Fondamenti di Fisica Matematica: Secondo parziale Cognome e nome:...matricola:... es.1 es.2 es.3 es.4 es.5 somma

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1 Fondamenti di Fisica Matematica: Secondo parziale Cognome e nome: matricola: es. es. es.3 es.4 es.5 somma Voto: es.+es.+es.3+max(es.4,es.5). Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo delle differenze finite, del seguente problema differenziale: u t = u x 3 u, x 4, t 0, x u(, t) =, u(4, t) =, u(x, 0) = (x + ), u(x, 0) = 4. 3 t Discutere le caratteristiche del sistema lineare ottenuto.. Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi finiti, del seguente problema differenziale: u t = (x u ) + x u x, t 0, x 3, u(, t) = 0, u(3, t) = 0, u(x, 0) = x. Discutere le caratteristiche del sistema lineare ottenuto. 3. Discutere la risoluzione numerica, mediante il metodo degli elementi finiti, del seguente problema differenziale: (x + y ] u) + xyu = f, (x, y) = (, 3) (, 5), u = 0. Discutere le caratteristiche del sistema lineare ottenuto. Si potrà far iniziare la discussione partendo dalla seguente formulazione variazionale: rovare u H0() tale che per ogni ϕ H0() x + y ] u ϕ + xyuϕ ] dxdy = fϕ dxdy.

2 4. Per risolvere l equazione z = w nel piano complesso per w 0, poniamo z = x + iy e w = u + iv per x, y, u, v R e scriviamo z = w nella forma ( ) ( ) ( ) x def x f = y u 0 =. y xy v 0 Indicare come si risolve tale equazione mediante il metodo di Newton, specificando la scelta iniziale (x 0, y 0 ) che garantisce la convergenza. 5. Applicare il metodo di Newton per calcolare gli zeri,, 3 dell equazione x 3 6x + x 6 = (x )(x )(x 3) = 0. Discutere, per il calcolo di ciascuno dei tre zeri, lo schema di iterazione, la scelta di x 0 che garantisce la convergenza, e la velocità della convergenza.

3 SOLUZIONI:. Siano h = 3/(n + ), k = /(m + ), x i = + ih, t j = jk. Secondo lo schema dei sette punti si ha: u i,j+ u i,j + u i,j = ui+,j+ u i,j+ + u i,j+ + u ] i+,j u i,j + u i,j k h h 3 ui+,j+ u i,j+ + u ] i+,j u i,j, h h dove Inoltre, u 0,j =, u n+,j =, u i,0 = 3 (x i + ) = + ih 3. (i,j+) (i,j+) (i+,j+) (i,j) (i,j ) (i,j ) (i+,j ) ] u u i, u i,0 + k t u u i,0 + k t = + ih 3 + 4k k. ] (x i, 0) + u k (x t i, 0) ] (x i, 0) + ui+,0 u i,0 + u i,0 k 3 u i+,0 u i,0 h h ] Spostando tutti i termini non omogeni a destra e gli altri termini a sinistra, si ha: ( h + ) ( u k i,j+ h + 3 ) ( u i+,j+ 4h h 3 ) u i,j+ = b i,j+, 4h

4 dove b i,j+ è nota (per i =,,..., n). ale equazione è da risolvere successivamente per j =,,..., m. La matrice del sistema lineare è tridiagonale con elementi diagonali positivi. ale matrice è strettamente diagonalmente dominante se 0 < 3 4h h, cioè, se 0 < h ; cioè, se n = 4, 5, 6, Scegliamo i nodi = x 0 < x <... < x n < x n+ = 3, non necessariamente equidistanti. Si definisca lo spline 0, x x i, x x i x φ i (x) = i x i, x i x x i, x i+ x x i+ x i, x i x x i+, 0, x i+ x 3. In forma variazionale bisogna trovare (, t) H0(, 3), dipendente dal tempo t R +, tale che per ogni ϕ H0(, 3) si ha: d dt u(x, t)ϕ(x) dx = xux (x, t)ϕ (x) + x u(x, t)ϕ(x) ] 3 dx x ϕ(x) dx, dove u(x, 0)ϕ(x) dx = x ϕ(x) dx. Ponendo n u(x, t) = c j (t)φ j (x), ϕ(x) = φ i (x), j= arriviamo al sistema di equazioni differenziali ordinarie c (t) = A c(t) + b, dove A ij = b i = c i (0) = xφ i (x)φ j(x) + x φ i (x)φ j (x) ] dx, x φ i (x) dx, xφ i (x) dx.

5 Allora (A c, c) = n x c i φ i(x) i= n + x c i φ i (x) dx 0 qualunque sia il vettore colonna c. Inoltre, se A c = 0, allora (usando x ), 3 n c i φ i (x) dx = 0 e quindi i= i= n c i φ i (x) = 0, x 3. i= Sostituendo x = x j otteniamo c =... = c n = 0. Di conseguenza, A è una matrices reale, simmetrica e tridiagonale con autovalori positivi. Quindi c(t) = e ta c(0) + e ta I n ] A b. 3. Scegliamo = x 0 < x <... < x n < x n+ = 3 e = y 0 < y <... < y m < y m+ = 5, non necessariamente equidistanti. Per ciascun nodo interno (x i, y j ) (i =,..., n, j =,..., m) definiamo la funzione spline φ (i,j) (x, y) = x x i x i x i, (x, y), y y j y j y j, (x, y), y y j y j y j + x i x x i+ x i, (x, y) 3, x i+ x x i+ x i, (x, y) 4, y j+ y y j+ y j, (x, y) 5, y j+ y y j+ y j + x x i x i x i, (x, y) 6, 0, (x, y), 3], 5] \ 6 σ= σ. Poi enumeriamo i nodi in modo lessicografico: x s = (x i, y j ), s = (j )n + i, i =,..., n, j =,..., m. In tal caso, φ s (x) = φ (i,j) (x, y), s =,,..., mn,

6 x=x i x=x i+ y=y j+ x=x i y=y j y=y j dove φ s (x r ) = δ r,s per r, s =,,..., mn. Ponendo u = mn r= c rφ r e ϕ = φ s, risulta il sistema lineare Ac = b, dove ( ] A sr = x + y ] φ s φ r + xyφ s φ r dxdy, b s = fφ s dxdy. Poichè (Ac, c) = x + y mn mn ] c s φ s + xy s= s= c s φ s dxdy 0, la matrice A è reale, simmetrica e sparsa con autovalori non negativi. Se Ac = 0, allora mn (Ac, c) c s φ s dxdy = 0, e dunque mn s= s= c s φ s (x, y) = 0, (x, y). Di conseguenza, c =... = c mn = 0, implicando l invertibilità della matrice A.

7 4. Si ha la seguente mappa di Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x y x F = y u y y (x + y ) y x xy v ( ) x(x = + y ) + xu + yv (x + y ) y(x + y ) yu + xv = ( ) ( ) ( ) x x y u +. y (x + y ) y x v Allora ( ) x F = y Sostituendo ( ) (x + y ) + (y x )u xyv xyu + (x y )v (x + y ) xyu + (y x )v (x + y ) + (y x. )u xyv u = x y, v = xy, si trova F ( x y ) = ( ). Secondo il eorema di Ostrowski, esiste un intorno di ciascuna soluzione che è un bacino di attrazione. Alternativamente, ponendo z = x + iy, w = u + iv e f(z) = z w si può anche scrivere Dunque F (z) = z + wz z = z + w z = z f(z) f (z). F (z) = f(z)f (z) f (z) = z w z. Di conseguenza, se scegliamo z 0 = x 0 + iy 0 nel dominio {( ) } {( ) } x : z w x y z < = : (x y u) + (xy v) < 4(x + y ), y la successione degli iterati converge allo zero contenuto nello stesso componente connesso. 5. Si ha: f(x) = (x )(x )(x 3), f (x) = 3(x ), f (x) = 6(x ).

8 Quindi il metodo di Newton riguarda l applicazione ripetuta della seguente mappa: x n+ = x n f(x n) f (x n ). La funzione f ha un massimo in x = e un minimo in x = +, 3 3 mentre f (x) è negativa per x < e positiva per x >. Quindi: Se, 3 x 0 <, la successione degli iterati x 3 n tende a ; se x 0 > + la successione degli iterati tende a 3. Sia F (x) = x f(x) f (x). Allora F (x) = f(x)f (x), x ± f (x). 3 Nell intervallo tra ± la funzione F è continua, ha un singolo zero 3 (doppio) in x = e è decrescente e tende a se x ± 3 ]. Inoltre F (x) tende a se x ± ξ δ e η δ due numeri reali tali che 3 < ξ δ < < η δ < + 3 ]. Per 0 δ < 3, 3, siano + δ < F (x) 0 per ξ δ < x < η δ e F (ξ δ ) = F (η δ ) = + δ. In tal caso F (x) F (y) = F (ζ)(x y) ( δ) x y, x, y ξ δ, η δ ], implicando che F è una contrazione in ξ δ, η δ ]. Di conseguenza, scegliendo x 0 (ξ 0, η 0 ) la successione degli iterati x n tende a. x 0 = 5 6 ].696, η 0 = ].3074.