Analisi Numerica I - Secondo appello a.a Correzione 10 febbraio 2017

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1 Analisi Numerica I - Secondo appello a.a Correzione 0 febbraio 07 Esercizio Si consideri il sistema lineare Ax = b con A = 0 α β, α, β R b = Dire per quali valori di α e β il metodo del gradiente coniugato converge.. Fissato α = 0, dire per quali valori di β i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel convergono.. Si risolva con il metodo di Thomas il sistema ottenuto ponendo α = e β =. Risoluzione. Dovendo essere la matrice simmetrica, deve necessariamente essere α =. Inoltre dovendo essere la matrice definita positiva, tutti i minori principali devono essere positivi. Quindi si ha A = > 0 A = β 4 > 0 = β > 5 A = (β 5) > 0. Essendo la matrice tridiagonale, i due metodi convergono per gli stessi valori di β. Considero il metodo di Jacobi e calcolo autovalori di 0 / 0 B J = D (E + F ) = 0 0 /β, 0 / 0. det(b J λi) = λ λ ( β = λ λ + ) = 0 β da cui si ottiene che ρ(b J ) < β > β <, β >.. Il sistema da risolvere risulta 0 0 x = il metodo di Thomas fornisce la seguente fattorizzazione di A: L = / 0 U = 0 4/ 0 / /4 Soluzioni sistemi triangolari Ly = b y = 0 4/ 5/. Ux = y x = 8/ 0/

2 Esercizio Si vuole approssimare con il metodo di Cavalieri-Simpson il seguente integrale: I(f) = π π ( x ) cos dx.. Si determini il numero minimo di intervalli in cui suddividere l intervallo di integrazione per ottenere un errore di integrazione minore di 0.. Si calcoli l integrale con i dati del punto precedente e l errore effettivamente commesso, utilizzando 6 cifre per il calcolo. Risoluzione. Ricordando che la formula dell errore di Cavalieri Simpson è data da: E CS b a ( ) H 4 80 f IV, che b a = π, che f IV = /6 e che H = (b a)/m = π/m, si ottiene: M > ( π 80 6 Il numero minimo di intervalli risulta M =. ) /4 6 (π)4 00 = π ( ) 0 /4 9 π.5. M =, H = π, ovvero n = 6, h = π. I nodi sono x 0 = π, x = π/, x = π/, x = π I CS (f) = h [ ( f( π) + 4 f π ) ( )] π [ ( + f(0) + f + f π ) ( π )] } + f + f(π) = π ( cos π ) [ ( + 4 cos π ) ( π )] + cos(0) + cos + 9 [ ( cos π ) ( π )] ( π )} + cos + cos 6 6 =.49066[4( ) + ( )] = () E CS (f) = I(f) I CS (f) = 4 4, 007 =.7 0 < 0.

3 Esercizio Si consideri il seguente schema numerico u n+ = (α β )u n + βu n+ + h [(α + )f(t n, u n ) + βf(t n+, u n+ )], () con α, β R, per approssimare la soluzione del problema di Cauchy y (t) = f(t, y(t)) t [t 0, t 0 + T ] y(t 0 ) = y 0,. Trovare per quali valori di α e β il metodo risulta consistente e l ordine di consistenza.. Per il metodo ottenuto per il valore di α > 0, si studino le condizioni di assoluta stabilità. Risoluzione Innanzitutto, si osservi che il metodo può essere riscritto nel modo seguente u n+ = α β β u n + h β [(α + )f(t n, u n ) + βf(t n+, u n+ )] per β e risulta quindi essere un metodo ad un passo implicito.. Per lo studio della consistenza sono possibili due strade: calcolare l errore di troncamento oppure considerare il metodo come un metodo multistep con p = 0. τ n+ (h) = y n+ u n+ = y n + hy n + h h h y n + O(h ) [ α β β y n + h ]} β ((α + )y n + β(y n + hy n + O(h )) () = ( α β ) ( ) ( (α + ) + β y n + h y n + h h β β β ) } y n + O(h ) β Per avere consistenza si devono annullare in () i coefficienti di y n e y n i.e. α β β = (α + ) + β β = Dalla seconda relazione si ricava α = β e sostituendo nella prima si ha β + β = 0 da cui si ricava α = β = α = β = caso ) Il metodo diventa: u n+ = u n + hf(t n+, u n+ ) che è il metodo di Eulero all indietro, con ordine di consistenza p =. caso ) Il metodo risulta: u n+ = u n + h [f(t n, u n ) f(t n+, u n+ )]. (4) anche in questo caso l ordine di consistenza è p = in quanto nell espressione di τ n+ (h) il coefficiente di y n non si annulla.

4 . Assoluta stabilità. Per il metodo (4) si ha: u n+ = + hλ + hλ u n per cui si ha assoluta stabilità sse + hλ + hλ < + hλ < + hλ λ C: ( + hre(λ)) + 9h Im(λ) < ( + hre(λ)) + h Im(λ) 8h λ + 8hRe(λ) < 0 h < Re(λ) λ λ R : hλ < + hλ < + hλ + hλ > 0 + hλ < + hλ < hλ + hλ < 0 che equivale a: hλ > hλ < 0 hλ > hλ > 0 hλ < hλ < h < λ nessun valore di h verifica il sistema e quindi si ha assoluta stabilità per h < λ.

5 Esercizio 4 Scrivere una funzione di Matlab che implementi il seguente metodo predictor-corrector u 0 = y 0 for i =,..., N u i+ = u i + h (f i f i ) u i+ = u i + h (5f i+ + 8f i f i ) per approssimare la soluzione del problema di Cauchy y (t) = f(t, y(t)) t [t 0, t 0 + T ] y(t 0 ) = y 0, dove h = T/N, t i = t 0 + ih per i = 0,,..., N, f i = f(t i, u i ) e f i+ = f(t i+, u i+ ). Per inizializare il metodo predictor-corrector usare il seguente metodo di Runge-Kutta: u 0 = y 0 for i = 0,..., N K = f(t i, u i ) K = f(t i + h, u i + h K ) K = f(t i + h, u i + h( K + K )) u i+ = u i + h 6 (K + 4 K + K )