Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A )

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1 Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A ) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Equazioni non lineari

2 Docente Vittoria Bruni Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel Ricevimento: consultare la sezione Avvisi della pagina web dedicata al corso Testi consigliati: Calcolo Numerico, L. Gori, Ed. Kappa, 2006 Esercizi di Calcolo Numerico, L. Gori-M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Ed. Kappa, 2007 Il materiale didattico è disponibile sul sito nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione 1

3 Equazioni non lineari 2

4 Problema 1 La traiettoria di un satellite che orbita intorno alla terra è data dalla seguente equazione R(θ) = C 1 + esin(θ + α) dove (R, θ) sono le coordinate polari del satellite, C, e ed α sono tre costanti (e è nota come eccentricità dell orbita). Sapendo che il satellite è stato osservato nelle seguenti tre posizioni θ -30 o 0 o 30 o R(km) si vuole determinare la distanza minima del satellite dalla terra e l angolo corrispondente. 3

5 Si verifica facilmente che il valore minimo di R è 1+e e si realizza in corrispondenza dell angolo θ = π 2 α. Per poter determinare il valore minimo di R e l angolo θ è quindi necessario determinare il valore delle tre costanti C, e, α usando le tre posizioni del satellite note, cioè C C 1+esin(α 30) = 6870 C 1+esin(α) = 6728 C 1+esin(α+30) = 6615 che risulta essere un sistema di equazioni non lineari nelle tre incognite C, e ed α. Infatti, risulta dr dθ = 0 ecos(θ + α) (1 + esin(θ + α)) 2 = 0 θ = π 2 α per sin(θ + α) 1 e. Da cui R(π 2 α) = C 1+e. 4

6 Problema 2 Si vuole determinare la parte sommersa di una boa sferica di raggio R = 0.055m e densità ρ B = 0.6Kg/m 3 Indicando con F ρ la spinta idrostatica, con M B la massa della boa sferica, g l accelerazione di gravità e ρ w (= 1Kg/m 3 ) la densità dell acqua, si ha M B g = F ρ e quindi ( 4 3 πr3 ρ B g = πx 2 R π ) ρ w g 3 5

7 da cui x 3 3x 2 R + 4R 3 ρ B = 0. Per calcolare il valore di x è necessario risolvere un equazione non lineare L equazione da risolvere è la seguente x x = 0. 6

8 Problema 3 La crescita di una popolazione può essere modellata, su un periodo di tempo piccolo, assumendo che la popolazione abbia un tasso di crescita proporzionale al numero di individui presenti in ciascun istante. Se N(t) indica il numero di individui al tempo t e λ è il fattore di crescita della popolazione, allora N(t) soddisfa l equazione differenziale dn(t) dt = λn(t), la cui soluzione è N(t) = N 0 e λt, dove N 0 indica la popolazione all istante di tempo iniziale, cioè N 0 = N(t 0 ). Questo modello è valido solo quando la popolazione è isolata e non c è immigrazione dall esterno. Se si suppone che ci sia una immigrazione a un tasso costante ν, il modello differenziale diventa dn(t) dt = λn(t) + ν la cui soluzione è N(t) = N 0 e λt + ν λ (eλt 1). Supponendo che la popolazione iniziale sia di un milione di individui, che la comunità cresca di immigrati il primo anno e che individui siano presenti alla fine del primo anno, determinare il tasso di crescita λ della popolazione. 7

9 E necessario risolvere l equazione non lineare N t=1 anno = N 0 e λ + ν λ (eλ 1) nell incognita λ, con N t=1 anno = , N 0 = , ν = q f(λ) = e λ λ (eλ 1) = 0 8

10 Problema 4 Le frequenze naturali ω i di una trave uniforme a sbalzo, di massa m e lunghezza L, sono legate agli zeri β i della seguente funzione dove f(β) = cosh(β)cos(β) + 1, β i = (2πω i ) ml3 EI E rappresenta il modulo di elasticità mentre I è il momento di inerzia della sezione trasversale. Determinare le due frequenze più basse di una trave di acciaio lunga 0.9m e avente una sezione trasversale rettangolare larga 25mm e alta 2.5mm. La densità di massa della trave è 7850Kg/m 3 e il modulo di elasticità è 200GP a 9

11 Sistemi di equazioni non lineari Un sistema di equazioni non lineari può essere scritto nella forma f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0 La soluzione del sistema è il vettore Ξ = [ξ 1, ξ 2,..., ξ n ] T le cui componenti annullano simultaneamente le n equazioni del sistema. Supporremo che le funzioni f i : D R n R, i = 1,..., n, siano almeno continue in D Oss: Nel Problema 1, n = 3 e [x 1, x 2, x 3 ] T = [C, e, α] T. Nei Problemi 2,3,4, n = 1 e si ha rispettivamente [x 1 ] T = [x] T, [x 1 ] T = [λ] T e [x 1 ] T = [β i ] T. 10

12 Caso n = 1: equazioni non lineari Un equazione non lineare è un equazione del tipo f(x) = 0 Le soluzioni ξ dell equazione, cioè quei valori tali che f(ξ) = 0, vengono chiamati radici dell equazione non lineare o zeri della funzione f. Ci limiteremo al caso di radici reali. 11

13 Separazione delle radici Prima di utilizzare un metodo numerico bisogna sapere: quante sono le radici (reali); dove si trovano approssimativamente; se ci sono delle simmetrie. Per rispondere a queste domande si può ricorrere alla tabulazione o al grafico della funzione f. 12

14 Problema 3: separazione grafica delle radici f(λ) = e λ λ (eλ 1) = 0 Separazione grafica: si traccia il grafico della funzione e si individuano gli intervalli in cui la funzione interseca l asse delle ascisse. 13

15 In questo caso, la funzione f risulta definita e continua in R {0}. Inoltre, da uno studio preliminare di f nel semiasse positivo, si ha lim λ 0 f(λ) < 0 lim λ + f(λ) = + f (λ) = e λ ( λ 1 crescente ) λ λ 2 > 0, cioè la funzione è monotona e quindi si può concludere che f ha un unico zero ξ nel semiasse positivo. 14

16 f(λ) ξ λ Osservando il grafico tracciato è possibile individuare un intorno di ξ; per esempio Intervallo di separazione: I = [a, b] = [0.05, 0.15] qquad f(a) = , f(b) = f(a)f(b) < 0 15

17 Problema 3: separazione delle radici - tabulazione f(λ) = e λ λ (eλ 1) = 0 Si valuta la funzione in corrispondenza di valori equidistanti della variabile λ in un certo intervallo e si osserva il segno dei valori ottenuti: λ f(λ) Intervallo di separazione: I = [a, b] = [0.10, 0.12] qquad f(a) = , f(b) = f(a)f(b) < 0 16

18 Separazione delle radici: esempio Equazioni polinomiali: p 4 (x) = x 4 + 2x 3 + 7x 2 11 = p 4 (x) 20 p 4 (x) ξ 1 ξ x x Restringendo l intervallo di osservazione si identificano meglio le due radici reali Delle 4 radici di p 4 (x) due sono reali, ξ 1 [ 1.5, 1] e ξ 2 [0.75, 1.25], mentre due sono complesse coniugate. 17

19 Separazione delle radici: esempio 2 Equazione trascendente: f(x) = tgx(1 cos x) 2 = 0 L equazione f(x) = 0 si può riscrivere come 1 cosx = 2cotgx. In questo modo è possibile risolvere il problema equivalente h(x) = g(x) corrispondente a determinare i punti di intersezione delle funzioni h(x) = 2cotgx e g(x) = 1 cosx h(x)=2cotg(x) 0 g(x)=1 cos(x) Esistono infinite soluzioni ξ k (kπ, (2k + 1) π 2 ), k Z 18

20 Separazione delle radici: esempio 3 Equazione trascendente: f(x) = cos x cosh x 1 = 0 La funzione f(x) è simmetrica rispetto all origine se ξ è radice lo è anche ξ si considera il caso x > 0 (ξ = 0 è radice banale) Nota cosh(x) = ex +e x 2. 19

21 Metodo di bisezione (o metodo dicotomico) Il metodo di bisezione è un metodo molto semplice: una volta individuato un intervallo di separazione in cui si trova una sola radice, permette di costruire una successione {x k } di approssimazioni di ξ. 20

22 Ipotesi di applicabilità : è stato separato un intervallo I = [a, b] in cui c è un unica radice ξ; la funzione f è continua in I: f C 0 [a, b]; f(a)f(b) < 0. f(x) ξ a x b 21

23 Metodo di bisezione: algoritmo Si genera una successione di approssimazioni {x k } con x k [a k 1, b k 1 ] e ξ [a k 1, b k 1 ]. f(x) x 1 x 3 ξ x2 Algoritmo: a 0 = a, b 0 = b per k = 1, 2, 3,... a a 0 2 =a 1 b 2 b 1 =b 0 per x k = a k 1+b k 1 2 (punto medio di [a k 1, b k 1 ]) per se f(x k ) = 0, allora stop per se f(a k 1 )f(x k ) < 0, allora [a k, b k ] = [a k 1, x k ] per se f(x k )f(b k 1 ) < 0, allora [a k, b k ] = [x k, b k 1 ] x 22

24 Convergenza del metodo di bisezione Errore di troncamento: e k = ξ x k è l errore che si commette approssimando la radice ξ con il k-esimo elemento della successione costruita usando l algoritmo descritto precedentemente. Il procedimento iterativo converge alla radice ξ se la successione {x k } converge a ξ per k + Convergenza: lim x k = ξ k lim e k = 0 k 23

25 Per il metodo di bisezione si ha q q a k 1 x k ξ b k 1 Alla k esima iterazione ξ [x k, b k 1 ] oppure ξ [a k 1, x k ]. Ne segue che e k < b k 1 a k 1 2. Inoltre, considerando che l ampiezza dell intervallo [a k 1, b k 1 ] è pari alla metà dell ampiezza dell intervallo [a k 2, b k 2 ] costruito all iterazione precedente, si ha e quindi e k < b k 1 a k 1 2 = b k 2 a k = = b a 2 k 0 lim k e k < lim k b a 2 k = 0 24

26 Ordine di convergenza Sia {x k } una successione di approssimazioni convergente a ξ. La successione ha ordine di convergenza p e fattore di convergenza C, se esistono due reali p 1 e C > 0 tali che e lim k+1 k e k p = C Nota. La convergenza si dice lineare se p = 1, Nota. quadratica se p = 2. 25

27 Metodo di bisezione: ordine di convergenza Per k si ha e k+1 e k 1 b a 2 k+1 b a 2 k = 2k 2 k+1 = 1 2. Ordine di convergenza: 1 (lineare) Fattore di convergenza: 1 2 La convergenza è lenta, in quanto ad ogni passo l errore viene dimezzato, cioè ad ogni passo si guadagna una cifra binaria poiché 2 4 < 10 1 < 2 3, per guadagnare una cifra decimale servono 3-4 iterazioni. 26

28 Metodo di bisezione: criteri di arresto Nella pratica, a causa degli errori di arrotondamento e degli errori di troncamento non si verifica mai che f(x k ) = 0. Quando si arrestano le iterazioni? Criteri di arresto a posteriori e k x k x k 1 < ε f(x k ) < ε 27

29 Criteri di arresto a posteriori: esempi e k x k x k 1 < ɛ oppure f(x k ) < ɛ f(x) ξ x k x k ξ f(x) a x b f(x k ) è grande anche se x k è vicino a ξ a f(x k ) è piccolo anche se x k è lontano da ξ x b 28

30 Criterio di arresto a priori: Usando l espressione dell errore di troncamento, è possibile dare una stima a priori del numero di iterazioni K necessario per ottenere un errore minore di ε. Infatti, risulta e k < b a 2 k < ε K > log(b a) log(ε) log 2 Oss.: Poichè K deve essere un numero intero positivo, può essere posto uguale all intero più grande e più vicino alla quantità a secondo membro dell ultima disequazione. 29

31 Soluzione Problema 3 Si vuole usare il metodo di bisezione per calcolare la radice dell equazione f(λ) = e λ λ (eλ 1) = 0 in I = [a, b] = [0.05, 0.15] k a k 1 b k 1 x k x k x k 1 f(x k )

32 Dalla tabella è possibile osservare che se si sceglie ε = e si usa come criterio di arresto f(x k ) < ε, il procedimento iterativo si interrompe quando k = 9. Scegliendo come criterio di arresto x k x k 1 < ε, il procedimento iterativo si arresta quando k = 11. E possibile osservare che per k = 11 è soddisfatta anche la condizione f(x k ) < ε. Usando, invece, il criterio di arresto a priori, si ha cioè K 11, K > log 2 (0.10) log 2 ( )

33 Esercizio 1 Esempio (Libro) Stabilire quante radici ammette l equazione f(x) = log(x + 1) + x = 0. La funzione è definita e continua nell intervallo ( 1, + ). Inoltre lim x 1 f(x) = < 0, lim x + f(x) = + > 0. Pertanto, se lo zero esiste, allora è unico. Poichè f (x) = x > 0, la funzione è monotona nel suo x+2 dominio di definizione e quindi ha un unico zero in ( 1, + ). Infine, si osserva che x 0 f(x) > 0, quindi lo zero di f sicuramente appartiene all intervallo ( 1, 0]. 32

34 Scegliendo come Intervallo di separazione: I = [a, b] = [ 1/2, 0] e applicando il metodo di bisezione si ha x 1 = a 0+b 0 f(a 0 ) = f(b 0 ) = f(x 1 ) = = 1/2 2 = 1 4 a 1 = a 0 b 1 = x 1 x 2 = a 1+b 1 f(a 1 ) = f(b 1 ) = f(x 2 ) = = 1/2 1/ = 3 8 a 2 = x 2 b 2 = b 1 k x k f(x k ) ξ x k

35 Dopo 9 iterazioni, l approssimazione prodotta produce un errore dell ordine di 10 3 Il numero di iterazioni K necessarie affinchè la soluzione prodotta sicuramente abbia una certa precisione ε può essere stimato prima di eseguire le iterazioni nel modo seguente: con ε = da cui cioè K 10. K log 2 (b a) log 2 (ε) K > log 2 (0.5) log 2 ( ) Il valore di K stimato assicura che l errore tra due approssimazioni successive sia inferiore alla tolleranza fissata. Ovviamente, poichè K deriva da una stima superiore dell errore di troncamento, può accadere che il metodo raggiunga la precisione richiesta con un numero di iterazioni inferiore al valore K stimato usando la stima a priori. 33

36 Esercizio 2 Si consideri f(x) = x 3 10x Verificare che uno degli zeri di f(x) è contenuto nell intervallo I = [a, b] = [0.6, 0.8]. Indicando con ξ lo zero isolato al punto precedente, dare una stima del numero di iterazioni necessarie per avere una approssimazione di ξ con almeno quattro decimali esatti usando il metodo di bisezione. Verificare che ξ

37 Soluzione f(x) è una funzione continua in R. Si verifica facilmente che f(0.6) > 0 e f(0.8) < 0; inoltre f (x) = 3x 2 20x = x(3x 20) 0 x 0 x 20 3 > 6, quindi f(x) è sicuramente monotona decrescente in I = [0.6, 0.8]. Ne segue che esiste una sola radice di f in I. Per stimare il numero di iterazioni necessarie K si usa il criterio di arresto a priori, cioè K > log 2 (b a) log 2 (ɛ) In questo caso: a = 0.6, b = 0.8, ɛ = e quindi K > log 2 (0.2) log 2 ( ) = log 2 ( 2 10 ovvero K )

38 Applicando l algoritmo di bisezione si ha k a k 1 b k 1 x k x k x k 1 f(x k )

39 Esercizio 3 Si consideri f(x; λ) = e x 2x λ, con λ R. Determinare per quali valori del parametro λ la funzione f(x) ammette un unico zero nell intervallo [0, 1]. Posto λ = 1, dare una stima del numero di iterazioni necessarie per avere un approssimazione dello zero ξ con almeno tre decimali esatti usando il metodo di bisezione. 37

40 Soluzione f(x; λ) C (R). Inoltre, f (x; λ) < 0, esiste, allora è unico. x R. Pertanto, se lo zero Poichè f(0)f(1) < 0 (1 λ)(1/e 2 λ) < 0 segue che f(x; λ) ammette uno zero per valori di λ I = ( 1 e 2, 1 ). Si osserva che 1 I e che le condizioni di applicabilità del metodo di bisezione sono verificate; dunque, applicando la condizione di arresto a priori si ha Pertanto, K 11. K > log 2 (1 0) log 2 ( )

41 Esercizio 4 La velocità v del razzo Saturno V in volo verticale vicino la superficie terrestre può essere approssimata come segue M 0 v(t) = ulog M 0 mt gt con u = 2510m/s velocità del razzo al momento del lancio M 0 = Kg massa del razzo al momento del lancio m = Kg/s tasso di consumo di carburante g = 9.81m/s accelerazione di gravità t tempo trascorso dal lancio. Determinare l istante di tempo in cui il razzo raggiunge la velocità del suono ( 335m/s) con precisione al millesimo di secondo. 39

42 Esercizio 5 Scrivere il diagramma di flusso dell algoritmo di bisezione con criterio stima a priori Scrivere il diagramma di flusso dell algoritmo di bisezione con criterio stima a posteriori 40

43 Metodi di linearizzazione Metodo babilonese o Metodo di Erone: fornisce un algoritmo iterativo (formulato già intorno al 1700 a.c.) per il calcolo della radice quadrata di un numero a: 1. scegliere un numero x 0 prossimo a a 2. dividere a per x 0 3. calcolare la media tra x 0 e a x 0, cioè x 1 = 1 2 ( x0 + a x 0 ) 4. ripetere i passi 2 e 3 dopo aver posto x 0 = x 1 L algoritmo si può schematizzare come segue x 0 x n = 1 2 dato ( x n 1 + ) x a, n 1 n 1 41

44 Esempio Si vuole calcolare 2 = usando il Metodo babilonese x 0 x n = 1 2 dato ( x n 1 + ) x a, n 1 n 1 In questo caso a = 2 e si sceglie x 0 = 1.5 x 1 = 1 2 x 2 = 1 2 x 3 = 1 2 ( ) = = ( ) = ( ) =

45 Esercizio E possibile scrivere un algoritmo per il calcolo del reciproco di un numero c senza eseguire divisioni? 43

46 Metodi di linearizzazione Si approssima la funzione f(x) in un intorno I di ξ con la sua tangente o con la sua secante, calcolate tramite un opportuno sviluppo in serie di Taylor. Metodo di Newton-Raphson o metodo delle tangenti Metodo delle secanti 44

47 Metodo di Newton-Raphson Approssimazione iniziale: x 0 Prima iterazione: t 0 è la retta tangente a f(x) nel punto (x 0, f(x 0 )): t 0 y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(x) (x 0,f(x 0 )). t 0 Nuova approssimazione x 1 : ξ x 1 x 0 intersezione tra t 0 e y = 0 a x b f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) 45

48 Metodo di Newton-Raphson Nuova approssimazione: x 1 Seconda iterazione: t 1 è la retta tangente a f(x) nel punto (x 1, f(x 1 )): f(x) (x 0,f(x 0 )). t 1 y = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) (x 1,f(x 1 )). t 1 ξ x 2 x 1 t 0 x 0 Nuova approssimazione x 2 : intersezione tra t 1 e y = 0, a x b f(x 1 ) + f (x 1 )(x 2 x 1 ) = 0 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 46

49 Metodo di Newton-Raphson: algoritmo Ad ogni iterazione k = 1, 2,... la nuova approssimazione x k è data dall intersezione tra la retta t k 1, tangente a f(x) nel punto (x k 1, f(x k 1 )), e la retta y = 0; cioè (x k,f(x k )). t k ξ x k+1 x k (x,f(x )) k 1 k 1. f(x) t k 1 x k 1 t k 1 y=f(x k 1 )+f (x k 1 )(x-x k 1 ) e quindi f(x k 1 ) + f (x k 1 )(x k x k 1 ) = 0 Algoritmo: x 0 dato a x k = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ), k = 1, 2, x b

50 Metodo di Newton-Raphson: algoritmo Il calcolo della radice di un numero a è equivalente a trovare gli zeri della seguente funzione f(x) = x 2 a Se vogliamo calcolare la radice di a mediante il metodo di Newton- Raphson, dobbiamo usare il seguente algoritmo ovvero x 0 dato x k = x k 1 (x2 k 1 a) 2x k 1, k = 1, 2,... x 0 x k = 1 2 dato ( x k 1 + a x k 1 ), k = 1, 2,... che è proprio l algoritmo corrispondente al metodo babilonese 48

51 Metodo di Newton-Raphson: algoritmo Il calcolo del reciproco di un numero c è equivalente a trovare gli zeri della seguente funzione f(x) = 1 x c Se vogliamo calcolare il reciproco di c mediante il metodo di Newton- Raphson, dobbiamo usare il seguente algoritmo ovvero x 0 dato x k = x k 1 1 x c k 1 1 x 2 k 1, k = 1, 2,... { x0 dato x k = x k 1 (2 cx k 1 ), k = 1, 2,... 49

52 Metodo di Newton-Raphson: convergenza x 0 Ipotesi di applicabilità : dato x k = x k 1 f(x k 1) f, k = 1, 2,... (x k 1 ) è stato separato un intervallo I = [a, b] in cui c è un unica radice ξ; f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b]; f (x) 0 per x [a, b] esiste un intorno J I di ξ tale che, se x 0 J, la successione delle approssimazioni {x k } converge a ξ. [ ] }{{} a ξ x 0 b J Oss: il teorema garantisce solo l esistenza di J 50

53 Metodo di Newton-Raphson: ordine di convergenza Si vuole determinare l ordine di convergenza del metodo di Newton- Raphson Ordine di convergenza p: e lim k+1 k e k p = C L errore di troncamento alla k+1-esima iterazione si può scrivere come segue e k+1 = ξ x k+1 = ( ξ f(ξ) f (ξ) ) ( x k f(x k) f (x k ) ) ( f(ξ) = (ξ x k ) f (ξ) f(x k) f (x k ) ) Il valore di f(x k ) si può stimare considernado i primi tre termini dello sviluppo in serie di Taylor attorno alla radice ξ, cioè f(x k ) = f(ξ) + f (ξ) (x k ξ) }{{} e k f (ξ)(x k ξ)

54 mentre, supponendo che x k sia molto vicino a ξ, si può assumere che f (x k ) f (ξ) Sostituendo i valori di f(x k ) e f (x k ) così ottenuti nell espressione di e k+1 si ha e k+1 e k f(ξ) f(ξ) + f (ξ)e k 1 2 f (ξ)e 2 k f (ξ) = 1 2 f (ξ)e 2 k f (ξ) da cui risulta lim k e k+1 e k 2 = 1 2 f (ξ) f (ξ) p 2 e quindi, se f(x) C 3 [a, b] la convergenza è almeno quadratica 52

55 Efficienza computazionale Per valutare l efficienza di un metodo iterativo bisogna tener conto sia dell ordine di convergenza che del costo computazionale, cioè della quantità di calcoli richiesta ad ogni passo. Efficienza computazionale: E = p 1/r p: ordine di convergenza del metodo r: numero di valutazioni funzionali (calcolo di funzioni o derivate) richieste ad ogni passo Metodo di bisezione: E = 1 (ad ogni passo si richiede una sola valutazione funzionale, f(x k ), e quindi r = 1) Metodo di Newton: E = 2 1/2 (ad ogni passo si richiedono due valutazioni funzionali, f(x k ) e f (x k ), e quindi r = 2) 53

56 Metodo di Newton-Raphson: esempio Approssimare la radice ξ = 0 dell equazione f(x) = 4x 3 5x = 0 con il metodo di Newton-Raphson nell intervallo I = [ 0.5, 0.5] e scegliendo come approssimazione iniziale una volta x 0 = 0.5 e una volta x 0 = t f(x). ξ f(x). ξ t 0 1 t a qqqqqqq x 2k = 0.5 x b a qqqqqqq x 2k+1 = 0.5 x b 54

57 Si verifica facilmente che f verifica le condizioni di applicabilità del metodo di Newton-Raphson. Infatti, f C 2 (I), f (x) = 12x 2 5 = 0 x = ± / I Scegliendo x 0 = 0.5 si ha una situazione di stallo e il metodo non converge. Infatti, l algoritmo di Newton per f è il seguente e quindi x k = x k 1 4x3 k 1 5x k 1 12x 2 k 1 5 x 1 = x 0 4x3 0 5x 0 12x = = 0.5 x 2 = x 1 4x3 1 5x 1 12x = =

58 Al contrario, scegliendo x 0 = 0.4, il metodo converge k x k x k x k 1 f(x k ) Infatti, il teorema di convergenza del metodo di Newton-Raphson assicura la convergenza per ogni scelta dell approssimazione iniziale in un opportuno intorno J del punto ξ. Scegliendo come approssimazioni iniziali punti che non appartengono all intorno J, la convergenza non può essere garantita. Oss: f (x) = 24x = 0 x = 0 I. 56

59 Estremo di Fourier Se f(x) ha concavità fissa in un intervallo I, è possibile stabilire un criterio di scelta dell approssimazine iniziale che garantisce la convergenza del metodo. Estremo di Fourier: Data una funzione f continua e convessa in I = [a, b] con f(a)f(b) < 0, si dice estremo di Fourier di I l estremo verso cui f rivolge la convessità. Se esiste f, allora l estremo di Fourier è a o b a seconda che f(a)f (a) > 0 oppure f(b)f (b) > 0. 57

60 Estremo di Fourier: esempi f(x) f(x) Estremo di Fourier Estremo di Fourier a x b a x b f (x)<0 per x [a, b] { f(a)f (a) > 0 f (x)>0 per x [a, b] { f(a)f (a) < 0 f(b)f (b) < 0 a è estremo di Fourier f(b)f (b) > 0 b è estremo di Fourier 58

61 Metodo di Newton-Raphson: convergenza Ipotesi di applicabilità : f(a)f(b) < 0 f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b]; f (x) 0 per x [a, b]; f (x) 0 per x [a, b] e x 0 è l estremo di Fourier di [a, b]. 1) esiste un unica radice ξ [a, b]; 2) la successione delle approssimazioni { x k = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ) } k = 1, 2,... è monotona e converge a ξ; 3) se f C 3 [a, b], la convergenza è quadratica. 59

62 Nell esempio precedente, relativo alla funzione f(x) = 4x 3 5x, non è soddisfatta l ipotesi relativa alla derivata seconda. Al contrario, per la funzione f(x) = x 3 10x 2 + 5, considerando l intervallo I = [0.6, 0.8], si ha f (x) = 6x 20 = 0 x = 10 3 / I Le ipotesi del teorema sono verificate e, poichè mentre f (0.6) = < 0 f (0.8) = 24 5 f(0.6) > 0 f(0.8) < 0, 20 < 0, l estremo di Fourier è l estremo b = 0.8, che quindi può essere scelto come approssimazione iniziale del metodo di Newton-Raphson, cioè x 0 = 0.8. Esercizio: eseguire le iterazioni e verificare la convergenza monotona. 60

63 Problema 3: Soluzione con Metodo di Newton f(λ) = e λ λ (eλ 1) = 0 λ I = [0.05, 0.15] Nell intervallo I è stato separato un unico zero f, f, f sono continue in I f (x) = e λ λ 2 (eλ 1) λ eλ 0 per λ I Lo zero può essere approssimato con il metodo delle tangenti Inoltre f (x) = e λ λ 3 (eλ 1) 0.87 esiste l estremo di Fourier di I: λ 2 eλ λ f(0.15)f (0.15) > 0 x 0 = 0.15 eλ > 0 in I 61

64 k x k x k x k 1 f(x k ) Ripetere scegliendo x 0 =

65 Metodi di linearizzazione Il metodo di Newton-Raphson richiede la conoscenza della f (x) che non sempre è di facile valutazione. Metodi alternativi sono, per esempio, il metodo della tangente fissa: ad ogni iterazione f (x n ) è approssimato con f (x 0 ) il metodo delle secanti con estremi variabili: f (x n ) è approssimato con il rapporto incrementale il metodo delle secanti con estremo fisso: f (x n ) è approssimato con il rapporto incrementale in cui un punto rimane fisso ad ogni iterazione 63

66 Metodi di linearizzazione Metodo di Newton-Raphson (x k 1,f(x k 1 )). Metodo delle secanti con estremi variabili (x k 1,f(x k 1 )). f(x) (x,f(x )) k k. t k x ξ k+1 x k t k 1 x k 1 x k 2. (x k 2,f(x k 2 )) x k. (x k,f(x k )) x k+1 s k 1 ξ s k f(x) x k 1 a x b a x b Ad ogni iterazione k = 1, 2,... la nuova approssimazione x k è data dall intersezione tra la retta t k 1, tangente a f(x) nel punto (x k 1, f(x k 1 )), e y = 0. Algoritmo: dato x 0 x k = x k 1 f(x k 1), k = 1, 2,... f (x k 1 ) Ad ogni iterazione k = 2, 3,... la nuova approssimazione x k è data dalla intersezione tra la retta s k 1, secante f(x) nei punti (x k 2, f(x k 2 )) e (x k 1, f(x k 1 )), e y = 0. Algoritmo: x 0, x 1 dati x k 1 x k 2 x k = x k 1 f(x k 1 ) f(x k 1 ) f(x k 2 ), k 2 64

67 Metodo delle secanti x 0, x 1 dati x x k = x k 1 f(x k 1 ) k 1 x k 2, k = 2,... f(x k 1 ) f(x k 2 ) Vantaggi: si può usare quando non si conosce la derivata di f(x) o quando f(x) è nota per punti ad ogni passo richiede una sola valutazione funzionale Svantaggi: servono due approssimazioni iniziali x 0 e x 1 la scelta di x 0 e x 1 deve essere accurata 65

68 Convergenza del metodo delle secanti Se è stato separato un intervallo I = [a, b] simmetrico intorno alla radice ξ, f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b], f (x) 0 per x [a, b], esiste un intorno J I di ξ tale che, se x 0, x 1 J, la successione delle approssimazioni {x k } converge a ξ con convergenza superlineare, cioè 1 < p < 2. Se f (x) 0 in I, l ordine di convergenza è p = E = p

69 Convergenza del metodo delle secanti con p = e Se f (x) 0 in I, allora e k+1 C p p+1 C N la costante asintotica del metodo di Newton (C N = f (ξ) 2f (ξ) ). Dim: Sottraendo ξ ad ambo i membri della formula di iterazione del metodo delle secanti si ha e k+1 = e k f(x k)(x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) poichè e k 1 e k = ξ x k 1 (ξ x k ) = x k x k 1, l uguaglianza precedente può essere riscritta nel modo seguente e k+1 = e k f(x k)(e k e k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) = f(x k)e k 1 f(x k 1 )e k. f(x k ) f(x k 1 ) N ep k 67

70 Mettendo a fattor comune la quantità e k e k 1 risulta x k x k 1 x k x k 1, e k+1 = e k e k 1 Poichè per x k 1 x k ξ f(x k ) e k f(x k 1) e k 1 x k x k 1 x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) 1 f (x k ) 1 f (ξ) e moltiplicando per. f(x k ) e k con g(x) = f(x) f(ξ) x ξ, f(x k 1) e k 1 x k x k 1 g (x k ) f (ξ) 2, e g (x) = f (x)(x ξ) f(x)+f(ξ) (x ξ) 2 = f (x)(x ξ) f(x) (x ξ) 2 f (ξ) 2 (infatti lim x ξ g (x) = lim x ξ f (x)(x ξ)+f (x) f (x) 2(x ξ) = f (ξ) 2 ) 68

71 Quindi, per x k ξ risulta (1) e k+1 = C N e k e k 1. D altra parte, il metodo ha ordine di convergenza p se e k+1 Ce p k, ovvero se e k Ce p k 1. Per determinare i valori di C e p si considera e k 1 e lo si sostituisce in eq. (1), da cui ( ek C )1 p )1 p e 1+1/p e quindi e k+1 C N ( 1 C k Ce p k C N ( )1 1 p 1+1/p e k C 69

72 da cui e 1+1/p p k C1+1/p C N. Affinchè l ultima relazione sia vera k deve accadere che 1 + 1/p p = 0 p 2 p 1 = 0 p = 1 ± 5, 2 di cui si considera solo la soluzione positiva. In corrispondenza del valore di p trovato si ha da cui 1 C1+1/p C N, C = C p 1+p N. 70

73 Esercizio: Quale è l ordine di convergenza del metodo delle secanti se usato per il calcolo dello zero di f(x) = x 3 10x contenuto nell intervallo I = [0.6, 0.8]? 71

74 Esercizio 1 Data l equazione non lineare f(x) = x 3 + α cos x = 0: 1) individuare per quali valori di α R l equazione non ammette radici positive 2) per α = 1 separare la radice più piccola ξ 3 3) fornire una stima a priori del numero di iterazioni necessarie per approssimare ξ con un errore inferiore a ɛ = 10 6 tramite il metodo di bisezioni; 4) quante iterazioni sono necessarie per approssimare con la stessa tolleranza ɛ la radice ξ tramite il metodo di Newton e il metodo delle secanti? 72

75 Traccia della soluzione 1) Tracciando qualitativamente i grafici delle funzioni y = g(x) = x 3 + α y = h(x) = cos x, si deduce che se α 1, la funzione f(x) non ha zeri positivi. 1.5 g(x) = x g(x) = x g(x) = x h(x) = cos(x) g(x) = x x 73

76 2) L intervallo [0, 1] contiene l unica radice positiva dell equazione Infatti f(x) = x 3 + 1/3 cos x = 0 f(0) = 2/3 < 0, f(1) = 4/3 cos(1) > 0 f(0)f(1) < 0 e inoltre f (x) = 3x 2 + sin(x) > 0 per x (0, 1] 74

77 3) Nell intervallo [0, 1] sono verificate le ipotesi di applicabilità del metodo di bisezioni. Quindi il numero di iterazioni K per cui e K ɛ si ricava dalla relazione e K = ξ x K b a 2 K ɛ K > log(b a) log ɛ. log 2 In questo caso a = 0, b = 1, ɛ = 10 6 K > log(1) log 10 6 log K

78 4) Nel caso dei metodi di Newton e delle secanti si possono verificare le ipotesi di applicabilità nell intervallo [0, 1]: nell intervallo I è stato separato un unico zero f, f, f sono continue in I f (x) = 3x 2 + sin(x) > 0 per x J I, J = [δ, 1] con 0 < δ << 1 f (x) = 6x + cos(x) > 0 per x I l estremo b = 1 è l estremo di Fourier dell intervallo J. Il numero di iterazioni si può calcolare eseguendo le iterate. In alternativa, l approssimazione iniziale si può scegliere come la soluzione stimata eseguendo un iterazione del metodo di bisezione, ovvero x 0 = 1 2. (OSS: non è garantita la convergenza!) 76

79 k x k (bisez.) x k x k 1 x k (Newton) x k x k 1 x k (secanti) x k x k , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-6 77

80 Esercizio 1.6 L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico, II ed. Data l equazione dipendente da un parametro positivo α f(x, α) = αe x x 1 = 0 determinare i valori di α per i quali f ha una radice in I = [0.01, 1]; detto A l insieme di tali valori, si consideri α A e si discuta con quali modalità va applicato il metodo di Newton-Raphson per approssimare detta radice. 78

81 Soluzione Il dominio di esistenza di f è dato da x 0, α. Inoltre, risulta e f(0) = α e = 1, f (x) = α ( e x x + ex 2 x ) lim f(x) = + x + ( ) = αe x 2x > 0 x > 0 x Infatti e x > 0 x, x > 0 x > 0 e 2x + 1 > 0 x > 1 Quindi, f è una funzione monotona crescente. 2 79

82 Poichè risulta f(0.01) = α e e f(1) = αe 1 affinchè f abbia la sua unica radice in I deve accadere (f è monotona crescente) cioè f(0.01) < 0 mentre f(1) > 0, da cui deriva α e < 0 e αe 1 > 0 1 e < α < 10 e

83 Per poter applicare il Metodo di Newton-Raphson e soprattutto per essere certi che il metodo converga alla radice cercata, è necessario che f, f, f siano funzioni continue in I, che f (x) 0 e f (x) 0, x I. Sicuramente f e f sono funzioni continue in I, inoltre la monotonia di f garantisce che f (x) 0 in I. Per quanto riguarda f, invece, si ha f (x) = αe x ( 2x x ) + αe x ( 1 2 x 1 4x x ) = αex 2 x 4x 2 + 4x 1 2x che risulta continua in I ma 81

84 f (x) = 0 4x 2 + 4x 1 = 0 x = 1 ± 2. 2 Poichè la soluzione positiva (cioè x = ) appartiene all intervallo I, la convergenza del metodo non è garantita per qualsiasi scelta del punto iniziale x 0. 82

85 In questo caso, può accadere che nella successione delle approssimazioni prodotte siano compresi punti che non appartengono all intervallo I, come, per esempio, scegliendo x 0 = 0.38 e α = 8. k x k e k f(x k ) La tangente alla funzione f nel punto x 0 interseca l asse delle ascisse nel punto x 1 = / I 83

86 Inoltre, per alcune scelte di α e x 0, come per esempio α = 8 e x 0 = 0.1, il punto di intersezione può non appartenere al dominio di esistenza della funzione stessa!!! x 1 = < f(x) retta tangente a f in x 0 y= In questi casi è necessario cambiare la scelta del punto iniziale. Per esempio, si può calcolare l approssimazione prodotta dal metodo di bisezione dopo poche iterazioni (o quando si raggiunge una certa precisione) e usarla come punto iniziale per il metodo di Newton. 84

87 Per esempio, dopo quattro iterazioni del metodo di bisezione (ɛ = ) k a k b k x k e k f(x k ) si ottiene x 4 = che, usato come punto iniziale nel metodo di Newton produce k x k e k f(x k )

88 Al contrario, per altre scelte sia di α che del punto iniziale x 0, come per esempio x 0 = 0.5 e α = 1, il metodo converge alla soluzione in poche iterazioni k x k e k f(x k )

89 Osserviamo, infine, che scegliendo α = e , 2 2 la radice di f è il suo punto di flesso (la derivata seconda si annulla in questo punto) e l ordine di convergenza del metodo di Newton aumenta essendo almeno 3. 87

90 Esercizio Data l equazione non lineare dove ξ è un parametro reale. h(y; ξ) = (ξ 1) e y 1 = 0, 1. Determinare i valori di ξ per cui l equazione ha una radice nell intervallo I = [0.02, 1.02]; 2. per i valori di ξ individuati al punto precedente, verificare se il metodo delle tangenti è adatto ad approssimare la radice in I. Specificare la scelta dell approssimazione iniziale e l ordine di convergenza del metodo. 88

91 Soluzione del punto 1) La funzione è ben definita per y 0. Inoltre si osserva che, poichè e y > 0 y 0 l uguaglinaza (ξ 1) e y = 1 non può essere mai verificata per valori di ξ 1 Si osserva anche che, e y 1 y 0, e quindi l uguaglianza (ξ 1) e y = 1 non è mai verificata per ξ > 2. Infine, per ξ = 2, lo zero di h(y; 2) è proprio y = 0 / I. Sicuramente gli eventuali valori di ξ per cui la funzione h ammette uno zero in I soddisfano la seguente condizione 1 < ξ < 2 89

92 D altra parte, h (x; ξ) = (ξ 1) e y 2 y > 0, y > 0 ξ > 1, quindi, h(y; ξ) è una funzione monotona crescente per y > 0 ξ > 1, e se ammette uno zero in I, questo è anche unico. Affinchè abbia uno zero nell intervallo I, deve accadere cioè da cui h(0.02; ξ) < 0 h(1.02; ξ) > 0 (ξ 1)e < 0 (ξ 1)e > 0 ξ < 1 e ξ > 1 e e + 1 < ξ < Possiamo, dunque, concludere che per e + 1 la 0.02 funzione h(y; ξ) ammette un unico zero nell intervallo I = [0.02, 1.02]. 90

93 Soluzione del punto 2) In corrispondenza dei valori del parametro ξ determinati al punto precedente e per y I è possibile verificare che h(y; ξ) C 2 (I) e che h (y; ξ) 0. Pertanto, è possibile applicare il metodo di Newton. Inoltre, poichè risulta h (y; ξ) = ξ 1 e y 4 y (1 1 y ) h (y; ξ) = 0 y = 1 I. Ne segue che la condizione h (y; ξ) 0 non è soddisfatta e, dunque, non sono verificate le ipotesi del teorema di convergenza scegliendo l estremo di Fourier come approssimazione iniziale. Tuttavia, si può osservare che y = 1 è lo zero della funzione h(y; 1 + 1/e). In questo caso l ordine di convergenza del metodo di Newton è maggiore di 2. Al contrario, in corrispondenza degli altri valori ammissibili del parametro ξ, la convergenza è quadratica in quanto sicuramente C N 0, 91

94 Esercizio Si consideri l equazione non lineare log(x) + x 2 x = Mostrare che l equazione ammette un unica radice e che quest ultima è contenuta nell intervallo I = [0.7, 2.3]. 2. Applicare, se possibile, due passi del metodo di bisezione. 3. Detta x 0 l approssimazione prodotta al passo precedente, eseguire, se possibile, un passo dell algoritmo del metodo di Newton-Raphson e sia x 1 l approssimazione prodotta. 4. Applicare, se possibile il metodo delle secanti usando x 0 e x 1, determinate ai punti 2) e 3), come approssimazioni iniziali e interrompere l esecuzione quando la approssimazione prodotta ha 5 decimali esatti. 5. Calcolare la costante asintotica di convergenza del metodo delle secanti. 92

95 Esercizi 1. Approssimare la radice negativa più prossima allo zero dell equazione non lineare sin(x) xe x = 0 usando il metodo di Newton-Raphson e isolando lo zero in modo che si possa scegliere l estremo di Fourier come approssimazione iniziale. L approssimazione prodotta deve avere almeno due decimali esatti. 2. Scrivere il diagramma di flusso per il metodo di Newton usando le due condizioni di arresto a posteriori. 3. Ripertere l esercizio precedente per il metodo delle secanti. 93

96 Metodi iterativi a un punto (o del punto unito) Un metodo iterativo a un punto in IR ha la forma: { x0 dato x n = ϕ(x n 1 ), n = 1, 2,... La funzione ϕ è detta funzione di iterazione. Nota. Per il metodo di Newton ϕ(x) = x f(x) f (x) Convergenza Il metodo è convergente se la successione delle approssimazioni {x n = ϕ(x n 1 )} n 1 verifica lim n ξ x n = 0 lim x n n = ξ Criterio di arresto Se il metodo è convergente, una buona approssimazione di ξ è data dal valore x N per il quale x N x N 1 ɛ 94

97 Metodo del punto unito Il metodo del punto unito consiste nel riscrivere l equazione non lineare di partenza in una forma equivalente: f(x) = 0 x = ϕ(x) Se ξ è radice di f allora è punto unito di ϕ: f(ξ) = 0 ξ = ϕ(ξ) Nota. Trovare il punto unito di ϕ significa trovare l ascissa del punto di intersezione tra la retta y = x e la curva y = ϕ(x). Una funzione può avere più di un punto unito, solo uno o nessuno. 95

98 Metodo del punto unito: Esempio 1 Trovare i punti uniti della funzione di iterazione ϕ(x) = x 2 2 per 2 x 3. Si tratta di trovare i valori di x per i quali ϕ(x) = x 2 2 = x f(x) = x 2 x 2 = Ci sono due punti uniti: y=φ(x) ξ 2 ξ 1 = 1 ϕ( 1) = ( 1) 2 2 = 1 ξ 2 = 2 ϕ(2) = (2) 2 2 = ξ 1 y=x x Nota. ξ 1 e ξ 2 sono anche le soluzioni di f(x) = x 2 x 2 = 0 96

99 Convergenza: condizione necessaria Teorema 1. Se la successione { x0 dato x n = ϕ(x n 1 ), n = 1, 2,... è convergente a un valore τ e ϕ è continua in τ τ è punto unito di ϕ, cioè τ = ϕ(τ). Dimostrazione. τ = x n converge n lim x n = n lim ϕ(x n 1 ) = ϕ ( ϕ è continua lim n x n 1 ) = ϕ(τ) 97

100 Interpretazione grafica: metodo del punto unito y=x φ(x 0 ) y=φ(x) φ(x 1 ) 0 0 ξ x 2 x 1 x 0 x 1 è l ascissa del punto di intersezione della retta y = ϕ(x 0 ) con la retta y = x x 2 è l ascissa del punto di intersezione della retta y = ϕ(x 1 ) con la retta y = x

101 Metodo del punto unito: Esercizio Verificare che l equazione f(x) = x 3 + 4x 2 10 = 0 ha un unica radice in [1, 2] e trovare un opportuna funzione di iterazione per approssimarla. Soluzione. f C (R), f (x) = 3x 2 + 8x > 0 x [1, 2] f(x) è monotona crescente min 1 x 2 f(x) = f(1) = 5 < 0 f(x) = f(2) = 14 > 0 max 1 x esiste una radice in [1, 2] e, f(x) per la monotonia, è unica ξ x

102 Esercizio: funzioni di iterazione Per trovare una funzione di iterazione bisogna operare sull equazione x 3 + 4x 2 10 = 0 1)Isolo il termine in x 2 x 2 = 1 4 (10 x3 ) x = (10 x3 ) 1/2 = ϕ 1 (x) 2)Isolo il termine in x 3 x 3 = 10 4x 2 x = (10 4x 2 ) 1/3 = ϕ 2 (x) 3)Aggiungo x ad ambo i membri x 3 + 4x 2 10 x = x x = x x 3 4x = ϕ 3 (x) 4)Divido per x e isolo il termine in x 2 x 3 + 4x 2 10 = 0 x x = ( ) 10 1/2 x 4x = ϕ 4 (x) 5)Metodo di Newton x f(x) f (x) = x x = x x3 + 4x x 2 + 8x = ϕ 5 (x) 100

103 Metodo delle approssimazioni successive { x0 = 1.5 x n = ϕ(x n 1 ) n = 1, 2, 3,... Iter x n = ϕ 5 (x n 1 ) x n = ϕ 3 (x n 1 ) converge diverge 101

104 Iter x n = ϕ 1 (x n 1 ) x n = ϕ 2 (x n 1 ) x n = ϕ 4 (x n 1 ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i converge non converge non converge 102

105 Convergenza: condizione sufficiente (1) Teorema 2. Se ϕ è derivabile in I = [a, b] e i) ϕ : I I a min x I ϕ(x) max x I ϕ(x) b ii) k (0, 1) tale che ϕ (x) k, x I α) esiste un unico punto unito ξ I di ϕ(ξ) β) la successione x n = ϕ(x n 1 ) è convergente a ξ per ogni approssimazione iniziale x 0 I 103

106 Dimostrazione dell esistenza Poichè i) ϕ : I I ϕ(a) a ϕ(b) b Se vale una delle uguaglianze almeno un punto unito Altrimenti si pone F (x) := x ϕ(x) con F C(I) F (a)= a ϕ(a) < 0 e F (b)= b ϕ(b) > 0 almeno uno zero di F (x) ( ξ : F (ξ) = 0, cioè ξ ϕ(ξ) = 0) almeno un punto unito di ϕ 104

107 Dimostrazione dell unicità Supponiamo per assurdo che esistano due punti uniti ξ 1 ξ 2 0 < ξ 1 ξ 2 = ϕ(ξ 1 ) ϕ(ξ 2 ) = }{{} punto unito = ϕ (σ)(ξ 1 ξ 2 ) }{{} Th. di Lagrange }{{} k ξ 1 ξ 2 < ξ 1 ξ 2 ii) = ϕ (σ) ξ 1 ξ 2 105

108 Dimostrazione della convergenza x 0 I accade che 0 < e n = ξ x n = ϕ(ξ) ϕ(x n 1 ) k ξ x n 1 = k e n 1 e n k e n 1 k 2 e n 2... k n e 0 k n (b a) lim e n n lim k n (b a) = n ii) }{{} 0 106

109 Osservazione Dalla dimostrazione del teorema precedente si deduce che l ipotesi di derivabilità della funzione di iterazione ϕ nell intervallo I può essere rilassata. Infatti, basta richiedere k (0, 1) : x, x I ϕ(x ) ϕ(x ) < k x x, cioè ϕ deve essere una contrazione. 107

110 Metodo del punto unito: Esercizio Tornando all esercizio proposto precedentemente (f(x) = x 3 + 4x 2 10 = 0), possiamo osservare che la funzione ϕ 5 genera un procedimento iterativo convergente in quanto sono verificate le ipotesi di applicabilità del metodo di Newton. Infatti, f, f, f sono funzioni continue in I = [1, 2], f (x) 0 x I; inoltre anche f (x) 0 x I la funzione ϕ 3 (x) = x x 3 4x , invece, non genera un procedimento iterativo convergente in I in quanto ϕ 3 (x) = 1 3x2 8x e quindi ϕ 3 (x) > 1 x I (osservare che ϕ (x) < 0 x I) 108

111 la funzione ϕ 4 (x) = 10 x 4x non genera un procedimento iterativo convergente in quanto I non è completamente contenuto nel dominio di esistenza D della funzione, infatti D = [, 5/2] (0, 5/2] la funzione ϕ 2 (x) = (10 4x 2 ) 1/3 non genera un procedimento i- terativo convergente in quanto ϕ(i) / I (ϕ(2) = 3 6 / I); inoltre ϕ 2 (x) > 1 in I (basta osservare che ϕ 2 (x) non è definita in x = ) 109

112 la funzione ϕ 1 (x) = x 3 genera un procedimento iterativo convergente alla radice dell equazione non lineare anche se non è verificata la prima ipotesi del teorema (ϕ(1) = 1.5 mentre ϕ(2) = 2/2). Tuttavia, poichè ϕ 1 (x) = 3 4 x 2 10 x 3 è una funzione monotona decrescente in I e sicuramente ϕ 1 (x) < 1 in Ĩ = [1, 1.7], il procedimento iterativo risulta convergente in Ĩ. 110

113 Esempio La funzione ϕ(x) = x sin(x) ammette più di un punto fisso in quanto sin(x) è una funzione periodica. ϕ(x) = x sin(x) è stata ottenuta dalla equazione non lineare f(x) = 0, con f(x) = sin(x). Nell intervallo I = [0, 2π], gli zeri di f sono ξ 1 = 0, ξ 2 = π, ξ 3 = 2π. Tuttavia, la funzione ϕ(x) sicuramente non genera un procedimento iterativo convergente a ξ 2 in quanto non è possibile trovare intervalli J I : ξ 2 J per cui sia verificata la condizione ϕ (x) < 1, x J. Infatti, ϕ (x) = 1 cos(x) e pertanto in prossimità di ξ 2 risulta ϕ (x) 2 >

114 Convergenza: condizione sufficiente (2) Teorema 3. Se ϕ è derivabile in I = [a, b] e i) ϕ(ξ) = ξ ξ (a, b) ii) k (0, 1) tale che ϕ (x) k, x I esiste un intorno di ξ : = [ξ δ, ξ + δ] I tale che α) ξ è l unico punto unito di ϕ(ξ) in β) la successione {x n = ϕ(x n 1 )}, n = 1, 2,..., è convergente a ξ per ogni approssimazione iniziale x 0 112

115 Dimostrazione Basta osservare che se ϕ( ), allora valgono le ipotesi del teorema precedente e quindi il procedimento converge x 0. Se si pone δ = min(ξ a, b ξ) ξ := [ξ δ, ξ + δ] I Se x ξ ϕ(x) = ϕ(ξ) ϕ(x) = }{{} i) = ϕ (σ) ξ x k ξ x }{{}}{{} Th.Lagr. ii) k δ }{{} x < δ ϕ( ) Si ricade nelle ipotesi del Teorema 2 113

116 Applicazione al metodo delle tangenti Teorema 4. Se I = [a, b] è un intervallo di separazione di uno zero di f e inoltre i) f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b] ii) f (x) 0 per x [a, b] esiste un intorno J I di ξ tale che per x 0 J la successione delle approssimazioni { x n = x n 1 f(x n 1) f (x n 1 ) converge a ξ }, n = 1, 2,..., 114

117 Dimostrazione Per il metodo delle tangenti ϕ T (x) = x f(x) f (x) ϕ T (x) = f(x)f (x) (f (x)) 2 ϕ T (ξ) = f(ξ)f (ξ) (f (ξ)) 2 = 0 Poiché ϕ T è continua, esiste un intorno [α, β] I di ξ tale che ϕ T (x) k (0, 1) si ricade nelle ipotesi del Teorema 3 con [a, b] = [α, β] I e J = =J {}}{ [ ] ] }{{} [α,β] a ξ x 0 b 115

118 Proprietà della successione delle approssimazioni Si vuole caratterizzare la successione delle approssimazioni Dal Teorema di Lagrange si ha e n = ξ x n = ϕ(ξ) ϕ(x n 1 ) = ϕ (t n )(ξ x n 1 ) = ϕ (t n )e n 1 t n [x n 1, ξ] y φ(x 0 ) y y=x φ(x 0 ) y=x φ(x 2 ) o φ(x 1 ) y=φ(x) φ(x 3 ) φ(x 1 ) y=φ(x) φ(x 2 ) φ(x 3 ) o ξ x 3 x 2 x 1 x 0 x 0 ϕ (x) < 1 1 < ϕ (x) 0 ad ogni iterazione l errore diminuisce ad ogni iterazione l errore diminuisce in valore assoluto e preserva il segno x 0 x 2 ξ x 3 x 1 in valore assoluto ma non conserva il segno x 116

119 Proprietà della successione delle approssimazioni Se 0 ϕ (x) < 1 per x I la successione {x n = ϕ(x n 1 )}, n = 1, 2,..., è monotona crescente (se e 0 > 0) o decrescente (se e 0 < 0) le approssimazioni sono per difetto (se ξ > x 0 ) o per eccesso (se ξ < x 0 ) Se 1 < ϕ (x) 0 per x I la successione {x n = ϕ(x n 1 )}, n = 1, 2,..., non è monotona le approssimazioni sono alternativamente per difetto e per eccesso 117