Calcolo Numerico Laurea di base in Ingegneria Elettronica, Ingegneria delle Comunicazioni

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1 Calcolo Numerico Laurea di base in Ingegneria Elettronica, Ingegneria delle Comunicazioni Prof.ssa Laura Pezza (A.A ) III Lezione del laura.pezza 1

2 I metodi iterativi Caratteristica comune cercano la soluzione numerica del problema calcolando successive approssimazioni a partire da una approssimazione iniziale. Ad ogni passo del metodo iterativo si vuole ottenere una stima della soluzione più accurata di quella calcolata nel passo precedente, potendo ottenere la soluzione del problema con un numero infinito di passi. Si ottiene, quindi, un approssimazione della soluzione affetta da un errore di troncamento Molti metodi iterativi si basano su formule ricorsive: la conoscenza delle proprietà e il controllo della ricorsione diventano un problema cruciale. 2

3 Equazioni non lineari Il problema: determinare le soluzioni o radici, dell equazione non lineare f(x) = 0 cioè quei valori ξ tali che f(ξ) = 0 (zeri della funzione ). Idea base dei metodi numerici: costruire una successione {x k } tale che lim x k = ξ k Si assume come approssimazione di ξ il valore x N, per un certo indice N, finito, opportunamente individuato. Generalmente per costruire {x k } si usano tecniche ricorsive. 3

4 I passi per risolvere numericamente il problema I. Separazione delle radici: per gestire la legge che genera la successione {x n } occorre sapere (in maniera più o meno accurata) la dislocazione degli zeri di f II. Costruzione della successione {x n }: si tratta di scegliere la legge per generare la successione in modo da garantire la convergenza a ξ; in pratica si vorrebbe anche una convergenza veloce III. Scelta dei criteri d arresto: poichè l algoritmo iterativo è infinito, si deve troncarlo, opportunamente. 4

5 Separazione delle radici Ipotesi di base: l equazione f(x) = 0 ha una (almeno) soluzione ξ separare una radice= determinare un intervallo (di separazione) [a, b] tale che: - f C[a, b] - ξ [a, b] - ξ è l unica radice dell equazione in [a, b] 5

6 Determinare [a, b] per via grafica a) si individuano gli intervalli in cui il grafico della curva y = f(x) attraversa l asse delle x b) si pone f(x) = 0 nella forma equivalente f 1 (x) = f 2 (x), si individuano i punti di intersezione delle curve y = f 1 (x) e y = f 2 (x) e di conseguenza [a, b]. per tabulazione della funzione: [a, b] è tale che f(a)f(b) < 0 (Teorema degli zeri ) ed è monotona. MA... in ogni caso è necessaria una analisi qualitativa dell equazione (per decidere in quali intervalli eseguire i grafici o la tabulazione). 6

7 Separazione delle radici: esempio 1 f(x) = x 2 e x 1 = 0 f 1 (x) = e x = x 2 1 = f 2 (x). Analisi preliminare: e x > 0, x possono esistere radici solo per x > 1 f 1 (1) = e > f 2 (1) = 0, ma l esponenziale tende all infinito più velocemente di ogni potenza l equazione non ha radici positive 7

8 Per x < 0: f(0) < 0, lim f(x) = + x f (x) = 2x e x < 0 (f monotona) esiste una sola radice negativa y=x 2 1 y=e x

9 Separazione delle radici: esempio 2 f(x) = x 3 4 sin x = 0 Analisi preliminare: x = 0 è una radice f( x) = f(x), funzione dispari: se ξ > 0 è uno zero ξ è uno zero basta studiare l equazione per x > 0 sin x 1 f(x) X 3 4 > 0, x > > π/ quindi un eventuale radice puo stare solo in (0, 3 4] 9

10 Se si vuole restringere l intervallo si può procedere per tabulazione da pi/2 invece che da 0: f(1.587).55e 3 > 0 (lo zero è molto prossimo a 1.587) f(π/2).12 < 0 ξ [π/2, 3 4] Si osservi che quando si parla di separare gli zeri di f non si richiede che l intervallo sia piccolo ; tuttavia in molte circostanze è opportuno o necessario affinare l intervallo di separazione. 10

11 Separazione delle radici: esempio 3 f(x) = cos x xe x = 0 g(x) = cos x = xe x = h(x) Analisi preliminare: cos x 1 eventuali radici si hanno per x tale che xe x 1 Per x > 0 h(x) > 0 e crescente; h(x) > 1, x > 1 possono esistere radici positive solo in [0, 1]; se esiste una radice è unica perchè g(x) è decrescente in [0, 1] Per tabulazione: f(0) = 1 > 0, f(1) = 2.18 < 0! ξ [0, 1] 11

12 Per x < 0 h(x) < 0 e h(x) 0, x (e x è un infinitesimo di ordine superiore alla potenza) esistono infinite radici negative. Le radici devono cadere negli intervalli in cui cos x < 0 ovvero in [ 3π/2, π/2], [ 7π/2, 5π/2], [ 11π/2, 9π/2], y=cos x y=xe x

13 In particolare si deduce dal grafico (o per tabulazione)che ξ 1 [ π, π/2] ξ 2 [ 3π/2, π] ξ 3 [ 3π, 5π/2] ξ 4 [ 7π/2, 3π] Come si comportano le radici negative ξ j per j? Le radici ξ k per k crescente, che si allontanano dall origine, sono sempre più prossime ai punti di annullamento della funzione cos x. Si poteva prevedere tale comportamento senza eseguire il grafico? 13

14 Costruzione della successione: il metodo di bisezione Il metodo di bisezione o dicotomico si basa sul Teorema degli zeri. Ipotesi di applicabilità : i 1 E dato un intervallo, I = [a, b], di separazione della radice ξ di f(x) = 0 i 2 f(a)f(b) < 0. i 1 f C[a, b] e ξ è l unica radice in [a, b] i 2 ξ ha molteplicità dispari. 14

15 Step 1. Calcolare, x = (a + b)/2, (punto medio dell intervallo) Step 2. Se f(x ) 0 ( f(x ) = 0 x = ξ soluzione ), allora [a 1, b 1 ] = [x, b] se f(a)f(x ) > 0 [a, x ] se f(a)f(x ) < 0 I passi precedenti si applicano quindi di nuovo all intervallo [a 1, b 1 ] e poi iterativamente. 15

16 Oss. si preferisce usare sempre f(a) per irdurre il costo computazionale.

17 f(x) x 1 ξ x2 x a a 0 2 =a 1 b 2 b 1 =b 0 b 1 a 1 = b a 2, b 2 a 2 = b 1 a 1 2 = b a 2 2, 16

18 Il metodo costruisce quindi le successioni Proprietà delle successioni p 1 a k a k 1, b k b k 1, k p 2 p 3 a 0 = a, b 0 = b {a k }, {b k }, {x k }, k > 0 a k ξ b k, k elemento separatore b k a k = b a 2 k {a k }, {b k } (monotone, limitate) a k approssimazioni per difetto b k approssimazioni per eccesso 17

19 Convergenza del metodo di bisezione Errore di troncamento: e k = x k ξ e k = x k ξ < b k a k = b a 2 k 0 (Convergenza) Ordine di convergenza: e k+1 = 1 2 e k (asintoticamente) Ordine p = 1, costante asintotica C = 1 2 Ad ogni passo l errore viene dimezzato, = ad ogni passo si guadagna una cifra binaria per guadagnare una cifra decimale servono 3-4 iterazioni. 18

20 Stima del numero di iterate e k b a 2 k e k ε se (C.S.) b a 2 k ɛ k log(b a) log(ɛ) log 2 Condizione d arresto b k a k < ε, ε tolleranza prefissata. 19

21 Esempio f(x) = x 3 x 1, [a, b] = [1, 2] Stima delle iterate: ɛ = 10 8 : 2 k 10 8 k 26.6 a 26 = < ξ < = b 26 x = , e 27 = 0.75e 08, f(x 27 ) = 0.17e 07 Oss. A volte la stima teorica puo essere pessimistica rispetto all applicazione. 20

22 Esercizio Data l equazione f(x) = x 3/2 2 log(x ) = 0 I. Separare le radici con un intervallo di ampiezza non superiore a 0.5 II.Stimare quante iterate sono sufficienti per ottenere un approssimazione alla 10 cifra decimale della radice maggiore con il metodo di bisezioni. I. f(x) = 0 f 1 (x) = x 3/2 = 2 log(x ) = f 2 (x), x 0. f 1, f 2 entrambe crescenti, f 1 > 0, x > 0, f 2 (0) < 0 21

23 Caso a: la potenza si mantiene sempre aldi sopra del logaritmo 5 Caso b: se la potenza incontra il logaritmo in un punto, allora gli due zeri sono necessariamente due f 1 è sempre sopra f 2 : non ci sono radici f 1 incontra f 2 in un punto: allora ci sono necessariamente 2 radici Per tabulazione si individuano le variazioni di segno: f(0) = 2 log 0.6 > 0, f(1.5) 0.2 < 0, f(3) 0.7 > 0 quindi esiste una radice ξ 1 [0, 1.5] e una radice ξ 2 [1.5, 3] 22

24 Affinamento dell intervallo (ampiezza 0.5) - Radice ξ 1 : f(0) > 0, f(1) > 0 ξ 1 [1, 1.5] - Radice ξ 2 : applichiamo bisezioni (f(1.5) < 0, f(3) > 0) n a k ( ) b k (+) x f(x ) Segue ξ 2 [2.25, 2.625] = [a 2, b 2 ] e b 2 a 2 = < 0.5. II. Stima del numero di iterate b a 2 k k log 2 log ( ) k