m fl ) ( Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5

37 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 La quantità eps k t si chiama precisione macchina del sistema floating point. (proprietà) eps è il più piccolo numero macchina positivo tale che fl( eps) 37

38 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Come conoscere il valore eps di un sistema floating point? Algoritmo(precisione macchina) in pseudo-codice eps=. eps=eps+; while eps>, eps=0.5*eps; eps=eps+ end stampa la precisione macchina è: *eps 38

39 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.5 Algoritmo in FORTRAN(descritto nel libro di testo) EPS=. EPS=0.5*EPS EPS=EPS+ IF(EPS.GT.) GOTO EPS=.*EPS 39

40 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Matematica Analisi Numerica ( mod., 6 crediti, 48 ore, a.a , lez.6) 40

41 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Osservazione Quando si eseguono calcoli su un calcolatore è importante conoscere i parametri del suo sistema floating point, F(, t, L, U). In particolare si deve conoscere la precisione macchina eps k t In Matlab il valore eps è predefinito e vale eps = e-06 4

42 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6. eps dà la distanza tra ed il successivo numero macchina più grande non ci sono numeri macchina eps numero macchina successivo ad gli altri numeri macchina. eps è il più piccolo numero macchina positivo tale che fl( eps) 4

43 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Perché la somma di due numeri macchina a e b con a>> b può dare a? ovvero: a+b=a Esempio con =0 (sistema decimale) e t=4 a=4,56 = (.456) 0 b=0, = (.34) riduzione alla stessa parte esponenziale quella del numero maggiore somma e perdita delle cifre di b 43

44 La relazione Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 fl( ) k t eps Può riscriversi come fl( ) ( ) con eps perturbazione 44

45 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Le operazioni aritmetiche sul calcolatore (aritmetica floating point) Dato e y numeri macchina di un sistema floating point F(, t, L, U). Si ha +y y = fl(+y) -y y = fl(-y) y*y y = fl(*y) /y y = fl(/y) operazioni eseguite dal calcolatore operazioni (esatte) definite in matematica 45

46 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Osservazione Le operazione aritmetiche eseguite in un calcolatore sono approssimazioni delle operazioni definite in Matematica. Nell eseguire un operazione quale la somma tra due numeri reali a e b può aversi e un errore di rappresentazione di a e b; inoltre ad esso deve aggiungersi l errore introdotto nel fare la somma. 46

47 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Possiamo scrivere per e y numeri macchina y = (y)(+ ) con eps qualsiasi operazione aritmetica eseguita dal calcolatore Nel caso della somma operazione aritmetica corrispondente esatta y = float(+y) = (+y)(+ ) 47

48 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 ed anche y = float(+y) = ( + y)(+ )= (+ ) + y(+ ) somma nel calcolatore somma esatta a cui può darsi la seguente interpretazione la somma data dal calcolatore è la somma esatta di (+ ) e y(+ ) cioè il calcolatore dà la somma esatta non di e y ma di due valori modificati (perturbazioni di e y) 48

49 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Questo modo di operare viene usato per studiare gli errori che si commettono quando un algoritmo è implementato su di un calcolatore; viene chiamata analisi all indietro dell errore o backward analysis. Cioè a partire dai dati, il calcolatore, applicando un certo algoritmo, produce il risultato y affetto da errore. Il risultato y è interpretato come risultato esatto ottenuto a partire da + (dati perturbati) 49

50 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 In pratica avviene questo algoritmo y opera in aritmetica finita affetto da errore Noi con l analisi all indietro lo interpretiamo come + algoritmo y dati perturbati opera esattamente non affetto da errore 50

51 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Conclusione L aritmetica (finita) del calcolatore non coincide con l aritmetica (infinita) definita in Matematica Proprietà valide in Matematica possono non essere valide 5

52 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Esempi Dati i numeri a, b, c si deve calcolare a+b+c a= b= c= Si può operare in modi differenti (algorit.) (a b) c = = risultato esatto a+b+c= (algorit.) a (b c) = =

53 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 (esercitazione) La funzione y = può essere scritta anche nella forma y =(-) 6 Fare il grafico della funzione utilizzando le rappresentazioni. Ovvero nella stessa figura fare il grafico di y e y nell intervallo [0.994,.006]. 53

54 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Come operano i programmi che tracciano il grafico di una funzione di una variabile? A partire da una tabulazione ( i, y i ), i=,,n uniscono con una curva i punti riportati in un sistema di assi cartesiani 54

55 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 I punti sono pochi: il grafico non è soddisfacente

56 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 I punti sono sufficienti: il grafico è accettabile

57 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 I grafici di y = e y =(-)

58 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 I grafici di y = e y =(-)

59 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 I grafici di y = e y =(-)

60 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Problema ben posto (definizione) Un problema si dice ben posto (Hadamard) quando ammette una ed una sola soluzione e questa dipende con continuità dai dati 60

61 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Problema ben posto dati del problema soluzione del problema relazioni y ad ogni corrisponde uno ed un solo y dipende con continuità al variare di 6

62 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Condizionamento di un problema Consideriamo un problema in cui si abbia (dati input) f() (soluzione esatta),, f()r Si debba operare a partire dai dati ma per errori dovuti alla raccolta dei dati si operi a partire da + La soluzione esatta sarà ora f(+) (al posto di f()). L errore assoluto sarà f()-f(+) e quello relativo f f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) 0 Il termine f in input è chiamato errore inerente dovuto all errore sui dati 6

63 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 L errore inerente viene posto in relazione con l errore relativo in input, 0 In tal modo si può analizzare il problema in termini generali e valutare, come al variare dei dati in input varia la soluzione esatta. 63

64 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 La quantità C sup f sup f ( ) f f ( ( ) ), 0 è detta numero di condizionamento del problema nel punto. Si ha per qualsiasi incremento f C Se C è piccolo, allora il problema è ben condizionato 64

65 65 Esempio Si debba calcolare Posto si ha Trascurando i termini di ordine superiore al primo (si assume << ), si ottiene ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ ( ˆ) f f f f f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ˆ) f ) ( ) ( ˆ Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6

66 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Poiché lim, il problema di valutare f ( ) è mal condizionato per valori in input in intorni del punto. Altro esempio: f ( ) Con calcoli analoghi si ottiene f ( ˆ) f ( ) In tal caso il problema f 3 f ( ) è ben condizionato. 3 66

67 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Problema ben condizionato (definizione) Un problema si dice ben condizionato quando è ben posto e la sua soluzione non varia di molto al variare dei dati soluzione del problema relazioni y dati del problema non varia di molto al variare dei dati 67

68 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Algoritmo Insieme di operazioni che permettono di risolvere un problema numerico algoritmo y 68

69 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Il problema dello studio dell attendibilità delle soluzioni date da un algoritmo è di grande importanza in Analisi Numerica. Tale studio è difficile e solo in casi particolari si riesce a dare delle indicazioni utili; esistono varie tecniche: le principali sono Analisi in avanti (forward analysis) Analisi all indietro (backward analysis) Aritmetica dell intervallo Analisi statistica 69

70 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Analisi in avanti dell errore algoritmico Con l analisi in avanti, si valuta ad ogni operazione eseguita dall algoritmo l errore commesso, ricordando che per ogni operazione al calcolatore si ha y=(y)(+ ) con eps. 70

71 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Esempio Si debba valutare l errore algoritmico che si ottiene eseguendo al calcolatore f ( ) 5 Si assume che i valori in input siano numeri macchina 7

72 Le operazioni dell algoritmo nel calcolare -5 sono z si ottiene z Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 z ; z 5; z3 z. z fl( ); z fl(5); z3 fl( z ). Ricordando la relazione fondamentale dei calcoli in aritmetica di macchina, ed effettuando i calcoli in prima approssimazione, ossia trascurando gli ordini superiori al primo, si ottiene: 7

73 73 Tramite questo sviluppo al prim ordine siamo in grado di valutare l errore algoritmico ) )( 5 5 ( ) ))( ( 5 ) ( ( )) ( 5 ) ( ( )) (5 ) ( ( fl fl fl fl z Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6

74 74 L algoritmo è instabile poichè per tendente a 5, l errore algoritmico cresce in maniera non limitata ) ( ) ( )) (5 ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( f f fl fl fl f f f fl ALG Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6

75 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Consideriamo, per la stessa funzione f() l algoritmo seguente f ( ) ( 5) Consideriamo ogni passo dell algoritmo: z z 5; z. Al calcolatore si ottiene z z fl( 5); z fl( ). 75

76 76 L errore algoritmico risulta essere L algoritmo è stabile. 5) ( 5) ( ) 5)( ( ) ( ) ( 5)) ( ( ) ( ) ( )) ( ( f f fl fl f f f fl ALG ) 5)( ( ) ))( 5)( ( ( 5)) ( ( fl fl z Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6

77 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Analisi all indietro dell errore algoritmico Insieme di problemi da risolvere ottenuti perturbando i dati P P b soluzione esatta y problema la cui soluzione esatta è y soluzione calcolata dall algoritmo 77

78 Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Algoritmo stabile (definizione qualitativa) Un algoritmo si dice stabile quando nella sua applicazione gli errori di arrotondamento non vengono amplificati eccessivamente 78

79 Possiamo avere Analisi Numerica mod. a.a , Lezione n.6 Un problema può essere ben condizionato per certi dati ma non per altri Un problema può essere ben condizionato ma se lo risolviamo con un algoritmo non stabile le soluzioni ottenute possono non essere attendibili In Analisi Numerica in generale si riesce a trovare la soluzione di problemi ben condizionati se si dispone di algoritmi stabili 79