Numeri reali. Un numero reale X può essere espresso nella forma. X = f x 10 E. X = 0,314 x 10 1

Transcript

1 Numeri reali Sistema in virgola mobile (floating point) Un numero reale X può essere espresso nella forma X = f x 10 E dove, f è detta mantissa, E esponente X = 0,314 x 10 1 Fissato X, la virgola si sposta a sinistra (destra) se E aumenta (diminuisce) X = 3,14 x 10 0 = 0,314 x 10 1 =0,0314 x 10 2 Per evitare ambiguità si dovrà definire una forma normalizzata

2 Caratteristiche Ammettiamo di disporre di p = 3 cifre decimali per esprimere f (0< f <1) k=2 per E. Inoltre usiamo i segni + e f [0,10..0,999]; E [0..99] Calcolatori Elettronici, Beraldi, aa 03/04 Caratteristiche L insieme S dei valori rappresentabili ha le seguenti proprietà E simmetrico rispetto allo 0 Esiste un valore minimo diverso da 0 (0,1 x ) Il tentativo di esprimere un valore X >0, ma minore di 0,1 x produce underflow Esiste un valore massimo (0,99 x ) Il tentativo di esprimere un valore n maggiore di 0,999 x produce overflow Perdita della proprietà del continuo x,y R (x+y)/2 R Ciò non è vero in S (approssimazione) Calcolatori Elettronici, Beraldi, aa 03/04

3 Approssimazione Errore assoluto In generale è impossibile rappresentare con esattezza tutti i valori reali disponendo di un numero finito di cifre ed impiegando il sistema posizionale Numeri irrazionali (π) Periodici (1/3 = 0,33..) Indichiamo con X il valore esatto e con x il valore approssimato X = 1/3 x =0,33 Si definisce errore assoluto, EA, la differenza fra x ed X EA = X-x ( EA = X-x ) E una prima misura della bontà dell approssimazione Approssimazione Errore assoluto Consideriamo un valore X e supponiamo di poter disporre di p cifre Qual e il l errore assoluto massimo che si può commettere? Per esempio (base B=10) X = con p=4 Due possibilità x= EA= x= EA= Il punto è che non siamo in grado di esprimere il valore denotato dalle cifre nelle posizioni p+1,p+2,.. Nell esempio, il valore

4 La Approssimazione Errore assoluto Il valore massimo denotato dall allineamento 0,00..0c p+1 c p+2, vale al più 10 -p (ed in generale B -p, B base del sistema di numerazione) Poiché si perde al più un valore pari a 10 -p, è sufficiente agire sulla cifra in posizione p, c p, (dopo la virgola) Approssimazione Errore assoluto Approssimazione mediante arrotondamento: cifra c p è cosi determinata c p =c p, se valore di c p+1 c p+2... è < 0.5 x 10 -p c p =c p +1, se il valore di c p+1 c p+2... > 0.5 x 10 -p Se il valore c p+1 c p+2 è pari a 0.5 ci sono 2 alternative L errore assoluto vale al più 0,5 x 10 -p (ed in generale 0,5 x B -p ) Nota che aumentare la cifra in posizione p può portare ad una modifica delle cifre nelle posizioni precedenti (p-1,p-2,..) 0, ,5680

5 Calcolare l errore assoluto che si commette rappresentando il valore X= mediante arrotondamento con p=3 cifre significative Si ha X = x = EA = < 0,5 x 10-3 = 0,0005 Approssimazione Errore assoluto Approssimazione mediante troncamento: c p =c p L errore assoluto vale al più 10 -p (ed in generale B -p )

6 0.001 EA EA x 1 = X x 1 = x 1 = X x 1 = Calcolare l errore assoluto che si commette rappresentando il valore X=( ) 2 mediante troncamento o arrotondamento e p=3 cifre significative Valore massimo errore assoluto = 0.5 x 2-3 = 2-4 = 1/16 Troncamento x = x = EA = ( ) 2 = ( ) 2 = ( ) 10 = 1/16 + 1/32 = 3/32 Arrotondamento x=0.110 EA = ( ) 2 = (110000) 2 x 2-5 (10111) 2 x 2-5 = (24 23)/32 = 1/32 < 1/16

7 Errore relativo Si definisce errore relativo il rapporto ER = (X-x)/x = EA/x, con x 0. Si impiega x al denominatore perché di solito si dispone del valore approssimato X = x(1+er) Perché è utile introdurre tale misura? Un errore di 1 cm su una misurazione di 10 m è diverso che un errore di 1 cm su una misura di Km! E legato alla nozione intuitiva di precisione Errore relativo Consideriamo i valori espressi x = c.f x 10 E Dove c è una cifra diversa da 0 Esempi x 10 2 ok x 10 4 ok x 10 2 no! Ammettiamo di disporre di p>1 cifre significative per rappresentare la parte frazionaria della mantissa, 0 F<1 Qual e l errore relativo massimo che si può commettere? ER=EA/x max{er}=max{ea}/min{x}

8 Errore relativo e precisione Calcoliamo l errore assoluto massimo Consideriamo due valori consecutivi (assumiamo esponente invariato) x1= F x 10 E x2 = (F+10 -p )x 10 E L errore massimo si commette quando X cade a metà fra x1 ed x2. max{ea}=(x2-x1)/2 =(0,5x10 -p )x 10 E Il valore minino di x vale min{x}=1 x 10 E L errore relativo vale al più ER max = (0,5x10 -p )x 10 E / 10 E = 0,5x10 -p = 2-1 x10 -p Nel caso di base B=2 ER max = 2 -p-1 IEEE Floating Point 754 Nozioni di base Standard IEEE 754 Introdotto nel 1985 come standard per aritmetica in virgola mobile per consentire portabilità dei programmi Praticamente supportato da tutte le CPU Necessità per calcoli numerici Standard per rounding, overflow, underflow Formato base Precisione singola (32 bit) Precisione doppia (64 bit) Formato esteso Precisione singola estesa ( 44 bit) Precisione doppia estesa ( 80 bit)

9 IEEE Floating Point 754 Formati Esistono due forme: forma normalizzata e forma denormalizzata Forma normalizzata: (-1) s x 1.F x 2 EXP-Bias s è il bit di segno Il primo bit della mantissa è sempre 1, e non è rappresentato (bit implicito) F={0,,111..1} Il valore 1.F è detto anche significando L esponente E è dato in forma polarizzata, ossia si memorizza EXP=E+Bias (Bias è la costante di polarizzazione) Forma denormalizzata: (-1) s x F x 2 Emin Un numero è quindi espresso mediante la tripla di valori <S,F,EXP> Un valore di EXP=0 indica che il numero è in forma denormalizzata Alcuni parametri Elemento Numero bit di segno Numero bit esponente Numero bit della frazione F Numero di bit, totale Rappr. Esponente Intervallo esponente Singola Precisione Eccesso Doppia Precisione Eccesso

10 Formati Singola Precisione (32 bit) S EXP F Doppia Precisione (64 bit) S EXP F F Lunghezza campi: 1,8,23 Lunghezza campi: 1,11,52 Configurazioni (1.F) x 2 EXP-Bias F x 2 Emin ± 0 ± NaN

11 Rappresentare in singola precisione il valore X=28,125 Parte Intera 28 = Parte Frazionaria 0,125 = 1/8 0,001 X=11100,001 Trasformiamolo in formato IEEE 754 SP Segno = 0 X = 1, x 2 4 f = EXP=127+4 = 131 = X = = 0x41E10000 Calcolare il valore massimo, X max, esprimibile in SP EXP=254 il valore 255=( ) 2 è riservato F=(111 1) 2, (23 bit) X max = (1.11 1) 2 x = ( ) x x Calcolare il valore minimo X min che può essere espresso in SP EXP=1 (il valore 0 è riservato) F=0 0 X min = ( ) 2 x = x 10-38

12 Range dei valori (normalizzati) Singola precisione 32 bit: 1 Segno, 8 Esponente, p=23 per F -(1+[ ]) x x x x10 38 Doppia precisione 64 bit: 1 Segno, 11 Esponente, p=52 per F -(1 + [ ]) x x x x La stringa esadecimale 0x e un numero in formato IEEE.754. Calcolarne il valore Bit segno = 0 numero positivo Esponente = bit (30:23)-127=( ) = = 45 Mantissa = 1.bit(22:0) = (1.111) 2 = Risultato = x 2 45

13 La stringa esadecimale 0x e un numero in formato IEEE.754. Calcolarne il valore. Segno = bit (31) = 1 = - Esponente= bit(30:23) -127 = = = -126 Mantissa = 1. bit(22:0) = Risultato = x (= x ) Rappresentare il valore 1 in singola precisione IEEE bit mantissa (parte frazionaria F), 1 segno (S) 8 esponente (EXP) Forma normalizzata: => s=1, f=0, EXP-127=0 (EXP=127) s=0, EXP=127=( ) 2, F=0 = (000..0) 2, s exp F x 3 F F/80/00/00