ESERCITAZIONE 3 (08/11/2017) 1. Calcolare le somme s 1 = (a + b) + c e s 2 = a + (b + c) essendo. a = 2122, b = 7877, c = 7872,

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1 ESERCITAZIONE (8//7). Calcolare le somme s = (a + b) + c e s = a + (b + c) essendo a =, b = 7877, c = 787, in un sistema in virgola mobile F(β, t, L, U) con β =, U = L = 4 e con t = 4 oppure t = commentando i risultati ottenuti. Convertendo i numeri nel sistema in virgola mobile richiesto prendendo il caso t = 4 ad esempio, otteniamo fl(a) =. 4, fl(b) = , fl(c) = Procediamo col calcolo di a + b a cui poi sommeremo c = osservando che nel sistema richiesto con 4 cifre significative non occorre effettuare arrotondamento. Sommando c otteniamo =.7 4. Non avendo dovuto effettuare arrotondamenti possiamo osservare che l errore relativo nel caso della quantità s = (a + b) + c sarà nullo. Lo stesso si otterrà nel calcolo di s = a+(b+c) tenendo conto che il risultato della somma dei tre numeri dato sarebbe x = 7 e anche per la seconda quantità da calcolare non verranno effettuati arrotondamenti: fl(b + c) = = =.7 4. Nel caso in cui si considerino t = cifre significative l errore relativo sarà pari a.4 sia nel caso di s che in quello di s.. Dati i numeri a =.45, b =.456 e c =.454 si calcolino le quantità (a + b) c e a + (b c) in un sistema in virgola mobile in base con mantissa di 4 cifre significative. Commentare i risultati. Convertendo a, b e c nel sistema in virgola mobile dato otteniamo fl(a) =.45, fl(b) =.46, fl(c) =.45.

2 Notiamo che, avendo dovuto effettuare arrotondamenti nella conversione di b e c ci si aspetta un errore relativo non nullo sia per q = (a + b) c che per q = a + (b c). Calcolando (a + b) si ha =.585 effettuando un altro arrotondamento per convertire tale somma otteniamo fl(a + b) =.58 a cui andiamo a sottrarre c trovando =.6 quindi si ha fl(q ) =.6. Passando al calcolo della quantità q procediamo con la sottrazione (b c) =. quindi fl(b c) =. che sommato ad a darà =.55. Per quando riguarda la valutazione dell errore relativo consideriamo il valore esatto x =.47 e quindi ρ q = =.554, ρ q = =.4.. Dati v =, v =, v = dimostrare che sono ortogonali. Dire se A = [v v v ] è non singolare, calcolare il suo spettro e il raggio spettrale. Sfuttando i calcoli fatti e motivando la risposta calcolare determinante e spettro dell aggiunta e dell inversa di A. La matrice A è non singolare essendo det(a) =.

3 Calcolando gli autovalori di A come radici del polinomio caratteristico, troviamo che lo spettro di A è dato da σ(a) =, + i, i} e di conseguenza il raggio spettrale sarà ρ(a) =. Sfruttando le proprietà del determinante e dello spettro si trova ricordando che 4. Dire se la matrice det(a ) =, σ(a ) = σ(a) =, + i, i} det(a ) =, σ(a ) = (A ) ij = a ji. V = β, + i, } i è ortogonale e calcolare il suo raggio spettrale. Calcolare il numero di condizionamento in norma,, di V in funzione del parametro reale positivo β. Essendo 4 V T V = 5 β V non è una matrice ortogonale. Poichè V è triangolare i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale e quindi il raggio spettrale sarà β se β > 4 ρ(v ) = se β < 4 λ Cominciamo col calcolo di k (V ) = max(v T V ) ; lo spettro di V T λ min V è (V T V ) } σ(v T V ) = β, 9+ 7, 9 7 da cui otteniamo λ max (V T V ) = 9+ 7 se β < 9+ 7 β se β > 9+ 7

4 e quindi λ min (V T V ) = k (V ) = β se β < se β > se β < 9 7 β β se 7 < β < 9+ 7 se β > 9+ 7 Per quanto riguarda il calcolo dei numeri di condizionamento in norma e si ha innanzitutto V = max,, β } se β < 9 = β se β > 9 V = max,, β } = se β < 9 β se β > 9 Per calcolare le norme e di V calcoliamo l inversa di V risolvendo i sistemi V x i = e i, i =,, senza applicare l algoritmo di eliminazione di Gauss essendo V già in forma triangolare superiore. Effettuiamo il calcolo per la prima colonna di V : x + x = / x = da cui x = βx = e svolgendo i calcoli in maniera analoga per la seconda e terza colonna troviamo / /4 V = / /. β Pertanto si ottiene V = max /, /4, / β } = 4 /4 se β > 6/9 / β se β < 6/9

5 e le stesse condizioni si ricavano per V da cui segue che β se β < 6/9 k (V ) = k (V ) = 9 se 6/9 < β < β se β > 9 5. Calcolare la fattorizzazione P A = LU della matrice A = utilizzarla per calcolare il determinante di A, la quarta colonna dell inversa di A e per trovare la soluzione del sistema Ax = b con b = (7, 7,, 5) T. L =, U = 4, P = 5 det(a) = det(u) ( det(p ) = 5 ) = x = [,,, 4] T, x (4) = [ /, /, /5, /5] T 5