Esercizi proposti di Analisi Numerica

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1 Esercizi proposti di Analisi Numerica Silvia Bonettini Dipartimento di Matematica, Università di Ferrara 30 gennaio Conversioni, operazioni di macchina e analisi dell errore 1. Convertire i numeri e da base 10 a base 2, 8, Convertire e da base 2 a base Convertire il numero da base 8 a base Convertire il numero 8E38C da base 16 a base Rappresentare in fixed point (b=2, t+1=16) il numero ( 528) Rappresentare il numero ( 2.725) 10 come numero finito in semplice precisione (4 byte) secondo le convenzioni dell Ansi standard IEEE. 7. Convertire in numero intero il seguente numero di macchina fixed point (β = 2, t + 1 = 16) Convertire in numero decimale il seguente numero di macchina floating point, codificato secondo le convenzioni dell Ansi standard IEEE, precisione semplice: Rappresentare formato in fixed point (β = 2, t + 1 = 16) i numeri interi ( 936) 10, (1824) 10, (1023) 10, ( 31128) Rappresentare il numero ( ) 10 come numero finito in semplice precisione (4 byte) secondo lo standard Ansi IEEE. Ripetere l esercizio per i numeri ( ) 10, ( ) 10, ( ) Dire quale intero è rappresentato in formato fixed point da questa sequenza di bit, assumendo β = 2, t + 1 = 16:

2 12. Dire quale numero floating point è rappresentato dalla seguente sequenza di bit, assumendo che il numero sia codificato in precisione semplice secondo lo standard IEEE: Calcolare errore assoluto e relativo commesso nell approssimare α con α, dove α = π, α = 22/7 α = π, α = α = 2, α = Trovare il più piccolo intervallo di numeri che approssimano α = 2 con un errore relativo al più pari a Assegnati i seguenti numeri finiti ( β = 10, t = 4, arrotondamento) determinare, operando nell aritmetica dei numeri finiti, i numeri: fl(x 1 + x 2 ) fl(x 3 + x 4 ) fl(x 3 x 2 ) fl(x 1 x 1 ) fl(x 5 /x 3 ) fl(x 3 x 4 ) fl(x 6 + x 7 ) fl(x 6 + x 8 ) fl(x 9 x 10 ) fl(x 11 /x 6 ) con x 1 = , x 2 = , x 3 =.4037, x 4 =.4038, x 5 = , x 6 = , x 7 = , x 8 =.4567, x 9 = , x 10 = , x 11 = Verificare che nell aritmetica finita con t = 2 e β = 10 (troncamento) vale: fl(fl( ) ) fl( fl( )) fl(fl( ) ) fl(fl( ) + fl( ))fl( fl( )) fl( ) = fl( ) fl( fl( / )) fl( ) = fl( ), ossia x < y ma fl(x + z) fl(y + z) fl( ) = fl( ), ossia, se x < z e y < w si ha fl(x+y) fl(z+w) fl( ) = fl( ), ossia, se x > 0 e y < z allora fl(xy) fl(xz) 2

3 17. Verificare che, se β = 10, t = 2 (troncamento), l equazione x = ha come soluzioni x =.96, x =.97, x =.98, x =.99; l equazione x = non ha soluzione e x = ha un unica soluzione x = Mostrare che se si considera aritmetica in base 10 con t=2 cifre per la rappresentazione della mantissa e troncamento, per i numeri x = , y = e z = non vale la proprietà distributiva, ossia fl(xfl(y + z)) fl(fl(xy) + fl(xz)) 19. Si consideri un elaboratore con aritmetica finita caratterizzata da base 10, 4 cifre per la rappresentazione della mantissa (t=4) e aritmetica con arrotondamento. Dati i tre numeri reali: a =.1580 b = c = rappresentarli all interno dell insieme dei numeri di macchina ed in seguito sommarli con le regole dell artimetica finita prima in ordine crescente, poi in ordine decrescente, confrontando i risultati ottenuti con il risultato esatto. 20. Valutare l errore inerente nel calcolo dell espressione: f(x) = e x /(x 1) Esistono valori di x per cui il calcolo della funzione è mal condizionato? 21. Fare l analisi dell errore totale delle seguenti espressioni, dicendo per ciascuna di esse quale è il modo più conveniente di calcolarle: (x + y) + z x + (y + z) (xy)z x(yz) (a + b)/2 a + (b a)/2 (a < b) x(y + z) xy + xz 22. Trovare un modo per riformulare le seguenti espressioni in modo da evitare cancellazione ( x << 1): (1 + 2x) 1 (1 x)(1 + x) x 2 1 x2 2 2 sin(1 + x) sin(1) 3

4 23. Con il metodo dell analisi in avanti dell errore determinare una maggiorazione dell errore relativo di arrotondamento per le espressioni x + y + z xyz x 2 y 2 (x + y)(x y) Si suppone di lavorare in aritmetica finita con base 10 e t=8. 2 Fattorizzazioni 1. Calcolare la fattorizzazione di Gauss con pivoting parziale delle seguenti matrici, indicando esplicitamente le matrici L, R e P. Calcolare il determinante. Utilizzando la fattorizzazione ottenuta, risolvere il sistema Ax = b, dove b è il termine noto indicato. Verificare tramite Matlab la correttezza dei risultati ottenuti. (a) (b) (c) (d) A = b = A = b = A = b = A = b = Calcolare la fattorizzazione di Cholesky delle seguenti matrici, indicando esplicitamente la matrice L. Calcolare il determinante. Utilizzando la fattorizzazione ottenuta, risolvere il sistema Ax = b, dove b è il termine noto indicato. Verificare tramite Matlab la correttezza dei risultati ottenuti. (a) A = b =

5 (b) (c) (d) A = b = A = b = A = b = Calcolare la fattorizzazione QR mediante rotazioni di Givens delle seguenti matrici, indicando esplicitamente le matrici Q ed R. Utilizzando la fattorizzazione ottenuta, risolvere il sistema Ax = b, dove b è il termine noto indicato. Verificare tramite Matlab la correttezza dei risultati ottenuti. (a) (b) (c) (d) A = b = A = b = A = b = A = b = Calcolare l inversa delle matrici dell esercizio 1 mediante l algoritmo di Gauss-Jordan. Verificare tramite Matlab la correttezza dei risultati ottenuti. 5

6 3 Metodi iterativi per sistemi lineari 5. Con quali metodi iterativi si può risolvere il seguente sistema lineare e perché? 2x 1 1/2x 3 1/2x 4 = 1 2x 2 x 3 x 4 = 1 1/2x 1 x 2 + 2x 3 = 1 1/2x 1 x 2 + 2x 4 = 3 Fare due iterazioni con i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel prendendo l origine come punto iniziale. 6. Con quale metodo iterativo si può risolvere il seguente sistema lineare e perché? 2x 1 + x 2 = 1 x 1 3x 2 + x 3 = 1 x 2 2x 3 = 1 Fare due iterazioni dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel partendo dal vettore nullo. 7. Verificare se le ipotesi di convergenza dei metodi di Gauss-Seidel e Jacobi sono soddisfatte per le seguenti matrici e, in caso affermativo, calcolare i primi due passi di entrambi i metodi partendo dal vettore nullo. (a) (b) (c) (d) A = b = A = b = A = b = A = b = Equazioni non lineari 8. Determinare quanti passi del metodo di bisezione occorre fare per calcolare la soluzione dell equazione 1 2 ex/2 x = 0 in [4, 5] con una tolleranza pari a Applicare il metodo per il numero di iterazioni ottenuto. 6

7 9. Determinare con il metodo di Newton e con il metodo delle secanti la radice dell equazione 1 2 ex/2 x = 0 in [4, 5]. 10. Determinare con il metodo delle approssimazioni successive la radice dell equazione 1 2 ex/2 x = 0 in [4, 5]. Verificare le condizioni di convergenza per la funzione usata nel metodo. 11. Determinare una soluzione dell equazione x 3 x 1 = 0 in [1.2, 2] usando il metodo delle approssimazioni successive. 12. Determinare una soluzione dell equazione x 3 x 1 = 0 in [1.2, 2] usando la regula falsi e il metodo di Newton. In tale intervallo il metodo di Newton è globalmente convergente? 13. Determinare una soluzione dell equazione x 3 x 1 = 0 in [1.2, 2] mediante il metodo di bisezione e il metodo di Newton. In tale intervallo il metodo di Newton è globalmente convergente? 14. Determinare quanti passi del metodo di bisezione occorre fare per calcolare la soluzione dell equazione exp( x/10) sin(x/10) = 0 in [ 0.4, 0.2] con una tolleranza pari a 10 ( 2). Applicare il metodo per il numero di passi ottenuto. 15. Calcolare la radice dell equazione x 3 10x x 20 = 0 in [0, 1.7] con il metodo di Newton. Verificare se il metodo di Newton e globalmente convergente nell intervallo. 16. Calcolare la soluzione della equazione relativa al precedente esercizio con il metodo delle secanti. 17. Calcolare la soluzione dell equazione x = x + 2 in [0, 7] con il metodo delle approssimazioni successive. Verificare che in tale intervallo il metodo é globalmente convergente. 18. Trovare una approssimazione a 25 1/3 entro l accuratezza 10 4 usando l algoritmo di bisezione. 19. Usare il metodo di Newton (applicato a f/f ) per trovare una approssimazione di una radice di f(x) = x 2 + 2xe x + e 2x = 0 partendo da x 0 = 0 e facendo al massimo 10 iterazioni. 5 Interpolazione 20. Assegnati i dati della seguente tabella, x y valutare il polinomio di interpolazione nella forma di Lagrange in 2. 7

8 21. Ripetere l esercizio sopra usando il metodo dei coefficienti indeterminati. 22. Ripetere l esercizio calcolando il polinomio nella forma di di Newton. 23. Aggiungere alla tabella il dato ( 4, 10) e calcolare nuovamente il polinomio di interpolazione in 2. Quale metodo risulta più conveniente? 24. Calcolare un stima dell errore commesso in x =.15, interpolando la funzione f(x) in x i =.1 + i/10, i = 0, 5; sia f(x) = cos(x), f(x) = log(x), f(x) = 1/(1 + x). 25. Ripetere l esercizio usando come nodi gli zeri del polinomio di Chebyshev di grado 6 shiftati nell intervallo [.1,.6]. 26. Quale dovrebbe essere il grado dell interpolante relativo a nodi di Chebyshev per interpolare con un errore pari a 10 6 le seguenti funzioni? cos(x) in [0.3, 0.6]; 1/(2 + x) in [ 1, 1]; log(x) in [0.1, 1]; exp(3x) in [ 1, 1] 27. Assegnata la seguente tabella di dati ricostruire il polinomio p 3 (x) che interpola i dati di indice i = 0, 1, 2, 3. x i y i Assegnati i valori della funzione f(x) = x 3 in x 0 = 2, x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 4, determinare il polinomio di primo grado p 1 (x) che interpola i dati di indici 2,3; determinare il polinomio p 2 (x) che interpola i dati di indici 1,2,3; determinare p 3 (x) che interpola tutti i dati e verificare che p 3 (x) = x Data f(x) = exp(x), stimare f(0.25) con il polinomio di Hermite di grado 5 relativo ai punti x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2. Fornire una maggiorazione dell errore di interpolazione commesso in Data f(x) = 3x exp(x) exp(2x) approssimare f(1.03) mediante il polinomio di Newton di grado 3 su nodi equispaziati in [1, 1.06]. Comparare l errore commesso con la stima ottenuta dalla formula dell errore. 31. Stimare l errore commesso nell usare x al posto di sin(x) per approssimare sin(1), usando il termine resto del polinomio di Taylor in x 0 = Trovare il più piccolo n necessario ad approssimare f(x) = 1/x in x = 1.25 con accuratezza 10 9 usando il polinomio di Taylor di grado n calcolato in x 0 = 1. 8

9 33. Usando la formula di Taylor determinare una approssimazione di f(x) = x p, (p > 0) nell intorno di x = 1 e una maggiorazione del resto (ripetere con f(x) = log(x)). 34. Sia f(x) = exp(3x) Assegnati i valori x i y i determinare il polinomio di interpolazione di grado 4 espresso dalla formula di Newton. Determinare una maggiorazione dell errore di interpolazione. 35. Sia f(x) = sin(x) Assegnati i valori x i y i determinare il polinomio di interpolazione di grado 4 espresso dalla formula di Newton. Determinare una maggiorazione dell errore di interpolazione. 36. Dire quanti termini della formula di Mac Laurin servono ad approssimare e x nell intervallo [0, 0.1] con una precisione pari a Sia f(x) = log(1 + x). Assegnati i valori della funzione in 4 punti equi-spaziati dell intervallo [0, 1], determinare il polinomio di interpolazione relativo a questi punti espresso con le formule di Lagrange e di Newton. 38. Usando come nodi gli zeri di un opportuno polinomio di Chebyshev, determinare il grado del polinomio di interpolazione di Newton della funzione f(x) = log(1 + x) relativo a tali nodi in [0, 1], in modo che l errore sia inferiore a Minimi quadrati 39. Determinare i parametri a e b del mo dello f(x) = ae bx, considerando come dati (0, 5), (1, 5), ( 4, 1), (7, 0.1). 9

10 40. Data la tabella di dati sotto riportata, determinare la retta dei minimi quadrati che onora i punti assegnati. x f(x) Con gli stessi dati dell esercizio precedente, determinare la parabola dei minimi quadrati che onora i punti assegnati. 42. Considerati le seguenti coppie di dati ( 5, 6), ( 4, 5), (0, 7), (4, 0), (5, 3), costruire la cubica dei minimi quadrati che meglio approssima questo insieme di dati (impostare solo in problema); se, invece di un polinomio, si considera la funzione f(x) = a1 + a2 exp( x), determinare i parametri a1 e a2 secondo il criterio dei minimi quadrati. 10