Lezione 2. Rappresentazione dell informazione

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1 Architetture dei calcolatori e delle reti Lezione 2 Rappresentazione dell informazione A. Borghese, F. Pedersini Dip. Informatica (DI) Uniersità degli Studi di Milano 1 Rappresentazione dell informazione Definizione di rappresentazione di informazione: Corrispondenza tra informazione I e parola P(I) composta da cifre a i di un alfabeto A di simboli ALFABETO A = {a i }: insieme dei simboli per la rappresentazione Esempi: {A Z} ; {0 9} ; {0, 1} Ø I simboli dell alfabeto possono essere di aria natura (segni su carta, suoni, lielli di tensione, fori su carta, segnali di fumo ) Ø I " P(I) = { a i }, a i A Diersi alfabeti possono essere usati per rappresentare la stessa informazione S = { 0 9} S = { 0,1} S = { a z} enti Informazione (quantità) esempi di rappresentazione dell informazione 2

2 Click Capacità to edit rappresentazione Master title style Dato un alfabeto S={s 1, s 2,... s N } composto da N simboli, quante informazioni dierse (quanta informazione) riesco a rappresentare con una sequenza di k cifre di questo alfabeto? C = N k C: capacità di rappresentazione Quanti oggetti posso rappresentare con k bit? S={0,1} è N=2 è C = (2 x 2 x 2 x 2) è C = 2 k oggetti Quanti oggetti posso rappresentare con k cifre decimali? C = (10 x 10 x 10 x 10) è C = 10 k oggetti Problema inerso: Date C informazioni dierse, quante cifre dell alfabeto S (di N simboli) mi serono per poterle rappresentare tutte? k = log N C k intero è k = sup( log N C ) Quanti bit mi serono per rappresentare C oggetti diersi? Es: C = 21: (A,B,,Z) 2 4 = 16 < 21 < 32 = 2 5 à 5 bit 3 Click Numerazione to edit Master title style Se l informazione da rappresentare è una quantità, allora la rappresentazione è detta numerazione Gli N elementi della base rappresentano: quantità elementari B = {s 0, s 1,..., s N 1 } è quantità: 0, 1,..., N 1 Numerazione DECIMALE Ø B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Base=10 Numerazione ESADECIMALE Ø B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Base=16 Numerazione BINARIA: Ø B = {0, 1} Base=2 Numerazione OTTALE: Ø B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Base=8 4

3 Click Sistemi to di edit numerazione Master title style Un sistema di numerazione consiste di: una base B di N elementi, rappresentanti le quantità elementari una regola di associazione: parola ßà quantità Sistema di numerazione a conteggio Ø Ogni cifra rappresenta sempre lo stessa quantità (quella elementare) es: numerazione romana: I, V, X, L, C, D, M quantità elementari: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 Ø Regola di associazione: somma delle quantità ( ) E : c k c k 1 c 0 E = al c k k i=0 5 Click Numerazione to edit posizionale Master title style Sistema di numerazione a conteggio Ø Ogni cifra rappresenta sempre lo stessa quantità (quella elementare) Ø es: numerazione romana: I, V, X, L, C, D, M (di alori: 1, 5, 10,50,100,500,1000) E : c k c k 1 c 0 E = al c k Sistema di numerazione posizionale Ø In un numero a più cifre, ogni cifra rappresenta una quantità diersa, a seconda della sua posizione k i=0 ( ) Ø Valore della cifra = quantità elementare x peso(posizione) es: la cifra 1 ha un alore dierso nelle parole 100 e 1000 k E : c k c k 1 c 0 E = al( c i ) b i, b i = N i i=0 Peso: b i 6

4 Codifica posizionale di un numero In numerazione, un alfabeto di N elementi è detto BASE: Base N: B N = { b 0, b 1, b 2,, b N-1 } rappresentante i alori: { 0, 1, 2,..., N 1 } Ciascun numero E, può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base: E : c k c k 1 c 0 E = al( c i ) b i, b i = N i b k sono i PESI delle cifre, di alore: b k = N k Esempi di basi e pesi di numerazione: base 2: B 2 = {0,1} alori: {0,1} pesi: { 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, } base 10: B 10 = {0, 1,..., 9} alori: {0...9} pesi: { 100, 10, 1, 0.1, 0.01, } base 3: B 3 = { }, alori: {0,1,2} pesi: { 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, } k i=0 Esempi: = ; = = Conersione base 10 base N Algoritmo di conersione di un numero x in base 10 in base N: Ø i = 0 Ø Diido (di. intera) il numero x per N Ø Resto della diisione: cifra i-esima in base N Ø i = i+1 Ø Quoziente della diisione è x si prosegue fino a che il quoziente x = 0 (l ultimo resto è la cifra più significatia del numero in base N) 8

5 Conersione base 10 base 2 Esempio: ogliamo rappresentare in base 2: 1492 = 2 x ß Bit meno significatio 746 = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x senso di lettura 1 = 2 x ß Bit più significatio = Conersione: base n base 10 Conersione da base N a base 10 Semplice applicazione della formula di codifica posizionale: Es. numero a k cifre, in base n: E =<c k 1 c k 2... c 0 > b i = n i si trasforma in base 10 calcolando E con la formula: k 1 E = c i b i = c i n i, n =10 i= 0 Esempio: = 1x x x x x x x x x x x2 0 = k 1 i= =

6 Click Esercizi to edit Master title style Dati i numeri decimali: , 2453, 11101, si trasformino in base 3, in base 7, in base 2 Conertire in base 10 i numeri: , , , Data la base: B = { }: - conertire in tale base il numero: conertire in decimale il numero: 11 Codifica esadecimale Codifica esadecimale: base 16 molto utilizzata in alternatia alla codifica binaria 16 simboli: S 16 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Valori: Notazioni comunemente utilizzate: 9F 16, 0x9F, 9Fhex Perché base 16? 16 = 2 4 è 1 cifra esadecimale = 4 bit 4 cifre binarie tradotte in 1 cifra esadecimale A/10 B/11 C/12 D/13 E/14 F/

7 Conersione binario esadecimale Esempi: conersione di due in esadecimale: Ø 1011 due B hex Ø 110 due 6 hex (iene aggiunto un leading 0) Ø due 6B hex conersione da esadecimale a binario Ogni cifra esadecimale conertita in un numero binario di 4 cifre: Ø 9F hex A/10 B/11 C/12 D/13 E/14 F/ Rappresentazione binaria di numeri negatii Codifica a modulo e segno: il primo bit indica il segno, il resto il numero in modulo. Codifica in complemento a 1: il numero negatio si ottiene cambiando 0 con 1 e iceersa. Santaggi: Ø Ridondanti: doppia codifica per lo 0 Ø Scomode per calcolo automatico Codifica in complemento a 2: il numero negatio si ottiene cambiando 0 con 1 e sommando 1. Modulo e segno dec bin Compl. a 1 dec bin Compl. a 2 dec bin

8 Click Complemento edit Master a 2 title style Notazione in complemento a 2 Regola di costruzione su N bit: Dato numero E compreso nel range: 2 N 1 E +2 N 1 1 Se E 0 è codifico: E Se E<0 è codifico: E C2 = 2 N + E Proprietà: Il bit più significatio (MSB) corrisponde al segno Comoda inersione di segno 1. inerto tutti i bit 2. aggiungo 1 Comodo per calcolo automatico: sottrazione fatta come somma. A B = A + ( B) N = E codifica alore Click Sottrazione to edit fra Master interi title style Sfruttando la rappresentazione dei numeri negatii, gestisco la sottrazione come una somma: A B = A + ( B) Esempio: = 11 + ( 13) Rappresentandoli in complemento a 2: à à Vantaggio della rappresentazione in complemento a 2: la somma torna anche con i numeri negatii è posso fare somma e differenza con lo stesso procedimento, quindi con lo stesso circuito! 1 1 ß riporti = à

9 Click Complemento edit Master a 2 title style Rappresentazione grafica della notazione in complemento a 2: Rappresentazione su un cerchio + + : senso orario : senso antiorario I calcoli sono corretti se non si oltrepassa la linea rossa: oerflow Esempio: N = 4 à 8 E Capacità di rappresentazione interi In sintesi, quindi: rappresentazione di numeri interi in un elaboratore: N bit à 2 N alori rappresentabili Interi unsigned (senza segno) à rappr. come numeri binari naturali Da 0 (00 0) a 2 N 1 (111 1) Interi signed (con segno) à rappresentati in complemento a 2 Da 2 N-1 (100 0) a 2 N-1 1 (011 1) Standard C/C++: int impiega 4 byte (32 bit) è N=32 (signed) int: 2 31 ( ) E ( ) unsigned int: 0 E ( ) 18

10 Rappresentazione binaria di numeri frazionari Conersione di un numero frazionario: x,y da base 10 a base N: x,y = x + 0,y Per la parte intera x à edi algoritmo precedente Per la parte frazionaria 0,y: Ø i = 1 Ø Moltiplico 0, y per N Ø Parte intera: cifra decimale i-esima in base N Ø i = i+1 Ø Parte frazionaria è 0,y Ø Si prosegue fino a che y = 0 Esempio: 3,14 = 3 + 0,14 parte intera parte frazionaria Problema: potrebbe non finire mai! 19 Conersione dei numeri decimali Esempio: conersione base 10 à base 2 Esempio: 10,75 10 = 1010,11 2 Esempio: 10,76 10 = 1010, : 2 = 5, 0 5 : 2 = 2, 1 2 : 2 = 1, 0 1 : 2 = 0, , (parte intera) 0,75 x 2 = ,5 x 2 = 1.0 1,11 (parte frazionaria) 0,76 x 2 = ,52 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = ? Errori di approssimazione: arrotondamento, troncamento., errore =

11 Rappresentazione di numeri decimali Dato un certo numero di cifre N (finito) per codificare il numero decimale, esistono due tipi di codifiche possibili: Virgola fissa (fixed point): lascio la irgola do è date N cifre, le diido tra parte intera e parte frazionaria N cifre p. intera, p. frazionaria Esempio: N=8 cifre decimali à 4 p. intera 4 p. frazionaria CAPACITÀ: MIN: 0,0001 MAX: 9999,9999 RISOLUZIONE: ΔE = 0,0001 costante! Capacità: 9 ordini di grandezza. Risoluzione insufficiente per numeri piccoli, ma esagerata per numeri grandi 21 Rappresentazione di numeri decimali Virgola mobile (floating point): sposto la irgola doe mi fa più comodo (es. 0,xxxxxx) utilizzando la rappresentazione normalizzata (mantissa + esponente) 127,35 = 0,12735 x 10 3 mantissa date N cifre, le diido tra mantissa ed esponente N cifre esponente mantissa esp. Esempio: N=8 cifre decimali à 6 mantissa 2 esponente CAPACITÀ: Min: 0, Max: 0, RISOLUZIONE: ΔE = 0, ESP aria con l esponente Capacità molto maggiore che in irgola fissa (100 ord. grandezza) La risoluzione è proporzionale all ordine di grandezza del numero 22

12 Click Lo standard: to edit IEEE-754 Master (1980) title style Standard IEEE-754: rappresentazione binaria di numeri frazionari in irgola mobile SINGLE precision: 32 bit; DOUBLE precision: 64 bit Memorizzata solo la parte frazionaria della mantissa, in formato 1, xxxxxx... 2 EXP Rappresentazione polarizzata dell esponente: 127 per singola precisione (1 iene codificato come: ) 1023 in doppia precisione (1 iene codificato come: ) 23 Click Codifica to edit standard Master IEEE-754 title style IEEE 754 Single precision: (32 bit) Esempio: N = 10,75 Sign 1. Conersione a binario: 10,75 10 = 1010, Normalizzazione: ±1,xxxxxx 1,01011 x Codifica del segno: 1 = ; 0 = + 4. Calcolo dell esponente in rappresentazione polarizzata: = e = = = =

13 Click IEEE 754: to Configurazioni edit Master title noteoli style IEEE 754: Configurazioni noteoli Numero Mantissa Esponente 0 = = NaN (Not-a-Number) Num. denormalizzato Range esponenti: e +127 Range alori (32 bit): 1, x 1, x Click IEEE-754: to edit numeri Master denormalizzati title style MIN_float: E 0 = 1, = Float successio: E 1 = 1, = MIN_float à Risoluzione float: E = E 1 E 0 = = = Discontinuità tra ZERO e MIN_float!! Soluzione: numeri denormalizzati Esponente: 00 0 à si pone pari a: 126 à Mantissa: m 1 m 23 à 0, m 1 m 23 (anziché: 1, m 1...) Numero: 0, m 1 m à MIN_float (denorm.): 0, = = E