Esame di Calcolo Numerico per Informatica Prof. S. De Marchi Padova, 11 dicembre x k 1 x k 2

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1 1 Domande aperte Esame di Calcolo Numerico per Informatica Prof. S. De Marchi Padova, 11 dicembre Nel metodo di Newton per la ricerca di zeri di funzione, se non conosciamo la molteplicità della radice, come possiamo stimarla? Risposta. La stima della radice si può fare mediante la successione m k = 1 x k 1 x k 1 x k x k 1 = x x k 1 x k 1 x k x k k che al limite per k converge ad m, la vera molteplicità della radice. Vedasi libro di testo a p Si dimostri che: Dati n + 1 punti distinti x 0,..., x n e n + 1 numeri reali y 0,..., y n esiste un unico polinomio p n (x), di grado n, che interpola le coppie (x i, y i ), i = 0,..., n. Risposta. Proponiamo la seconda dimostrazione del testo a p Siano, per assurdo, p n = a 0 + a 1 x + + a n x n e q n = b 0 + b 1 x + + b n x n due polinomi interpolanti sugli n + 1 punti distinti x i i valori y i. Allora il polinomio differenza d n = p n q n = (a 0 b 0 ) + (a 1 b 1 )x + + (a n b n )x n 0 ovvero avrà tutti i coefficienti nulli, ovvero a i = b i, i da cui si conclude che i polinomi devono essere uguali. 3. Si scriva il codice Matlab che, date le coppie di punti (x i, x i ), con i = 1,..., 5 costruisce la matrice di Vandermonde V associata al vettore delle ascisse x; calcola il numero di condizionamento in norma 1 di V, i suoi autovalori e risolve il sistema lineare Va=y (con y vettore delle ordinate). Risposta Il codice richiesto consta delle seguenti 4 righe. Assumiamo di sapere i valori delle componenti del vettore x che indichiamo con x1,...,x5. x=[x1,x,x3,x4,x5]; y=x.^; V=vander(x); %costruisco la matrice di Vandermonde con la funzione Matlab k1=cond(v,1); e=eig(v); %calcolo numero di condizionamento e autovalori a=v\y; %risolvo il sistema 1

2 Esercizi 1. Data la matrice A = / 1 0 1/ 0 0 1/ 0 0 1/ (a) Il determinante di A è positivo? E gli autovalori di A sono positivi? Si giustifichi la risposta. (b) Si consideri B = A T A. È applicabile la fattorizzazione di Cholesky ad B? (c) Si determini la prima colonna della matrice di L della fattorizzazione di Cholesky. (d) facolt.: determinare la matrire L della fattorizzazione di Cholesky. (a) Il determinante della matrice vale 1/16 > 0. Ma gli autovalori non sono tutti positivi poichè la [ matrice] non è definita positiva. Infatti basta considerare il 1 1 minore A 11 = det = (b) La matrice B, per costruzione è simmetrica. Ma risulta anche definita positiva in quanto ha tutti gli autovalori che sono positivi (sono il quadrato di quelli di A). Pertanto essendo B simmetrica e definita positiva possiamoa applicare Cholesky. La matrice B risulta B = (c) Sia L tale che B = LL T con L = 9/4 1 1/ 1/ 1 5/4 0 1/ 1/ 0 1/4 0 1/ 1/ 0 1/4 allora identificando il prodotto si ottiene l l 1 l 0 0 l 31 l 3 l 33 0 l 41 l 4 l 43 l 44 l 11 = b 11 = 3/ l 1 = b 1 /l 11 = /3 l 31 = b 31 /l 11 = 1/3 l 41 = b 41 /l 11 = 1/3

3 (d) Complessivamente avremo B = 3/ /3 9/ / / /6 Si consideri la funzione f(x) = cos(x) e x per x [ 1, 1]. (a) Verificare che f ha due radici α 1 < 0 e α > 0. (b) Individuare un metodo convergente di punto fisso x k+1 = g(x k ) per calcolare α. (c) Partendo da x 0 = 0, si calcoli x 3 fornendo un approssimazione con due cifre decimali di α. (d) Tale metodo convergerebbe ancora ad α se partissimo da x 0 = 1? (a) La funzione f è definita su tutto l asse reale. Ma si vede che ha un massimo assoluto in 0 che vale 1 e Inoltre f( 1) 0.47 e f(1) 0.78 quindi esistino α 1 ( 1, 0) e α (0, 1) in cui la funzione si annulla (vedasi Fig. 1). Figure 1: Grafico della funzione f(x) nell intervallo [ 1, 1] 3

4 (b) Un metodo convergente ad α ha funzione d interazione è g(x) = arccos(ex ) Infatti g e (x) = x < 1 in tutto [ 1, 1]. 1 (e x ). (c) Partendo da x 0 = 0, si ha: x 1 0.7, x e infine x La radice α vale (d) Il metodo non converge alla radice negativa. Stimare il valore dell integrale 1 0 sin(30x) dx 0.08 con la formula dei trapezi composita e di Simpson composita sui nodi equispaziati {0, 0., 0.4, 0.6, 0.8, 1}. Quale dei due metodi da luogo ad un errore minore? Il risultato ottenuto è conforme all errore teorico? Sugg.: I pesi di quadratura sono h (1,,...,, 1) per il metodo dei trapezi e h(1, 4,, 4,...,, 4, 1) per la formula di Simpson. 3 L attenzione da porre è la seguente. Con i trapezi compositi il passo h = 0. mentre con Simpson composito, dovendo usare n 1 nodi, h = 0.1 e i punti saranno {0, 0.1, 0., 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}. Con la formula dei trapezi si ottiene I t 0.59, mentre con il seondo metodo si ha T cs 0.. Risulta quindi che l errore compiuto dalla formula di Simpson inferiore a quello della formula dei trapezi. La funzione integranda molto oscillante (vedi Fig. ), i punti di campionamento con i trapezi sono troppo pochi e non riescono ad approssimare bene la funzione. Infatti l errore con la formula dei trapezi è in modulo circa 0.6 mentre quello con Simposon è

5 Figure : Grafico della funzione sin(30x) nell intervallo [0, 1]. I punti equiaziati (o) sono quelli usati dal metodo dei trapezi composito, quelli indicati col quadrattino sono quelli usati dal metodo di Simpson 5