MACROAREA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea Magistrale in Matematica

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1 MACROAREA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea Magistrale in Matematica TESI DI LAUREA MAGISTRALE Studio della convergenza del metodo delle potenze Relatore: Carmine di Fiore Canditato: Sara Loss Matricola: Anno accademico: 2017/2018

2 Metodo delle Potenze (MP) A C n n, v C n e u C n. v 0 = v, a 1 = Av, v 1 = a 1 a 1, a 2 = Av 1, v 2 = a 2 a 2, a 3 = Av 2,... ϕ 1 = uh a 1 u H v 0, ϕ 2 = uh a 2 u H v 1, ϕ 3 = uh a 3 u H v 2,... convergono all autovalore dominante ed al corrispondente autovettore? Vedremo i casi: A definita positiva A generica A non negativa ed irriducibile.

3 MP: Caso A definita positiva (x H Ax>0, x C n x 0) Teorema: Sia A C n n definita positiva, siano 0 < λ n λ t+1 < λ t = = λ 1 i suoi autovalori e x i autovettori corrispondenti ai λ i per i = 1, 2,..., n (nota: X 1 AX = diag(λ j ), j = 1,..., n A k x j = λ k j x j, j = 1,..., n). Sia v C n, v 2 = 1, tale che nella sua rappresentazione: v = α i x i + α i x i, il vettore x = α i x i sia non nullo (nota: i t i>t i t ciò implica che v H x = ( x 2 ) 2 0, A k v 0 k N, 1 λ k A k v x e 0 < 1 1 k λ k (v H A k v) 1 k vh x ). Allora: A k v x A k, Ax = λ 1 x (1) v 2 k x 2

4 Metodo delle Potenze: Caso A definita positiva v H A k+1 v v H A k v k λ 1. (2) Le successioni in (1) e (2) sono ben definite k N e possono calcolate tramite il seguente algoritmo: v 0 := v. Per k = 1, 2,... a k := Av k 1 ϕ k := vh a k v H, v k 1 v k := a k a k 2 v H v k 1 0 k (3)

5 Metodo delle Potenze: Caso A definita positiva Infatti, ϕ k = vh A k v v H A k 1 v (e quindi ϕ k λ 1) e v k = Ak v k A k v 2 x k = 1, 2,... (e quindi v k ). Inoltre: k x 2 ϕ k ϕ k+1 λ 1 = ρ(a), k = 1, 2,.... Dimostrazione. Dimostriamo che la successione ϕ k ottenuta in (3) è crescente. ϕ k ϕ k+1 se e solo se: v H A k v v H A k 1 v vh A k+1 v v H A k v

6 Metodo delle Potenze: Caso A definita positiva cioè se e solo se, moltiplicando entrambi i membri per (v H A k v)(v H A k 1 v): (v H A k v) 2 (v H A k 1 v)(v H A k+1 v). (4) Ma la (4) risulta verificata perché equivale alla seguente disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: ( v H A k 1 2 A k+1 2 v ) 2 ( A k 1 2 v 2 ) 2 ( A k+1 2 v 2 ) 2. Ma se la matrice A non è definita positiva?

7 Metodo delle potenze: Caso A generica Utilizzando la forma canonica di Jordan, X 1 AX = J, di A e la seguente espressione che esprime l azione di A k sulle colonne i + 1,..., i + s della matrice X corrispondenti al generico blocco di Jordan di ordine s con λ come autovalore: {( k ) k λ 0 x i+j k + ( k ( k i+j 1 ) k 1 λ k (i+j)+1 x 1 + ( k (i+j) 2 (j = 1,..., s) si ottiene il seguente Teorema: A k x i+j = ) λxi+j k ( k 0) λ k x i+j k < i + j 1 ) λ k (i+j)+2 x ( k 0) λ k x i+j k i + j 1 (5) Teorema: Sia A C n n generica e supponiamo che uno degli autovalori di A, λ 1, domini sugli altri, cioè λ 1 > λ j, λ j λ 1 e che m a (λ 1 ) = m g (λ 1 ) =: t. Allora, ne segue che esiste X C n n non singolare (cioè detx 0) tale che:

8 Metodo delle potenze: Caso A generica λ λ 1... X 1 AX = λ λ =: J... dove J è una matrice diagonale a blocchi (nota: ci possono essere più blocchi diagonali con lo stesso λ), in particolare si ha che: Ax j = λ 1 x j, A k x j = λ k 1 x j, j = 1,..., m a,g (λ 1 ) e, fissato λ σ(a), λ λ 1, per l = 1,..., m g (λ) si ha:

9 Metodo delle potenze: Caso A generica A x i l x il +s l = λ x i l x il +s l C n s l λ con s l : 1 s l < n. Ne segue che Ax il +1 = λx il +1, Ax il +j = λx il +j + x il +j 1, j = 2,..., s l. Quindi vale (5) con i i l e s s l.

10 Metodo delle potenze: Caso A generica Sia v C n, v = 1, tale che nella rappresentazione di v, v = n α i x i, il vettore x = t α m x m sia non nullo (nota: ciò i=1 m=1 implica A k v non nullo, k = 1, 2, 3,...). Sia anche u C n, tale che u H x 0 (nota: 1 λ k (u H A k v) 1 k k > k ). Allora: λ 1 k λ k 1 1 λ k 1 A k v k x, uh x e quindi k N per cui sono non nulli A k v A k v k u H A k+1 v u H A k v x x, Ax = λ 1x (6) k λ 1 (7) dove la successione in (6) è ben definita ed k N tale che la successione (7) è ben definita k > k, ed entrambe le successioni

11 Metodo delle potenze: Caso A generica in (6) e (7) si possono calcolare tramite il seguente algoritmo: a k := Av k 1 v 0 = v, ϕ k := uh a k u H, se u H v k 1 0 v k 1 v k := a k k=1, 2,... a k Infatti, ϕ k = uh A k v u H A k 1 v (e quindi ϕ k λ 1) e v k = Ak v k A k v k = 1, 2,... (e quindi λ 1 k x λ k v k 1 k x ). Costo: prodotto A vettore. ( ( λj )) kp(k) Velocità di convergenza: max j:λ j λ 1 λ 1 Corollari: Il Teorema precedente, per A definita positiva, ed il Teorema per A diagonalizzabile già presente in letteratura. (8)

12 Metodo delle potenze: Caso A non negativa ed irriducibile A 0 (a i,j 0, i, j), irriducibile P di permutazione: [ ] ) M R P T AP =, M ed N matrici quadrate ; 0 N ρ(a) = max j λ j (A). ( Teorema di Perron-Frobenius:!z > 0 : z 1 = 1, Az = ρ(a)z, ρ(a) > 0 e ρ(a) è semplice come autovalore di A (cioè m g (ρ(a)) = m a (ρ(a)) = 1). Se ρ(a) è dominante, ρ(a) = λ 1 = λ 1 > λ j, j = 2,..., n, allora ρ(a) e z si possono calcolare col metodo delle potenze:

13 Metodo delle potenze: Caso A non negativa ed irriducibile Sia A C n n non negativa ed irriducibile. Partendo da v, v 1 = 1, positivo, ed applicando il Teorema con. =. 1 ed u = e = [ ] T, nella sola ipotesi che λ1 = ρ(a) sia dominante, si ha che l algoritmo: a k := Av k 1, nota: a k > 0 v 0 := v, ϕ k := et a k e T, nota: e T v k 1 > 0 k v (9) k 1 v k := a k k=1,2,... a k 1 genera ϕ k k (ρ(a), z) coppia di Perron. λ 1 = ρ(a) e v k k Costo: prodotto A vettore. ( Velocità di convergenza: max j 2 x x 1 = ( λj )) kp(k) ρ(a) αz αz 1 = z.

14 Metodo delle potenze: Caso A non negativa ed irriducibile Nota: Se ρ(a) non è dominante il metodo delle potenze applicato alla matrice A non è convergente. Applicandolo però ad A + αi, α > 0, è sempre convergente e produce: ρ(a + αi) e z > 0, z 1 = 1, tali che: (A + αi)z = ρ(a + αi)z (perché ρ(a + αi), α > 0, è sempre autovalore dominante di A + αi se A 0 ed irriducibile). Da cui segue: ρ(a) = ρ(a + αi) α, Az = ρ(a)z. = che la coppia di Perron di A non negativa ed irriducibile è sempre calcolabile con il metodo delle potenze.

15 Problema Nel caso A non negativa ed irriducibile, ci si può chiedere se la successione di numeri reali ϕ k, generata dal metodo delle potenze, converge a ρ(a), autovalore dominante di A, in modo monotono (come accadeva nel caso A definita positiva), cioè: ϕ k = et a k e T v k 1 = et Av k 1 e T v k 1 ϕ k+1 = et a k+1 e T v k (e T Av k 1 )(e T v k ) (e T v k 1 )(e T Av k )? = et Av k e T v k? (nota: e T = [ ] ).

16 Problema (caso n=2) Su diverse matrici 2 2 si è verificata la seguente: Proposizione (Congettura): Se nel MP si sceglie v 0 = v = 1 2 e, allora k 1, valgono le seguenti uguaglianze: ( 1 4 det(a)k det(a QAQ) = 1 4 (ad bc)k 1 [(b c) 2 (a d) 2 ] nota: Q = = [ ] ) = (ϕ k ϕ k+1 )(e T A k 1 v)(e T A k v) ( e T A k v e T A k 1 v et A k+1 ) v e T A k (e T A k 1 v)(e T A k v) v = (e T A k v) 2 (e T A k+1 v)(e T A k 1 v). Quindi essendo (e T A k 1 v)(e T A k v) > 0, si ha che ϕ k ϕ k+1 0 se e solo se: 1 4 det(a)k det(a QAQ) = 1 4 (ad bc)k 1 [(b c) 2 (a d) 2 ] 0.

17 Problema (caso n=2) Segue che: Se (ad bc)[(b c) 2 (a d) 2 ] = 0 ϕ k = ϕ k+1 = ρ(a), k. Se (ad bc) > 0 e [(b c) 2 (a d) 2 ] 0 ϕ k monotona. In particolare: se [(b c) 2 (a d) 2 ] > 0 ϕ k decrescente se [(b c) 2 (a d) 2 ] < 0 ϕ k crescente. Se (ad bc) < 0 e [(b c) 2 (a d) 2 ] 0 ϕ k alternata.

18 Problema (caso n=2) Si è anche osservato (su diverse matrici 2 2) che potrebbe valere il seguente Lemma, che lega tra loro determinanti di particolari matrici 2 2 associate ad A k e ad A k 1. Lemma (Congettura): Si ha che: ([ e det T A k e e T A k+1 ]) e e T A k 1 e e T A k = (e T A k e) 2 (e T A k+1 e)(e T A k 1 e) e = (ad bc)[(e T A k 1 e) 2 (e T A k e)(e T A k 2 e)] ([ e = det(a)det T A k 1 e e T A k ]) e e T A k 2 e e T A k 1. e Se tale risultato fosse vero, la Proposizione precedente risulterebbe dimostrata facilmente per induzione.

19 Bibliografia [1] D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l algebra lineare, Zanichelli, (1998). [2] Gene H. Golub, Charles F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, (2013). [3] Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, (1999).