CORSO DI Analisi Numerica

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1 CORSO DI Analisi Numerica Alessandro Iafrati CONTATTI Posta Elettronica: Telefono: 06/ A breve sarà disponibile un sito web sulla pagina del Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici.

2 OBIETTIVI DEL CORSO Attraverso ipotesi semplificative ed astrazioni dei fenomeni fisici, molti dei problemi di fisica, economia, etc., vengono ricondotti a problemi matematici La soluzione analitica (ESATTA) di questi problemi è oggetto dei corsi di Analisi. Esistono tuttavia molti problemi che sono eccessivamente complessi per essere risolti in modo analitico Obiettivo del corso è fornire alcuni strumenti e tecniche necessarie per la soluzione APPROSSIMATA dei problemi matematici così ottenuti. I risultati sono utilizzabili se e solo se si ha una stima di questi errori.

3 OBIETTIVI DEL CORSO Gli errori vengono introdotti a tutti gli stadi del processo di modellizzazione: astrazione (passaggio dal problema fisico alla sua formulazione matematica) semplificazione (es. uniformità ed omogeneità di proprietà fisiche) soluzione numerica (discretizzazione, approssimazione,...). In questo corso prenderemo in esame solo quelli legati alla soluzione numerica del problema.

4 METODI NUMERICI, ALGORITMI E LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE Metodo Numerico: procedura utilizzata per la soluzione del problema matematico. Lo stesso problema può essere risolto con diversi Metodi Numerici Algoritmo: sequenza delle operazioni logiche ed aritmetiche che consentano di ottenere la soluzione X a partire dai dati di ingresso del problema Y. Lo stesso metodo numerico può essere risolto con diversi Algoritmi Linguaggio di Programmazione: è il mezzo attraverso il quale l algoritmo di soluzione viene fatto risolvere dal calcolatore. Esempi sono: FORTRAN, MATLAB, C++,...

5 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI Qualunque intero b > 1 può essere usato come Base di un sistema di numerazione. Fissata la base b il numero x è rappresentato dalla serie di cifre c n c n 1 c n 2... c 1 c 0.c 1 c 2 c 3... tali che x = b n k=0 c n k b k (0 c k b 1) Si dimostra che ogni x IR\{0} ha unica rappresentazione x = sng(x) b q k=1 γ k b k = sng(x) p b q con q Z, 0 γ k b 1, eccetto il caso in cui γ k = b 1 k > m. In questa forma p e q sono mantissa e caratteristica di x.

6 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI In base 10 (più comune) x = 1/130 è rappresentabile come x = o x = questa seconda forma, detta normalizzata, ha meno cifre dell altra Nei calcolatori, per motivi tecnologici, si usa il sistema binario, ovvero in base 2 (es. 0.1 diventa ). Questo significa che uno stesso numero necessita di molte cifre. Il numero di cifre utilizzabili è limitato e quindi per il generico numero x viene memorizzato attraverso un troncamento o arrotondamento alla t esima cifra.

7 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI Troncamento t = tr(x) = sng(x) b q t k=1 γ k b k Arrotondamento y = rd(x) = { tr(x), se 0 γt+1 < b/2 tr(x) + sng(x) b q t, se b/2 γ t+1 < b

8 TIPOLOGIE DI ERRORE Errori Inerenti: commessi nella fase di astrazione/semplificazione (es. assenza di attrito, omogeneità di proprietà fisiche...) Errori di Troncamento: caso tipico è quello in cui una somma parziale in luogo di una serie (convergente). Questo è un errore classico commesso nella fase di discretizzazione del problema (continuo nella realtà). Errori di Arrotondamento: connessi alla necessità di operare con un numero limitato di cifre. Errore Assoluto: ε = x x, Errore Relativo: ε r = ε/x

9 TIPOLOGIE DI ERRORE Se x è in forma normalizzata e fl(x) è il valore ottenuto da troncamento o arrotondamento, si dimostra che ε = fl(x) x kb q t ; ε r fl(x) x x kb1 t con k = 1 se fl(x) = tr(x) e k = 1/2 se fl(x) = rd(x) ε M = kb 1 t è detto Precisione Macchina. È la più piccola quantità (> 0) tale che fl(1 + ε M ) > 1. Se ε 1/2b k allora x ha k decimali esatti. Le cifre prima del (k + 1) esimo decimale sono dette significative. Es. se x = ha 5 decimali esatti e 3 cifre significative.

10 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Al fine di conoscere l errore finale sui dati, è importante conoscere come si propaga l errore nell esecuzione delle operazioni Data la funzione Y = f(x) si vuole stimare l errore indotto sulla soluzione ( Y Y ) dall errore sulla x ( x x = ε ) Sviluppando in serie di Taylor la f(x ) nell intorno di x, si ha f(x ) f(x)+f x (x) (x x) +O( x 2 ) Y f }{{} x (x) ε ε Se Y dipende da più variabili Y f x1 (X) ε 1 + f x2 (X) ε f xn (X) ε n

11 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI A SEGUITO DI OPERAZIONI Somma algebrica: Y = x 1 ± x 2, Y = x 1 ± x 2. Poiché i termini di ordine superiore sono nulli gli errori si sommano algebricamente ε = Y Y = ε 1 ± ε 2 ε 1 + ε 2 Prodotto: posto f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, allora x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 ε 1 + f x2 ε 2 = x 2 ε 1 + x 1 ε 2 x 2 ε 1 + x 1 ε 2 Quoziente: posto f(x 1, x 2 ) = x 1 /x 2 allora x 1 x 2 x 1 x 2 ε 1 x 2 x 1ε 2 x 2 2

12 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: cancellazione numerica Y Y ε 1 + ε 2 Sottrazione: ε r = Y la differenza di due numeri molto vicini può produrre una grande amplificazione x 1 x 2 dell errore Esempio 1.4.1: Dati x 1 = con ε , e x 2 = con ε Y = x 1 x 2 = Y Y = 1

13 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: cancellazione numerica La cancellazione numerica si può evitare: Esempio 1.4.2: Radici x 1, x 2 dell equazione x 2 2ax+b = 0, a > 0. Se a b allora x 2 = a a 2 b a a = 0. Eseguendo i calcoli con 7 cifre significative si ha: x 2 = (2) = In corrispondenza di questo valore si ha che x 2 2 2ax 2 + b = (!!!). D altra parte x 1 x 2 = b x 2 = b = a + a 2 b = in corrispondenza del quale x 2 2 2ax 2 + b =

14 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Esempio: le funzioni f 1 = (x 1) 7 e f 2 = x 7 7x x 5 35x x 3 21x 2 + 7x 1 rappresentano la stessa funzione. Proviamo a diagrammarle nel tratto x (0.9998, ) usando un programma qualunque con 15 cifre significative (es. Matlab) e26 f1 0 1.e14 f x x Errore dovuto a operazioni con numeri di ordine molto differente

15 CONDIZIONAMENTO Il rapporto tra errore relativo sulla soluzione e l errore relativo sui dati di partenza è detto numero di Condizionamento. Indica la dipendenza della soluzione dalla accuratezza dei dati in ingresso. Per una sola variabile, E d := f(x) f(x ) = f x (x) x + T. Trascurando termini di ordine superiore (T), assumendo Y 0, si ha Y Y f x(x)x f(x ) e d := f x (x)x f(x ) x x = C P x dove C P =. In più variabili si hanno diversi coefficienti di amplificazione c i per ogni variabile e si può assumere C P = max c i. x

16 CONDIZIONAMENTO Esempio 1.5.1: Dato il sistema lineare (α 2 1) { y + αz = 1 y = 1 αy + z = 0 1 α 2 z = α 1 α 2 Posto y = f(α) e z = g(α), si ha: C y = e C z = g (α)α z = 1+α 2 1 α 2 malcondizionato intorno ad α 1. f (α)α y = 2α 2 1 α 2 si vede che il problema è fortemente Attenzione: il malcondizionamento è legato al problema stesso e all intervallo considerato per i dati. Non dipende dal metodo di soluzione (analitico in questo caso).

17 STABILITÀ Oltre alla tendenza del problema a propagare gli errori sui dati, esiste una importante fonte di errore che dipende dall algoritmo impiegato nella soluzione numerica A causa degli errori di arrotondamento, il calcolo fornisce una soluzione f a (X) e l errore associato è E f = f a (X) f(x ) = f a (X) f(x) + f(x) f(x ) = E a + E d. E d è l errore sui dati ed è già stato introdotto mentre E a è legato all algoritmo Si parla di Stabilità o di Instabilità numerica intendendo che gli errori assoluti sui dati non sono (o sono) amplificati durante lo sviluppo dell algoritmo

18 STABILITÀ Esempio Dato l integrale 1 I n = 1 e 0 xn e x dx, n 1 l integrazione per parti fornisce I n = 1 ni n 1 e proseguendo I n = 1+ n 1 k=1 ( 1)k n(n 1)(n 2)... (n k+1)+( 1) n n!i 0 Se I 0 = 1 1/e si assume come dato, l integrale I n può essere espresso come I n = f(i 0 ) e quindi, assumendo ε 0 = 10 10, ε n = f (I 0 ) I 0 = ( 1) n n!ε 0 ε ε 15 =

19 STABILITÀ Y X F1 F2 F3 Poiché I 0 = e lim n I n = 0 si vede che l errore iniziale su I 0 (alquanto piccolo!!) provoca errori enormi sulla soluzione finale. L algoritmo è quindi Instabile D altra parte, se lim n I n = 0, si può usare una formula inversa: I n 1 = (1 I n )/n che, per un dato errore iniziale su I n provoca una riduzione ad ogni passo successivo.

20 STABILITÀ Ad esempio per valutare I 7 si può assumere I 10 = 0 da cui segue I 9 = 0.1, I 8 = 0.1, I 7 = e proseguendo si ha I 0 = , che è una buona approssimazione del valore esatto I 0 = 1 1/e. Per avere una stima più accurata, si può assumere I 15 = 0 da cui si ottiene I Volendo si può procedere in questo modo fino ad ottenere convergenza al numero di cifre desiderato.