Elaborazione aut. dei dati

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1 Programma Elaborazione aut. dei dati Sistema interattivo MATLAB Risoluzione di sistemi lineari e di equazioni non lineari Interpolazione e smoothing di dati Opzioni finanziarie Approssimazione di integrali Risoluzione numerica di equazioni differenziali Testo consigliato A.d Alessio Lezioni di Calcolo Numerico e Matlab Ed. Liguori

2 Introduzione asi del processo di risoluzione di un problema e fonti di errore appresentazione dei numeri reali in un elaboratore tabilità di un algoritmo ondizionamento di un problema

3 Fasi del processo di risoluzione di un problema Formulazione del problema P Descrizione di P mediante un modello matematico: M(P) Approssimazione di M(P) mediante metodi numerici Sviluppo dell algoritmo per il calcolo della soluzione mediante elaboratore Implementazione dell algoritmo in uno specifico ambiente di calcolo (programma)

4 Algoritmo Programma ossibili fonti di errore Problema reale errori causati da semplificazioni nella formulazione del modello Modello matematico Metodo numerico errori di troncamento analitico errori di round off

5 Dal Problema al Modello Esempio 1: eflessione elastica di una sbarra di lunghezza L con una sola estremità bera, sottoposta ad un carico F applicato alla estremità libera. x L y F misura la distanza lungo l asse della sbarra rispetto all origine del riferimento coincidente con stremità fissa misura la deflessione della sbarra con direzione positiva verso il basso

6 a deflessione elastica y soddisfa l equazione differenziale ordinaria y'' [ 1 + ( y' ) 2 ] 3 2 ove: costante dipendente dal materiale momento di inerzia n le condizioni iniziali: = y( 0) = 0 y' ( 0) = 0 F( L x) E I a deflessione y e la sua pendenza y sono nulle nell origine del riferimento, essendo l arra fissa alla estremità corrispondente a x=0.

7 Modello semplificato In molte applicazioni la pendenza y della deflessione è così piccola da aversi: ( y' ) 2 «1 pertanto si perviene al modello semplificato: y'' = F ( L x) E I y ( 0 ) = 0 y '( 0 ) = 0 ale modello è più semplice da risolvere, essendo l equazione lineare; so però è valido per piccoli valori della forza F.

8 Si ottiene facilmente che y' = f( x, y) ( ay + b) y = e ax b ā -

9 Dal Problema al Modello Esempio 2: ostruzione di tavole di mortalità IPOTESI DI LAVORO La probabilità di morire nell intervallo di tempo ( t, t + t) è espressa da p( t, t + t) = a( t) t + O( t), a( t) 0 Ciò che avviene nell intervallo di tempo (t 1,t 2 ) è indipendente dal passa (t<t 1 ) La probabilità di morte alla nascita è 0. Si ottiene facilmente: π( t) = e t 0 a( z) dz

10 MODELLO SEMPLIFICATO a( t) = α + βe γt π( t) = e αt + β --e γt 1 γ

11 Dal Modello Matematico al Metodo Numerico Un metodo numerico è un insieme di relazioni tra dati e grandezze incognite che possono essere calcolate con un numero finito di operazioni aritmetiche. d esempio: e x = 1 x x xn 2! n! e a x n ( n + 1)! con a o, x e x x x xn ! n! e a xn ( n + 1)! = errore di troncamento analitico

12 e 2,71 Si vuole calcolare e 1.9 con due cifre decimali esatte: e 1,9 e 2 7 < 8 errore m assim o = 8 1 ~ 16 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e 1,9 ( 1,9) 2 1 1, ( 1,9) ( 1,9)9 2 n ( n + 1 )! <

13 e =

14 Dal Metodo Numerico all Algoritmo rappresentazione dei dati e esecuzione delle operazioni aritmetiche in un sistema aritmetico a precisione finita (cioè con un numero finito di cifre ). errore di roundoff

15 Rappresentazione dei numeri reali in un calcolatore RAPPRESENTAZIONE FLOATING-POINT NORMALIZZATA 1 Caso decimale 5.45= IN GENERALE: con x= f β e β 1 f < 1, e Z

16 Posto f=0.m e fissata la base β, il numero x è SEMPI: univocamente determinato dalla coppia: ( m, e) m e = = mantissa esponente 0, ( 1236, 2) 0, ( 25, 2 ) 0, ( 123, 1) ota: questa rappresentazione si assume che m comprenda il segno di f.

17 segno di m cifre di m dopo il punto segno di e cifre di e PAROLA MACCHINA 4 informazioni da rappresentare: mantissa espon. segno mantissa cifre mantissa segno esponente cifre esponente

18 in un calcolatore lo spazio disponibile per memorizzare m ed e dipende dalla lunghezza della parola limitazioni nella rappresentazione dei numeri reali

19 prima limitazione precisione finita numero finito t di cifre per rappresentare la mantissa m= ( d 1 d 2 d t ) β 0 < d 1 ( β 1) 0 d i β 1, i= 2,, t (rappr. normalizzata) tutti i numeri reali che hanno più di t cifre non possono essere rappresentati esattamente

20 Esempio un calcolatore ideale con base β=10 e 4 cifre per la mantiss il numero: = = (54567,1) non può essere rappresentato Possibili soluzioni Arrotondamento: (5457,1)=5.457 Troncamento: (5456,1)=5.456

21 seconda limitazione range limitato numero finito di cifre per rappresentare l esponente E min e E max E min e E max costanti che dipendono dalla macchina

22 Esempio n un calcolatore ideale con base β=10 e E min =-3 il numero x: = = (123, 4) 4 non può essere rappresentato. Si dice che si è verificato un UNDERFLOW Possibile soluzione? x=0

23 Esempio In un calcolatore ideale con base β=10 e E max =4 il numero: = = (53,6) non può essere rappresentato. Si dice che si è verificato un OVERFLOW Possibile soluzione?

24 Situazioni eccezionali OVER FLOW UNDER FLOW OVER FLOW β E max β E min 0 1 β E min 1 β E max

25 Consideriamo un numero x: β x β E min E max i indica con fl(x) il numero memorizzato nel calcolatore umero macchina): Si ha: x=fl(x) se x ha un numero di cifre della mantissa inferiore o tutt al più uguale a t; x?fl(x) se x ha un numero di cifre della mantissa superiore a t.

26 Si chiama operazione floating point una operazione che coinvolge numeri macchina. Esempio: Assegnati i numeri a e b per indicare la somma dei corrispondenti numeri macchina si scrive: fl ( a ) + fl ( b ) oppure a b Le operazioni floating point non godono di tutte le proprietà delle operazioni ordinarie

27 Non vale la proprietà associativa: ( a+ b) + c = a+ ( b+ c) mentre ( fl( a) + fl( b)) + fl() c fl( a) + ( fl( b) + fl()) c c ( a b) c a ( b c)

28 Esempio 0,999+0,006+0,005 =1,010 Sistema aritmetico floating point con 3 cifre significative: (0,999+0,006)+0,005 = 1,005 +0,005 = 1,00+0,005 = 1,005 = 1,00 0,999+(0,006+0,005) = 0,999+0,011 = 1,01

29 Non vale la seguente proprietà: a+ b a se b 0 mentre fl( a) + fl( b) = a b = a anche se b 0 Esempio 0,100+0,0001 = 0,1001 Sistema aritmetico floating point con 3 cifre significative: 0,100+0,0001 = 0,100

30 Definizione Si definisce e-macchina il più piccolo numero macchina per cui: 1+ ε > 1 Tale numero fornisce informazioni sulla precisione del sistema aritmetico utilizzato dall elaboratore.

31 seguiamo i calcoli con un elaboratore con 3 cifre significative e 1.9 arrotondamento = 6.67

32 seguiamo i calcoli con un elaboratore con 3 cifre significative e 1.9 troncamento =

33 seguiamo i calcoli con un elaboratore con 3 cifre significative e 1.9 arrotondamento 1.0=

34 seguiamo i calcoli con un elaboratore con 3 cifre significative e 1.9 troncamento 1.0=

35 I calcoli precedenti sono stati eseguiti utilizzando il valore: (rappresentabile esattamente) x = 1,9 Quale influenza sul risultato si avrebbe utilizzando il valore: x = 2 1,41

36 sempio 1: Stabilità di un algoritmo alcolo di integrali 1 I 14 = x 14 e x 1 dx 0 Il suo valore corretto con 7 cifre significative è: I 14 =

37 osto: 1 dx I n = x n e x 1 0 ha: I n x n e x 1 1 = 1 n x n 1 e x 1 dx = n x n 1 0 e x 1 dx = = 1 ni n 1

38 oiché: 1 I 0 = e x 1 d x = e può calcolare I n mediante un algoritmo basato sulla formula ricorrente I 0 = e I n = 1 ni n 1 n 1

39 Utilizzando 7 cifre significative si ha: n I n x x x x x x x x x x x x x x x1 3 n 1 I n

40 I n > 0 I n + 1 < I n n risultati errati per n > 10

41 Osserviamo che: I n = 1 ni n 1 l errore presente in I n-1 viene moltiplicato per n. amplificazione dell errore ALGORITMO INSTABILE

42 Possiamo cambiare algoritmo utilizzando la formula all indietro: 1 I n = = n I n n 1 -- I n n L Errore presente in I n, essendo 1/n<1, non viene amplificato riduzione dell errore

43 Per calcolare I 14 è necessario definire I n con n > 14 opportuno. oiché i può porre n lim I n = 0 I 20 =0

44 Utilizzando 7 cifre significative si ha: ALGORITMO STABILE n 20 I n x x x x x x10-1 Valore con 7 cifre significative esatte.

45 Esempio 2: Proviamo a eseguire il calcolo con Excel Consideriamo la formula iterativa: = x n x n Per x 0 =1/3 risulta: 1 x = 4 1 = La formula iterativa produce 1/3 per ogni valore di n

46 Esempio 3: Risoluzione di un sistema di equazioni lineari ax + by = c a'x + b'y = c' b x + --y a b' x + ---y a' = = c -- a --- c' a' y = c' c a' a b' --- a' 1 x = -- ( c by) a b -- a

47 i vuole risolvere il sistema 0, 0001x + y = 1 x + y = 2 pplicando la formula ricavata in precedenza: x y = = , x = 1, 0001 y = 0, 9998

48 Sistema aritmetico floating point con 3 cifre significative: c' c y a' a b' c' = 2 b = a' a c= 1 a' = 1 1 x = -- ( c by) a a= 0, 0001 b' = 1 b= 1 y = = = 0, , x 1 = ( 1 1) = 0 0, =

49 la soluzione vera è: x = 1, y = 0, E stato ottenuto: x = 0 y = 1

50 Scambiamo nel sistema la prima equazione con la seconda: x + y = 2 0, 0001x + y = 1 i ottiene: y= = = x = -- ( 2 1) = 1 1 Soluzione accettabile!

51 Esempio 4: Risoluzione di una equazione di II grado: ax 2 + bx + c = 0 x b± = se = b 2 4ac 0 2a

52 Si vuole risolvere x 2 + 2x + 0, 0001 = 0 = 4 0, 0004 > 0 = 1, , x 1 = = 1, , x 2 = = 0,

53 Sistema aritmetico floating point con 3 cifre significative = 4 0, 0004 = 4 = x 1 = = x 2 = = 0 2 x 2 errata! ecessità di un metodo alternativo per il calcolo delle soluzion

54 e soluzioni di oddisfano le relazioni: ax 2 + bx + c = 0 x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a

55 e soluzioni possono essere calcolate: b x 1 = = 2 2a x 2 c 0, 0001 = = = 0, ax 1 2 soluzioni accettabili!

56 Malcondizionamento di un Problema Matematico sempio: roblema P: 2,10x + 3,50y = 8 4,192x + 7y = 15 soluzione s: (125, ) roblema P : 2,10x + 3,50y = 8 4,190x + 7y = 15 soluzione s : (100, )

57 roblemi matematici molto sensibili alle perturbazioni sui dat PROBLEMI MALCONDIZIONATI problemi soluzioni s P P s