Esercitazione 4 - Matematica Applicata

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1 Esercitazione - Matematica Applicata Lucia Pilleri // Esercizio dal compito del //). Considerato il seguente metodo alle differenze finite, dipendente dai parametri reali e β )] η i+ = η i + h 5fx i, η i ) + f x i + β h, η i + β hfx i, η i ) η = y dire per quali valori dei parametri risulta convergente e per quali valori è del second ordine. Dire inoltre se il seguente metodo multistep è stabile η i+ = 3 η i + 3 η i + 3hfx i, η i ) Soluzione. Consideriamo che: La formula è stabile, perchè tutte le formule monostep lo sono. Poichè CONVERGENZA=CONSISTENZA + STABILITA, per verificare la convergenza di questa formula basta verificare la consistenza. Un metodo è consistente quando l errore di discretizzazione locale tende a zero per h che tende a zero. In formule, dobbiamo verificare quindi per quali valori dei parametri Consistenza lim τx, h) = h Calcoliamo lo sviluppo in serie di Taylor dell errore di discretizzazione locale τx, h) = x, y) φx, y) Considerando che x, y) = fx, y) + h f xx, y) + f y x, y)fx, y)) + O h ) dobbiamo solo calcolare lo sviluppo in serie di Taylor centrata in h = ) di φx, y). Poichè la formula è monostep esplicita, è della forma η i+ = η i + hφx i, η i )

2 φx, y) = 5fx, y) + f x + β h, y + β )] hfx, y) = = 5fx, y) + fx, y) + h f x x, y) β + f yx, y) β ) ] fx, y) + O φ h ) = 5 fx, y) + fx, y) + β h f xx, y) + f y x, y)fx, y)] + O φ h ) = ) 5 + = fx, y) + β h f xx, y) + f y x, y)fx, y)] + O φ h ) = τx, h) = x, y) φx, y) = fx, y) + h f xx, y) + f y x, y)fx, y)) + O h ) + = ) 5 + fx, y) + β h f xx, y) + f y x, y)fx, y)] O φ h ) = 5 + ) fx, y) + h ) f x x, y) + f y x, y)fx, y)) + Oh ) β per Il metodo è convergente quando la parte costante rispetto ad h è nulla in questo modo τx, h) se h ) ovvero Second ordine 5 + = = 3 Un metodo è del second ordine quando τx, h) = Oh ) quindi quando sono nulle sia la parte costante rispetto ad h sia la parte di primo grado in h. Nel nostro caso quindi il metodo è del second ordine quando β = 3 = 9 β = β = 9. Consideriamo che: Un metodo multistep è stabile quando le radici del polinomio caratteristico di stabilità hanno modulo minore di oppure quando hanno modulo ma sono tutte distinte Riscriviamo la formula in modo più conveniente per individuare i coefficienti del polinomio di caratteristico di stabilità: η i+3 3 η i+ 3 η i+ = h 3fx i, η i ) quindi i coefficienti sono a 3 = a = 3 a 3 = 3 per cui il polinomio caratteristico è pw) = w 3 3 w 3 w

3 Calcoliamo le radici: w 3 3 w 3 w = w w 3 w ) = 3 w = w = w 3 = 3 Il metodo è stabile perchè due radici hanno modulo minore di e quella che ha modulo è una radice singola molteplicità ) 3

4 Esercizio dal compito del //) Dire se il seguente metodo alle differenze finite è convergente η k+ = η k+ + 3 η k + 5 hfx k, η k ) e determinare il suo ordine di consistenza Soluzione Un metodo è convergente se e solo se è sia stabile che consistente. Stabilità Riscriviamo la formula in modo da individuare facilmente tutti i coefficienti, anche quelli che ci serviranno per lo studio della consistenza η k+ + η k+ 3 η k = 5 hfx k, η k ) a = a = Il polinomio caratteristico di stabilità è quindi a = 3 b = b = b = 5 pw) = w + w 3 le cui radici sono w / = ) ± + = ± 5 ) w = 3 w = Poichè 3 = 3 >, concludiamo che il metodo non è stabile e quindi non è convergente. Ordine di consistenza In generale, se indichiamo con r il numero di passi della formula, si ha τx, h) = h che nel nostro caso diventa r r a j yx + jh) b j y x + jh) j= j= τx, h) = h a yx) + a yx + h) + a yx + h)] b y x) = = 3 h yx) + ] yx + h) + yx + h) 5 y x) Sviluppiamo ogni termine in serie di Taylor intorno ad h =, seguendo la formula G xh)) = G x)) + h d dh G xh)) h= + h d dh G xh)) h= + Oh3 )

5 τx, h) = h = h { 3 yx) + ] ]} yx) + hy x) + h y x) + Oh 3 ) + yx) + hy x) + h y x) + Oh 3 ) 5 y x) = { 3 yx) + yx) + h } y x) + h y x) + yx) + hy x) + h y x) + Oh 3 ) 5 y x) = = y x) + h y x) + y x) + hy x) 5 y x) + Oh ) = = 9 hy x) + Oh ) Poichè compare un termine di primo grado in h, il metodo è consistente del prim ordine. 5

6 Esercizio 3 Dato il problema di Cauchy y x) = x y y) = x R Dire se è ben posto e approssimare la soluzione nel punto di ascissa x = 3 mediante la formula di Eulero modificata, con h = Soluzione Per poter dire che il problema è ben posto dovremmo verificare che fx, y) sia continua f y sia limitata Nel nostro caso fx, y) = x y è continua, ma f y = x non è limitata per x R. Concludiamo quindi che il problema ammette un unica soluzione localmente, in un intorno di x =. La soluzione approssimata nel punto x = 3 è η 3 yx 3 ) in quanto per h = e x =, si ha che 3 = x 3 La formula di Eulero modificata con passo uguale a è: η i+ = η i + hf x i + h, η i + h fx i, η i ) ) η = y Che nel nostro caso diventa, sostituendo l espressione di f: η i+ = η i + x i + ) η i + ) )] x i η i Primo passo: i =, calcoliamo η con x =, η = η = η + x + ) η + ) )] x η = + + ) + ) ] ) = 3 Secondo passo: i =, calcoliamo η con x = x + h =, η = 3 η = η + x + ) η + ) )] x η = ) )) ] = 3 3 Terzo ed ultimo) passo: i =, calcoliamo η 3 con x =, η = 3 3 η 3 = η + x + ) η + ) )] x η = ) ))) ] =

7 Esercizio Data la matrice A seguente, dire per quali R A è non singolare e per quali il metodo di Jacobi applicato a Ax = b converge A = b = 5 Fissato poi = si calcolino due iterate del metodo di Gauss Seidel a partire da x ) = ] T ] T Soluzione A è non singolare se det A, quindi calcoliamo det A = + = ) + ) + ) = = + ) ) + ) + ) = + ) ) ] = = + ) ) = = = per /3 = ± +8 = 3 = la matrice A è non singolare per ;. Convergenza di Jacobi Scriviamo anzitutto le matrici D, L, U che ci serviranno per calcolare la matrice di iterazione H = D L + U) D = H = D L + U) = L = U = Il metodo di Jacobi converge se e solo se ρh) <, quindi calcoliamo gli autovalori e imponiamo che il massimo sia minore di = + = = λ ) + λ + ) λ ) = = λ ) λ + ) + λ + ) + ) λ = = λ + ) + λ + ) = 7

8 gli autovalori di H sono: Per cui λ = ) ± + 8 λ /3 = { ρh) = max }, = ± 3 Il metodo di Jacobi quindi converge per > < > Posto =, calcoliamo due iterate di Gauss Seidel: λ = λ = λ 3 = = < per > x k+) = D L) Ux + D L) b Dobbiamo calcolare l inversa di D L. Per farlo, risolviamo i tre sistemi D L)z i = e i dove z i è l i-esima colonna della matrice inversa che cerchiamo e e i è l i-esima colonna della matrice identità. Prima colonna dell inversa z z z 3 z = z + z = z z + z 3 = z = z = 6 z 3 = 5 6 La prima colonna di D L) è quindi Seconda colonna dell inversa z z z 3 z = z + z = z z + z 3 = z = z = z 3 = 6 La seconda colonna di D L) è quindi Terza colonna dell inversa z z z 3 6 z = z + z = z z + z 3 = z = z = z 3 = 8

9 abbiamo ottenuto D L) = H = D L) U = C = D L) b = 6 5 Ora possiamo finalmente calcolare le due iterate: x ) = Hx ) + C = x ) = Hx ) + C =