Il metodo di Galerkin Elementi Finiti Lineari

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1 Il metodo di Galerkin Elementi Finiti Lineari Si consideri il problema: u(x) = f(x), x (, ), u() = 0, u() = 0. Se ne fornisca la corrispondente formulazione debole. Si costruiscano inoltre la matrice di stiffness e il vettore dei termini noti associati ad una approssimazione di Galerkin con elementi finiti di grado. Infine, utilizzando un passo di discretizzazione h = /2 e assumendo che la f(x) abbia valore unitario x, si risolva il problema ad elementi finiti. Soluzione Si scriva la forma debole del problema: trovare u V : u v dx = fvdx v V, con V H0(, ). L approssimazione secondo il metodo di Galerkin prevede che si partizioni il dominio in N + intervalli e j = (x j, x j+ ), con j = 0,..., N (si veda la Figura ). Nel nostro caso, volendo utilizzare un metodo ad elementi finiti lineari, supponiamo che su ciascun intervallo la soluzione sia u h (x) X h = {v h C 0 : v h ej P, j = 0,..., N}, essendo Xh lo spazio delle funzioni polinomiali di primo grado. Tenendo conto delle condizioni al bordo si ottiene: u h (x) X h = {v h Xh : v h () = v h () = 0}. Si considerino ora i due elementi e j ed e j rappresentati in Figura 2. Per completare il modello ad elementi finiti è necessario scegliere un opportuna

2 Figura : Partizionamento del dominio (, ) in quattro elementi. base per lo spazio X h H (, ), come ad esempio le seguenti funzioni φ j (x), rappresentate in Figura 3: φ j (x) = x x j x j x j, per x j x x j, x j+ x x j+ x j, per x j x x j+, 0, altrove. Le loro derivate sono: φ j(x) = h j, per x j x x j, h j+, per x j x x j+, 0, altrove, dove h j = x j x j. Figura 2: Approssimazioni lineari della soluzione sui due elementi e j ed e j. Indicando con u j = u h (x j ) i valori nodali della soluzione approssimata, 2

3 Figura 3: Rappresentazione delle tre funzioni base φ j, φ j e φ j+ quest ultima è determinata dalla seguente espressione: u h (x) = N u j φ j (x). j= I valori u j sono definiti gradi di libertà del problema e sono in numero N. Il problema di Galerkin discretizzato è quindi: trovare u h V h : u hv hdx = fv h dx v h V h, con V h = {v h X h : v h() = v h () = 0}. Dato che la formulazione di Galerkin deve valere per ogni v h, deve valere anche per ogni elemento della base, quindi: Denotando N j= u j φ j(x)φ i(x)dx = a i,j = si può scrivere il sistema lineare φ j(x)φ i(x)dx, f i = Au = f, fφ i (x)dx, i =,..., N. fφ i (x)dx, avendo indicato con A la matrice di stiffness (rigidità) i cui elementi sono a i,j, con u il vettore dei gradi di libertà e con f il vettore del termine noto i cui elementi sono f i. Si noti che la matrice di stiffness, per come sono definite le φ i e per la simmetria della forma bilineare associata al problema, è simmetrica e tridiagonale. Supponendo di aver partizionato il dominio (, ) in quattro 3

4 elementi come in Figura, saranno presenti cinque nodi di cui solo tre nei quali la soluzione è incognita, quindi la matrice di stiffness sarà 3 3 e avrà la seguente struttura : 0 A =. 0 Si vogliono ora calcolare i coefficienti a i,j. Si noti che, essendo la matrice simmetrica, è sufficiente calcolare esplicitamente solo i termini diagonali e la diagonale superiore. Dato che il supporto di ciascuna funzione base è costituito dai due elementi adiacenti al nodo corrispondente, si ha: a i,j = φ j(x)φ i(x)dx = xj x j φ j(x)φ i(x)dx + xj+ x j φ j(x)φ i(x)dx, Per come sono definite le funzioni base (si veda la Figura 3) si ha che: a i,i = φ i(x)φ i(x)dx + a i,i = a i,i+ = + φ i(x)φ i(x)dx, + φ i(x)φ i+(x)dx, a i,j = 0 per j i, i ±. φ i(x)φ i(x)dx, Si consideri il coefficiente a i,i. Usando le relazioni fornite precedentemente si ottiene: + φ i(x)φ i(x)dx = + dx =, h 2 i+ e analogamente φ i(x)φ i(x)dx = h h 2 i =. i h i Sommando i due termini si ricava: a i,i = h i +. Si consideri ora il coefficiente a i,i = a i,i : a i,i = φ i(x)φ i(x)dx = h i ( h i ) dx = h i. Si noti che se la numerazione dei nodi non fosse ordinata la matrice non sarebbe tridiagonale. 4

5 Infine, si consideri il coefficiente a i,i+ = a i+,i : a i,i+ = Ricapitolando: e + φ i(x)φ i+(x)dx = + dx =. a i,i = h i +, a i,i = h i, a i,i+ =, a i,j = 0 per i j >. La matrice di stiffness è dunque: + 0 h h 2 h 2 A = +. h 2 h 2 h 3 h h 3 h 3 h 4 Nel caso di spaziatura uniforme e pari a h i = /2 i si ottiene: A = Supponendo inoltre che la forzante f sia unitaria 2, si possono calcolare i coefficienti f i come segue: f i = fφ i (x)dx = φ i (x)dx + + φ i (x)dx = = x h i dx x dx = h i Che nel caso di spaziatura uniforme (h i = /2 i), si riduce a: f i = 2, 2 Si osservi che nel caso in cui la forzante f sia una generica funzione di x è comunque possibile utilizzare la stessa procedura di calcolo, integrandola assieme alla funzione test. 5

6 e dunque il sistema lineare completo è: u u u 3 la cui soluzione è: = /2 /2 /2, u = 3/8, u 2 = /2, u 3 = 3/8. La soluzione esatta del problema iniziale è data dalla seguente formula analitica: u = x Si noti che i valori di u calcolati in x = /2, x 2 = 0, x 3 = /2 coincidono con i valori numerici u, u 2, u 3. Questo non accade sempre, ma dipende dalla scelta particolare del termine noto. 6