CALCOLO NUMERICO Laurea di base in Ingegneria Elettronica e delle Comunicazioni

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1 CALCOLO NUMERICO Laurea di base in Ingegneria Elettronica e delle Comunicazioni Prof. ssa Laura Pezza (A.A ) XXXII Lezione del laura.pezza 1

2 1. Metodo di Eulero Metodi one step espliciti: esempi y i+1 = y i + hf(x i, y i ) ordine p = 1 Errore locale di troncamento (resto della f. di Taylor) R i+1 = h2 2 y (ξ i+1 ) Metodi di ordine superiore a partire dalla formula di Taylor richiedono le derivate di f. 2. Taylor di ordine 2 y(x i+1 ) = y(x i )+... [ f x (x i, y(x i )) + f y (x i, y(x i ))y ((x i ) ] (x i+1 x i )+ R(x i+1, h), da cui y i+1 = y i + h [f x (x i, y i ) + f y (x i, y i )f(x i, y i )] Errore locale di troncamento R i+1 = h3 6 y (ξ i+1 ) p = 2 2

3 Costo computazionale = numero di valutazioni di funzioni Metodi basati sulla formula di Taylor ordine costo computazionale Il costo computazionale cresce molto velocemente. è uguale la costo com- E possibile avere metodi il cui ordine putazionale? Come costruire metodi di ordine p > 1, in cui invece delle derivate si usano valori della funzione? 3

4 Una struttura particolare: y i+1 = y i + h r j=1 a j k j (x i, y i ; h) k 1 = k 1 (x i, y i ; h) = f(x i, y i ) k j = f(x i + hα i, y i + h j 1 l=1 λ j,l k l ) Tecnica di costruzione: si sviluppa in serie di punto iniziale x i, y i e si confronta con il metodo di Taylor di ordine prefissato. Si ottiene una classe di metodi conosciuti come metodi di Runge- Kutta (a r stadi) 4

5 Metodo di Heun o Runge-Kutta di ordine p = 2 y i+1 = y i + h(k 1 + k 2 ) k 1 = f(x i, y i ), k 1 = f(x i+1, y i + h k 1 ) Metodo di Runge-Kutta classico ordine p = 4 y i+1 = y i + 6 h (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) k 1 = f(x i, y i ) k i = f(x i + 2 h, y i + 2 h k i 1), i = 2, 3 k 4 = f(x i+1, y i + h k 1 ) 5

6 Un altro modo per ottenere il metodo di Heun Integrando e applicando la formula del trapezio: y(x i+1 ) = y(x i ) + xi+1 x i f(x, y(x) dx = y(x i ) + h 2 [ f(xi, y(x i )) + f(x i+1, y(x i+1 )) ] h3 12 M i (conferma che è p = 2) Algoritmo trascurare il resto approssimarey(x j ) y(x i ) y i y(x i+1 ) y i + hf(x i, y i ) ( metodo di Eulero) y i+1 = y i + h [ f(x i, y i ) + f(x i+1, y i + hf(x i, y i )) ] k 1 k 2 6

7 Ordine e Costo computazionale nei m. Runge-Kutta p = r r = 1, 2, 3, 4 p = r 1 r = 5, 6, 7 p = r 2 r = 8, 9 p r 2 r 10 quindi metodi di ordine elevato sono poco efficienti. Il metodo classico è il più usato. 7

8 Esempio Problema di Cauchy: y (x) = y x, x [0, 2], y(0) = 2 Soluzione esatta: y(x) = e x + x y 10 9 Metodo di Heun 8 7 Metodo di R K classico 6 5 Metodo di Eulero x 4.5 Grafico della soluzione 8

9 Metodo di Eulero Metodo di Heun Metodo di R K classico x 4.8 Grafico dell errore

10 Convergenza dei metodi one-step Struttura dell algoritmo: y i+1 = y i + hψ(x i, y i ; h) Supponiamo che il metodo sia consistente. Espressione dell errore locale di troncamento: R i+1 = ht (x i+1 ) Errore di troncamento unitario Teorema Ipotesi: i 1 Sia il metodo consistente i 2 Ψ C 0 (D); i 3 Ψ(x, u; h) Ψ(x, v; h) L Ψ u v ( Ψ Lipschitziana rispetto a y) i 4 (x i, y i ) D, i T = max x i I T (x i). e i T L Ψ ( e L Ψ (x i x 0 ) 1 ) 9

11 Dim. e i+1 = y(x i+1 ) y i+1 = y(x i ) + hψ(x i, y(x i ); h) + ht (x i ) y i hψ(x i, y i ; h) e i+1 e i + hl Ψ e i + ht = (1 + hl Ψ ) e i + ht (1) 1. Per induzione: e i T L Ψ [ (1 + hlψ ) i 1 ] (2) base dell induzione i = 1 e 0 = 0 (y(x 0 ) = y 0 ) (1) e 1 ht = T L Ψ [ (1 + hlψ ) 1 1 ] (2) è vera 10

12 Ip. induttiva e j T L Ψ [ (1 + hlψ ) j 1 ] j = 1,..., i e i+1 (1 + hl Ψ ) e i + ht (1 + hl Ψ ) T T (1 + hl Ψ ) i+1 (1 + hl Ψ ) T L Ψ e i+1 T L Ψ (1 + hl Ψ ) i+1 T L Ψ L Ψ L Ψ + ht e t = 1 + t + t 2 / t e t (1 + t) i e it [ (1 + hlψ ) i 1 ] + ht = e i+1 T L Ψ [ e hl Ψ (i+1) 1 ] ma h(i + 1) = x i+1 x 0 e si ha la tesi. 11

13 Metodo di Eulero (Convergenza) R i+1 = h2 2 y (ξ i ) (y sufficientemente regolare) T = h 2 M 2, M 2 = max y (x), Ψ = f L Ψ = L e i hm 2 2L [ e L(x i x 0 ) 1 ] Il metodo converge per h 0 e x i x 0 = ih =costante. 12

14 Definizione Un metodo è consistente se lim h 0 T (x i ) = R i h = 0 Metodi one-step: y(x i+1 ) = y(x i ) + hψ(x i, y(x i ); h) + R i T (x i+1 ) = y(x i+1) y(x i ) Ψ(x i, y(x i ); h) }{{ h } h 0 y (x) = f(x, y(x)) T (x i+1 ) 0 lim Ψ(x, y; h) = f(x, y) h 0 Condizione di consistenza 13

15 Teorema(Convergenza) f C 0 (D), f Lipschitziana rispetto a y (Teorema di Cauchy) i 1 Ψ C 0 (D); i 2 Ψ è di Lipschitz rispetto alla variabile y i 3 Ψ verifica la condizione di consistenza i 4 y i(h) y 0 η, per h h 0, allora il metodo onestep converge per h 0 nel senso y i(h) y( x), x = x i(h) 14

16 Un osservazione Riprendiamo la maggiorazione dell errore, e i el(x i x 0 ) 1 L 2 h, h fissato. Problema Come si propagano gli errori per i +? Si mantengono limitati? Si può assicurare che la soluzione numerica {y i } segua la soluzione analitica y(x), quando ci si allontana da x 0?. Nella maggiorazione compare e L(x i x 0 ) 1 (esponenziale crescente con x i x 0 ): bisogna aspettarsi che non sempre le cose vadano bene. ( M ) 15

17 Esempio y = 2x 2 x x2 1 x(x 2 y, y(2) = 0, 1) h = 0.1 x i Eulero Heun R-K classico e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

18 h = 0.05 x i Eulero Heun R-K classico e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

19 y 0 i+1 = m j=0 α j y i j + h Metodi predictor-corrector n j=0 β j f(x i j, y i j ) = = Φ(y i, y i 1,..., y i r ; h) predictor, m. esplicito y k i+1 = m j=0 α j y i j + h n j=0 β j f(x i j, y i j ) + hβ 1 f(x i+1, y k 1 i+1 ) = = Ψ(y k 1 i+1, y i, y i 1,..., y i s ; h) corrector, m. implicito Corrector metodo del punto unito, y i+1 = punto fisso di Ψ(y i+1, ) ( funzione di iterazione) Punto iniziale: y 0 i+1 ottenuto dal predictor. lim k yk i+1 = y i+1? 18

20 Si ricorre al Teorema del punto fisso : fisso ξ per z k = g(z k 1 ): C.S. di convergenza al punto g (z) γ, γ (0, 1) o più in generale se g(z ) g(z ) γ z z Ψ(z, ) Ψ(z, ) = hβ 1 f(x i+1, z ) hβ 1 f(x i+1, z ) = = h β 1 f(x i+1, z ) f(x i+1, z ) h β }{{} 1 L z z f Lipschitziana Il corrector verifica la condizione di contrazione se γ = h β 1 L < 1 19

21 Teorema Se f verifica la condizione di Lipschitz ripetto a y, il procedimento iterativo dato dal corrector converge se il passo h verifica la limitazione h < 1 β 1 L Quindi pur di prendere h sufficientemente piccolo, almeno in teoria, il procedimento iterativo basato sul corrector converge. 20

22 Modalità di applicazione Criteri d arresto del procedimento iterativo yi+1 k = Ψ(yk 1 i+1, ): quelli visti per i metodi iterativi. Numero massimo di iterate: deve essere ragionevolmente piccolo (il metodo perde competitività ) quindi si itera per 3/4 volte: se non viene raggiunta l accuratezza prefissata, si riduce il passo h e si ricomincia. Poichè il metodo è multistep (escluso il caso di Eulero modificato) il cambio di passo comporta il calcolo delle nuove coordinate d innesco. Se l approssimazione iniziale fornita dal predictor è sufficientemente accurata, in genere, basta una iterata per raggiungere un accuratezza anche buona. 21

23 Esempi 1. Metodo di Eulero modificato p = 2 y i+1 = y i + hf i Predictor yi+1 k = y i + h ( fi + f(x i+1, y k 1 2 i+1 )) Corrector 2. Metodo di Adams (Bashforth-Moulton) p = 3 y i+1 = y i + 12 h ( ) 23fi 16f i 1 + 5f i 2 Predictor y k i+1 = y i + h 12 ( 8fi f i 1 + 5f(x i+1, y k 1 i+1 )) Corrector 2. Metodo di Milne p = 4 y i+1 = y i + 4h ( ) 3 2fi f i 1 + 2f i 2 Predictor yi+1 k = y i + h ( fi + 4f i 1 + f(x i+1, y k 1 3 i+1 )) Corrector 22

24 Un esempio di comportamento delle approssimazioni y = 3(x y) + 1, y(0) = 1 Metodi a confronto, entrambi con p = 2 y i+1 = y i 1 + 2hf i (punto centrale) y i+1 = y i + h 2 (k 1 + k 2 ) (Heun) k 1 = f i, k 2 = f(x i+1, y i + h k 1 ) 23

25 2.5 punto centrale 2 R K 2 y(x)=exp( 3x)+x Grafico della soluzione 24

26 punto centrale R K Grafico dell errore Nel metodo basato sulla f. soluzione! del punto centrale l errore domina la

27 Il comportamento cambia se si aumenta l ordine? Metodi a confronto, entrambi con p = 4 y i+1 = y i 3 + 4h ( ) 3 2fi f i 1 + 2f i 2 (aperta a 3 nodi) y i+1 = y i + h 24 ( 55fi 59f i f i 2 9f i 3 ) (Adams-Bashforth) 25

28 2.5 y(x)=exp( 3x)+x 2 aperta a 3 nodi Adams Bash Grafico della soluzione 26

29 0.15 Errore aperta a 3 nodi Errore Adams Bash y(x)=exp( 3x)+x Grafico dell errore Anche nel metodo basato sulla f. aperta l errore domina la soluzione. Il fenomeno si verifica solo più tardi rispetto al caso precedente.