Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A

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1 Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A. 4-5 Corso di CALCOLO NUMERICO / ANALISI NUMERICA : Esempi di esercizi svolti in aula 9//4 ) Determinare la rappresentazione in base di. Vogliamo determinare d, d,, d n, tali che Risulta quindi = d + d + + d n n + =: (.d d ) = 5 < d = 5 = 5 < d = 5 = 4 5 < d 3 = 4 5 = 8 5 = d 4 = 3 5 = 6 5 = + 5 d 5 =.. (.) = = (...) = 3 (.). Ne segue che ha una rappresentazione periodica (per cui non ammette una rappresentazione con un numero finito di cifre) in base. //4 ) Determinare se il problema del calcolo delle radici reali dell equazione x x + c = risulta malcondizionato al variare di c sulla retta reale. Le radici dell equazione sono: x (c) = c, x (c) = + c, c Consideriamo ad esempio x (c). Il coefficiente di amplificazione risulta c c ( c) = + c c

2 tale espressione risulta illimitata quando c mentre risulta limitata sia per c che per c. Quindi il problema è malcondizionato per valori di c prossimi ad, c. Analogamente si conclude per x (c). ) Dato l insieme di numeri di macchina F (, 3, 3, 3) ed i numeri reali a = 7, b = 8, determinare: i) la rappresentazione di a e b in base ; ii) le approssimazioni ã, b di a e b in F (, 3, 3, 3) operando con troncamento; iii) i corrispondenti errori di rappresentazione e confrontarli con la precisione di macchina. i) Risulta 7 = 7 < d = 7 = 4 7 < d = 4 7 = 8 7 = + 7 d 3 =. quindi Osservando che 8 = 7 si ha inoltre 7 = (...) = (.). 8 = (...) = 4 (.). ii) ã = (.) = 8, mentre b = perché si ha una condizione di underflow. iii) La precisione di macchina risulta ɛ M =. Inoltre ã a a = 8 < ɛ M, b b b =. 3) Dato l insieme di numeri di macchina F (β, t, L, U) ove si operi con troncamento, mostrare che la precisione di macchina é il piú piccolo numero positivo, x, appartenente all insieme per cui risulta x >. Il valore della precisione di macchina, ɛ M, é ɛ M = β t. Quindi ɛ M = tr(β + β t )β = β(β + β t ) >

3 mentre per ogni x F (β, t, L, U), < x < ɛ M si ha x = β( β + + β t + d β t++k + + d t ), per qualche intero k βt+k per cui x = tr( + x) =. 7//4 ) Dato l insieme di numeri di macchina F (, 5, m, M) in cui si opera con troncamento ed i numeri reali a = 6, b = 7, determinare: i) la rappresentazione di a e b in base ; ii) le approssimazioni ã, b di a e b in F (, 5, m, M); iii) i corrispondenti errori di rappresentazione e confrontarli con la precisione di macchina; iv) il valore ã b e valutare l errore relativo rispetto ad a b. i) Risulta a = 6 = 3 (.), 7 = (...) = 4 (.) ii) ã = a mentre b = 4 (.) = 6 iii) La precisione di macchina risulta ɛ M = 4. Inoltre ã a a = < ɛ M, b b b = 8 < ɛ M. iv) ã b = (..) 3 = 8 mentre a b = differenza risulta ( 56 )7 = 4 7 assai maggiore degli errori relativi sui dati. 7 per cui l errore relativo sulla ) Siano x > y > z > numeri di macchina. Stabilire quale delle seguenti espressioni è preferibile dal punto di vista della propagazione degli errori: (x y) z, x (y z). Risulta, in assenza di overflow e underflow, x y = (x + y)( + ɛ ), ɛ < ɛ M e (x y) z = ((x + y)( + ɛ ) + z)( + ɛ ), ɛ < ɛ M.

4 Quindi, tralasciando i termini di grado superiore al primo, (x y) z (x + y + z) x + y + z < ( + x + y x + y + z )ɛ M. Analogamente x (y z) (x + y + z) x + y + z < ( + y + z x + y + z )ɛ M. Ne segue che, essendo x > y > z, la seconda espressione è preferibile. 8//4 ) Analizzare, al variare di x sulla retta reale, la convergenza delle successioni costruite mediante il metodo di Newton per le seguenti funzioni f (x) = x, f (x) = x 3, f3 (x) = x 3. Per ciascuna delle funzioni assegnate esiste una sola radice α =. Per la funzione f risulta { f (x) = if x >, x if x <, x quindi la successione generata dal metodo di Newton risulta essere un ciclo, per ogni punto iniziale x, infatti Analogamente, per x i x i+ = x i f (x i ) f (x i) = x i x i = x i, x i. x i+ = x i f (x i ) f (x i) = x i 3 x i = x i; x i+ = x i f 3(x i ) f 3 (x i) = x i 3x i = x i. Per cui nel secondo caso si ha convergenza a per ogni punto iniziale, mentre nel terzo la successione è divergente ( x i + ). //4 ) Analizzare, al variare di k sulla retta reale, la convergenza delle successioni costruite mediante il metodo iterativo x i+ = g(x i ), g(x) = k e x.

5 Figura La funzione g ammette punti fissi, ossia punti tali che x = g(x), solo se k. Per k = esite un solo punto fisso, α e risulta α =. Da un esame grafico si ha che la successione x i+ = g(x i ) converge ad α in modo monotono decrescente per ogni x mentre risulta divergente a se x <. Per k > esitono due punti fissi, α e β con α >, β < ( si veda la figura per il caso k =.) Da un esame grafico si ha che la successione x i+ = g(x i ) converge ad α in maniera monotona per ogni x > β mentre risulta divergente a se x < β. Si noti che, per ogni valore del parametro k, risulta g (x) = e x <, x >. 9//4 ) Analizzare, al variare di k sulla retta reale, la convergenza delle successioni costruite mediante il metodo iterativo x i+ = g(x i ), g(x) = k x x, x >. La funzione g ha punti fissi positivi unicamente se k >. In tale ipotesi l unico punto fisso positivo é α = k. Inoltre g(x) = per x =, 4k e g (x) = per x = α = k (si veda la figura per k = ). La successione generata dal metodo

6 Figura iterativo converge in modo monotono crescente (al piú dopo la prima iterazione) ad α per ogni < x < 4k. L ordine di convergenza é in quanto g (α) =, g (α). ) Analizzare, la convergenza delle successioni costruite mediante il metodo di Newton per approssimare gli zeri della funzione f(x) = 3 3 x3 + x. La funzione ha una radice doppia in α = 3 ed una radice semplice β (, ) (vedere figura 3). Dal grafico risulta che il metodo di Newton origina una succesione convergente ad α in modo monotono (al più dopo la prima iterazione) per ogni x <. Analogamente si ha una succesione monotona decrescente (al piú dopo la prima iterazione) convergente a β per ogni x >. L ordine di convergenza é per α in quanto si tratta di una radice doppia e per β. 6//4 ) Data la matrice 7 3

7 Figura 3 i) stabilire se ammette autovalori complessi; ii) localizzarne il raggio spettrale. i) Il polinomio caratteristico della matrice é un polinomio di terzo grado a coefficienti reali; quindi la matrice ha almeno un autovalore reale e gli altri due autovalori, in caso siano complessi, devono essere complessi coniugati. I cerchi di Gershgorin per colonne sono disgiunti ed hanno centro sull asse reale. Ne segue che, dal secondo teorema di Gerschgorin, in ogni cerchio si trova esattamente un autovalore. La matrice non può quindi avere autovalori complessi perchè due autovalori complessi coniugati, avendo la stessa parte reale, dovrebbero appartenere ad uno stesso cerchio. ii) Dati i cerchi di Gershgorin per colonne, risulta che la matrice ha un solo aurtovalore di modulo massimo e che questo si trova nel cerchio di centro 7 e raggio. Quindi per il raggio spettrale della matrice valgono le seguenti limitazioni 5 < ρ(a) < 9. Si noti che valgono le disugiaglianze strette perchè, essendo la matrice irriducibile, dal terzo teorema di Gershgorin l autovalore in quastione non puó appartenere alla frontiera del cerchio suddetto. 3//4 ) Dati i sistemi lineari ( + 5 Ax = b, A = ), b = ( ), () (A + δa)(x + δx) = b, ()

8 δa = ( ) 5 + ɛ, b = ( ), ɛ IR, < ɛ < 5 ; i) determinare µ (A) e valutare b, δa. ii) Calcolare la soluzione x del sistema () e la soluzione x+δx del sistema (). Valutare e commentare il risultato. δx x i) Risulta ( A = quindi µ (A) = (A) A = 5 = 4 5, mentre b =, δa = 5 ɛ. ii) Si ha quindi ( 5 x = 5 ), ) ( ) ɛ, x + δx = ɛ δx x = ɛ 5. (3) Quindi l errore relativo sulla soluzione puó essere arbitrariamente elevato quando ɛ si avvicina a. Si noti che la matrice A é malcondizionata ma l esplosione dell errore relativo ottenuta in (3) non può essere completamente descritta tramite la maggiorazione δx x µ (A) δa ( A δa ) A per ogni ɛ (, 5 ) ma solo per i valori di ɛ per cui risulta A δa < ossia per 5 < ɛ < 5. //4 ) Un valore approssimato di ln si può ottenere approssimando gli zeri della funzione f(x) = e x ; i) determinare per quali x IR il metodo di Newton per l approssimazione degli zeri di f origina una successione convergente a ln ; ii) determinare x ed ɛ in modo che la successione {x i } costruita tramite il metodo di Newton a partire da x sia decrescente e tale che x i+ x i < ɛ x i ln < 5

9 i) La funzione f è monotona crescente e convessa in IR, quindi esiste un solo zero di f che é appunto dato da ln. Per ogni x IR il metodo di Newton origina una successione convergente a ln. La convergenza é monotona decrescente al piú dopo la prima iterazione. ii) Scegliendo x = si ha una successione monotona decrescente convergente a ln. Inoltre, posto g(x) = x f(x) f (x) = x ex e x risulta Quindi x i+ x i = (g (ξ i ) )(x i ln ) = e ξ i (x i ln ), ln < ξ i < x i <. x i ln = eξ i x i+ x i < e x i+ x i. Ne segue che, per aver assicurata la disuguaglianza richiesta, sarà sufficiente porre ɛ e 5. ) Analizzare la convergenza del metodo iterativo nei casi a (, π 3 ) ed a ( π 3, π). x i+ = g(x i ), g(x) = a cos(x), x (, π ) Per ogni valore positivo del parametro a la funzione g ammette un unico punto fisso α (, π ) (si veda in proposito la Figura 4 a sinistra, per il caso a = ) e risulta Se a = α cos(α). g (α) = a sen(α) = αtg(α) < il metodo iterativo produce successioni convergenti ad α purché il punto iniziale x sia sufficientemente vicino al punto fisso. Analiziamo quindi per quali valori di α (, π ) risulta tg(α) < α. Da uno studio grafico ( si veda Figura 4 a destra), risulta che tale disuguaglianza vale per α π 4 mentre non vale per α π 3. La funzione a(α) = α cos(α) é una funzione monotona crescente per α (, π ) e risulta π 4 cos( π 4 ) = π π > 4 3 mentre π 3 cos( π 3 ) = π 3.

10 Figura Quindi il metodo iterativo converge (con ordine di convergenza in quanto g (α) ) per a (, π 3 ), mentre non converge nell altro caso. 4//4 ) Mostrare che una matrice a diagonale dominante in senso stretto ammette la fattorizzazione LU. Si ricorda che, per il primo teorema di Gerschgorin, una matrice a diagonale dominante in senso stretto non puó avere autovalori nulli e quindi risulta non singolare. Inoltre per una matrice a diagonale dominante in senso stretto si ha a i,i > n j=, j i a i,j k j=, j i a i,j, i k n. Ne segue che, in una matrice a diagonale dominante in senso stretto, tutti i minori principali di testa sono a diagonale dominante in senso stretto ossia sono non singolari. Da cui si ha che la matrice ammette la fattorizzazione LU. //5 ) Data la matrice A = analizzare la convergenza del metodo di Jacobi e del metodo di Gauss-Seidel per il sistema lineare Ax = b, b IR 3. Indicata con J la matrice di iterazione del metodo di Jacobi risulta J = =

11 i cui autovalori sono λ =, λ =, λ 3 = quindi ρ(j) = ed il metodo non risulta convergente. Indicata con GS la matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel si ha i cui autovalori sono quindi GS = = λ =, λ = 6 (5 + i 7), λ 3 = 6 (5 i 7) ρ(gs) = = 6 4 < ed il metodo risulta convergente. Tale risultato, riguardo alla convergenza del metodo di Gauss-Seidel, poteva essere stabilito anche osservando che la matrice A ha elementi diagonali positivi e risulta definita positiva in quanto i determinanti dei suoi minori principali di testa sono positivi. 3 8 ) Analizzare la convergenza del metodo di Jacobi per il sistema lineare Ax = b, b IR n con A = La matrice A é irriducibile ed a diagonale dominante quindi il metodo di Jacobi per il sistema assegnato converge. ) Data la matrice A = α α α α, α > i) analizzare la convergenza del metodo di Jacobi e del metodo di Gauss-Seidel per il sistema lineare Ax = b, b IR 3. ii) per i valori di α per cui entrambi i metodi convergono, si dica quale dei due, asintoticamente, converge piú velocemente.

12 i) Indicata con J la matrice di iterazione del metodo di Jacobi risulta il cui polinomio caratteristico é per cui il raggio spettrale risulta J = α α α α λ 3 + ( α + α)λ ρ(j) = α α ; quindi il metodo di Jacobi é convergente quando α α < ossia per α < +, α ( si ricordi che α > ). Analogamente, indicata con GS la matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel, si ha GS = α α α α il gui raggio spettrale risulta ( si ricordi che α > ) ρ(gs) = α; quindi il metodo di Gauss-Seidel converge per α <. ii) Poiché per < α < risulta α α < α = α α α α α il metodo di Gauss-Seidel ha, asintoticamente, velocità di convergenza maggiore. 3//5 ) Dati i punti x =, x =, x = e la funzione f(x) = e x ; i) determinare il polinomio, nella forma di Lagrange, che interpola la funzione data sui punti assegnati; ii) determinare il polinomio, nella forma di Newton, che interpola la funzione data sui punti assegnati;

13 iii) dare una maggiorazione dell errore che si commette nel sostituire, nell intervallo [, ], alla funzione data il polinomio interpolante. i) Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange è ove p n (x) = L i,n (x) = Nel caso specifico é n = e risulta n f(x i )L i,n (x) i= n j=,j i (x x j ) (x i x j ). L, (x) = (x )(x ) ( )( ) = (x )(x ), L, (x) = L, (x) = x(x ) () x(x ) ( ) = 4x(x ), = x(x ), quindi p (x) =(x )(x ) 4x(x ) e + x(x )e = + x( e e) + x ( e + e + ). ii) Il polinomio interpolante nella forma di Newton è p n (x) = f[x ] + f[x, x ](x x ) + + f[x, x,, x n ](x x ) (x x n ) ove f[x, x,, x k ] indica la differenza divisa di ordine k di f relativa ai punti x, x,, x k. Nel caso specifico risulta quindi f[x ] = f(x ) =, f[x, x ] = f(x ) f(x ) x x = ( e ), f[x, x, x ] = f[x, x ] f[x, x ] x x = ( e ) p (x) = +( e )x+( e ) x(x ) = +x( 3+4 e e)+x ( e+e+). iii) Risulta in generale, se la funzione f é di classe C n+, f(x) p n (x) = (n + )! f (n+) (ξ)(x x ) (x x n )

14 nel caso specifico abbiamo quindi max x [,] ex p (x) = 6 max x [,] eξ x(x )(x ) 6 e //5 ) Determinare la retta che meglio approssima nel senso dei minimi quadrati i punti x i : y i : 8 8. i) La retta in questione, q(x) = a + a x, si determina risolvendo il sistema N i= N i= x i a N i= = y i N i= x i a N i= y ix i N i= x i nel caso specifico N = 4 ed il sistema suddetto diviene 5 a = 5 7 a 8 da cui a =, a = 7, ossia q(x) = 7 x.