TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE

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1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE Francesca Pelosi e Salvatore Filippone Università di Roma Tor Vergata Problemi Ellittici Metodo di Galerkin per Pb Ellittici: 1D, 2D pelosi/ TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.1/59

2 EDP o PDE Le Equazioni alle Derivate Parziali sono equazioni differenziali contenenti derivate della funzione incognita rispetto a più variabili (temporali o spaziali). Sia la funzione incognita u = u(t, x 1,..., x d ), una generica EDP si può esprimere F ( x, t, u, u t, u x 1,..., u p1+ +pd+pt u,..., x d x p 1 1 tp t ), g = (1) di ordine p = max{p p d + p t }, p i N, con g insieme di dati. Notazione: operatore divergenza: v = div(v) = d i=1 v i x i, operatore di Laplace (o laplaciano): u = d i=1 2 u x 2 i TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/59

3 EDP o PDE ESEMPI: I ordine: u t + (bu) = : equazione di trasporto (convezione), conservazione della massa in un sistema materiale che occupa la regione Ω, u rappresenta la densità del sistema e b(x, t) è la velocità posseduta da una particella del sistema che all istante t occupa la posizione x; II ordine: u = f: equazione del potenziale, diffusione di un fluido in una regione Ω omogenea ed isotropa o spostamento verticale di una membrana elastica (ellittica) u t 2 u t 2 u = : equazione del calore (parabolica) u = : equazione delle onde (iperbolica) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.3/59

4 Classificazione EDP del II ordine Una EDP del II ordine a coefficienti costanti: Lu = A 2 u x B 2 u x 1 x 2 + C 2 u x D u x 1 + E u x 2 + F u = G con G funzione assegnata e A, B, C, D, E, F R, può essere classificata a seconda del segno del discriminante = B 2 4AC : se < : l equazione si dice ellittica se = : l equazione si dice parabolica se > : l equazione si dice iperbolica In generale non è possibile ricavare per via analitica una soluzione della (1): i metodi di integrazione analitica disponibili (tecnica di separazione delle variabili) sono di limitata applicabilità. Anche nel caso si conosca un integrale generale non è detto si riesca a determinare un integrale particolare. Si ricorre a metodi numerici per ottenere una soluzione approssimata TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.4/59

5 Parte I EQUAZIONI ELLITICHE TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/59

6 Eq. di Poisson Si considera un dominio Ω R 2 limitato e connesso e sia Ω la sua frontiera. Il problema è: u = f in Ω dove f = f(x) è una funzione assegnata nelle due variabili spaziali x = (x 1, x 2 ). L equazione, ellittica del II ordine, si dice formulazione forte del problema di Poisson, (o equazione di Laplace nel caso f = ). Per avere un unica soluzione occorre aggiungere opportune condizioni al contorno: Problema di Dirichlet: si può assegnare il valore dello spostamento sul bordo: u = g su Ω dove g è una funzione assegnata. Se g = si dice omogeneo. Problema di Neumann: si può assegnare il valore della derivata normale di u sul bordo: u n = u n = h su Ω h è una funzione assegnata, n la normale uscente ad Ω. Se h = si dice omogeneo TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.6/59

7 Eq. di Poisson Problema misto: si possono assegnare su porzioni diverse della frontiera Ω condizioni di tipo diverso. Se Ω = Γ D Γ N con Γ D Γ N = si possono imporre le condizioni: u = g, su Γ D u n = h, su Γ N. Anche nel caso di Dirichlet omogeneo in cui f sia continua nella chiusura di Ω (Ω) non è detto il problema ammetta soluzione regolare: u potrebbe non appartenere a C 2 (Ω). ESEMPIO Se f / C (Ω) non ha senso in generale cercare soluzioni u C 2 (Ω). Siamo interessati a trovare una formulazione alternativa a quella forte che consenta di trattare alcuni casi fisicamente significativi TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.7/59

8 Pb. di POISSON: 1D Problema Dirichlet omogeneo: u (x) = f(x), < x < 1 u() =, u(1) = Configurazione di equilibrio di un filo elastico con una tensione pari a 1, fissato agli estremi e soggetto ad una forza trasversale di intensità f(x). La funzione u descrive lo spostamento verticale del filo rispetto alla posizione a riposo u =. Se si suppone di applicare un carico concentrato in uno o più punti, la soluzione fisica esiste ed è continua ma non derivabile. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/59

9 Pb. di POISSON: 1D Problema Dirichlet omogeneo: u (x) = f(x), < x < 1 u() =, u(1) = Configurazione di equilibrio di un filo elastico con una tensione pari a 1, fissato agli estremi e soggetto ad una forza trasversale di intensità f(x). La funzione u descrive lo spostamento verticale del filo rispetto alla posizione a riposo u =. Se si suppone di applicare un carico concentrato in uno o più punti, la soluzione fisica esiste ed è continua ma non derivabile. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/59

10 Pb. di POISSON: 1D Problema Dirichlet omogeneo: u (x) = f(x), < x < 1 u() =, u(1) = Configurazione di equilibrio di un filo elastico con una tensione pari a 1, fissato agli estremi e soggetto ad una forza trasversale di intensità f(x). La funzione u descrive lo spostamento verticale del filo rispetto alla posizione a riposo u =. Se si suppone di applicare un carico concentrato in uno o più punti, la soluzione fisica esiste ed è continua ma non derivabile. Serve una formulazione alternativa che consenta di ridurre l ordine di derivazione richiesto sulla soluzione u: formulazione debole permette di passare da un problema differenziale del secondo ordine ad uno del primo. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.8/59

11 Pb. di POISSON (1D) : forma debole Come si arriva ad una forma debole: Si moltiplica l equazione u (x) = f(x), per una funzione test v (arbitraria) e si integra in (, 1): u v = fv 1 u vdx = 1 fvdx Applicando la formula di integrazione per parti al primo integrale (per eliminare la derivata seconda): 1 u vdx = 1 u v dx [u v] 1 essendo u nota al bordo possiamo considerare funzioni test che si annullano agli estremi dell intervallo, per cui l equazione diventa 1 u v dx = 1 fvdx. (2) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.9/59

12 Pb. di POISSON (1D) : forma debole Come si definisce lo spazio delle funzioni test? Lo spazio V delle funzioni test sarà tale che v() = v(1) = e poichè anche la soluzione u soddisfa tale condizione, sarà ricercata nello spazio V. Dobbiamo definire lo spazio in modo che tutte le operazioni introdotte abbiano senso. Se ad esempio u, v C 1 ([, 1]) allora u, v C ([, 1]) e quindi gli integrali sono ben definiti, ma questo esclude soluzioni fisiche non derivabili dobbiamo richiedere una regolarità minore. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.1/59

13 RICHIAMI: Alcune definizioni: uno spazio vettoriale V con una metrica associata mediante una distanza d : V V R si dice completo se ogni successione di Cauchy risulta convergente nella distanza d; uno spazio vettoriale V con una norma che risulta completo rispetto alla metrica d(u, v) = u v, u, v V si dice spazio di Banach; uno spazio vettoriale V con una prodotto scalare <, > V che risulta completo rispetto alla metrica d(u, v) = u v V = < u v, u v > V, u, v V si dice spazio di Hilbert; TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.11/59

14 RICHIAMI: DEF: Dato uno spazio V : si dice funzionale su V un operatore F t.c. F : V R. F si dice lineare se F (αu + βv) = αf (u) + βf (v), u, v V, α, β R F lineare si dice limitato se C > t.c. F (v) C v V, v V ; si dice spazio duale di V: V = {F : V R, F lineare e limitato} con norma F V = sup v V,v F (v) v V ne segue che F V C si dice forma su V un applicazione a t.c. a : V V R. a si dice bilineare se è lineare rispetto ai due argomenti: a(αu + βv, w) = αa(u, w) + βa(v, w), u, v, w V, α, β R a(u, αv + βw) = αa(u, v) + βa(u, w), u, v, w V, α, β R a si dice continua se M > t.c. a(u, v) M u V v V, u, v V a si dice simmetrica se a(u, v) = a(v, u), u, v V. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.12/59

15 RICHIAMI: Spazi L p Definizione spazi a potenza p esima integrabile, per 1 p : L p (, 1) = v : (, 1) R t.c v L p (,1) := ( 1 ) 1 v(x) p p dx < + 1 p = 1 : v L 1 (,1) = v(x) dx 1 p = 2 : v L 2 (,1) = v(x) 2 dx Proprietà: Date due funzioni ϕ, ψ : (, 1) R; se ϕ 2, ψ 2 sono integrabili ϕψ è integrabile ossia se ϕ, ψ L 2 (, 1) ϕψ L 1 (, 1) Si dimostra come conseguenza della disuguaglianza di Cauchy Schwarz: 1 ϕ(x)ψ(x)dx ϕ L 2 (,1) ψ L 2 (,1) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.13/59

16 RICHIAMI: Spazi di Sobolev Spazio di Sobolev di ordine 1 in (, 1) H 1 (, 1) = { v L 2 (, 1) : v L 2 (, 1) } Spazio di Sobolev di ordine k in (, 1) { } H k (, 1) = v L 2 (, 1) : v (j) L 2 (, 1), j = 1,..., k H k (, 1), k, con H (, 1) = L 2 (, 1), sono spazi di Hilbert rispetto al prodotto scalare: k 1 < f, g > H k = f (j) g (j) dx j= con norma e seminorma f H k = 1 k 1 j= (f (j) ) 2 dx f H k = (f (k) ) 2 dx = f (k) L 2 (,1) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.14/59

17 RICHIAMI: Spazi di Sobolev Ad esempio per k = 1 < f, g > H 1= 1 fgdx + 1 f g dx f H 1 = 1 (f) 2 dx + 1 (f ) 2 dx = f 2 L 2 + f 2 L 2 1 f H 1 = Vale la Disuguaglianza di Poincaré: (f ) 2 dx = f L 2 v L 2 (,1) C Ω v H 1 (,1) v H 1 (, 1) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.15/59

18 RICHIAMI: Spazi di Sobolev Affinchè 1 u v dx = 1 fvdx sia ben definito la richiesta minima è che u v L 1 (, 1) e per la proprietà sopra basta che u, v siano a quadrato integrabile: u, v L 2 (, 1). Consideriamo lo spazio di Sobolev H 1 (, 1) = { v L 2 (, 1) : v L 2 (, 1) } (derivata nel senso delle distribuzioni) Scegliamo come V il seguente sottospazio di H 1 (, 1): V = H 1 (, 1) = { v H 1 (, 1) : v() = v(1) = } e chiediamo f L 2 (, 1) in modo che anche 1 fvdx abbia senso TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.16/59

19 Pb. di POISSON (1D) : forma debole Il problema iniziale viene ricondotto al seguente problema integrale: trovare u V : 1 u v dx = 1 fvdx v V = H 1 (, 1). (3) OSS: Le funzioni di H 1 (, 1) non sono necessariamente derivabili in senso classico, ovvero H 1 (, 1) C 1 ([, 1]) ( es. funzioni continue a tratti stanno in H 1 (, 1) ma non in C 1 ([, 1])). Quindi la soluzione può essere continua ma non derivabile. Il problema (3) risulta equivalente ad un problema variazionale trovare u V : J(u) = min v V J(v) con J(v) = (v ) 2 dx 1 fvdx, (4) DIM: TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.17/59

20 Pb. di POISSON (1D) : forma debole Tornando al problema del filo elastico, se v denota lo spostamento ammissibile dalla posizione di equilibrio u, l equazione (3) esprime l uguaglianza del lavoro fatto dalle forze interne e dalle forze esterne in corrispondenza dello spostamento v: principio dei lavori virtuali. J(w) esprime energia potenziale globale associata alla configurazione w: un qualsiasi spostamento dalla configurazione di equilibrio causa un incremento dell energia potenziale del sistema, la (4) afferma che la soluzione debole minimizza l energia potenziale. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.18/59

21 Pb. di POISSON (1D) : forma debole Pb. di Dirichlet non omogeneo: u() = g, u(1) = g 1 Ci si può ricondurre al caso omogeneo: definiamo la funzione R g, detta rilevamento del dato di bordo, tale che R g () = g, R g (1) = g 1. In questo caso possiamo prendere R g = (1 x)g + xg 1. Se u è la soluzione del problema non omogeneo allora u = u R g è la soluzione del problema omogeneo corrispondente TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.19/59

22 Pb. di POISSON(1D) : forma debole Pb. di Neumann: u + σu = f, < x < 1 u () = h, u (1) = h 1 con σ funzione positiva e h, h 1 R. (Se σ = la soluzione non è unica, ma definita a meno di una costante additiva.) Analogamente al Pb. di Dirichlet: si moltiplica l equazione per una funzione test v, si integra in (, 1) e si applica la formula di integrazione per parti ottenendo u v dx + σuvdx [u v] 1 = fvdx supponiamo f L 2 (, 1) e σ L (, 1), u non è nota al bordo quindi non richiediamo funzioni test che si annullano agli estremi ma è nota la derivata: 1 trovare u H 1 (, 1) u v dx + 1 σuvdx = 1 fvdx + h 1 v(1) h v(), v H 1 (, 1) OSS: Se h = h 1 il pb. debole è caratterizzato dalla stessa equazione del caso di Dirichlet, ma lo spazio V delle funzioni test è ora diverso. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.2/59

23 Pb. di POISSON(1D): forma debole Pb. misto omogeneo (o di Robin): u + σu = f, < x < 1 u() =, u (1) = In questo caso si deve chiedere che le funzioni test siano nulle in x = (Γ D =, Γ N = 1) ponendo: H 1 Γ D (, 1) = { v H 1 (, 1) : v() = } con i soliti passaggi la formulazione debole con f L 2 (, 1) e σ L (, 1), è trovare u H 1 Γ D (, 1) 1 u v dx + 1 σuvdx = 1 fvdx, v H 1 Γ D (, 1) OSS: Di nuovo si ottiene la stessa equazione del caso di Dirichlet omogeneo, ma con diverso lo spazio V delle funzioni test. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.21/59

24 Pb. di POISSON(1D): forma debole Pb. misto (o di Robin): u + σu = f, < x < 1 u() =, u (1) + γu(1) = r, γ, r > Si chiede che le funzioni test siano nulle in x = (Γ D = ) ponendo: H 1 Γ D (, 1) = { v H 1 (, 1) : v() = } in questo caso il termine di bordo per x = 1 derivante dall integrazione per parti fornisce un termine proporzionale all incognita u: [u v] 1 = rv(1) + γu(1)v(1) la formulazione debole risulta: trovare u H 1 Γ D (, 1) 1 u v dx + 1 σuvdx + γu(1)v(1) = 1 fvdx + rv(1), v H 1 Γ D (, 1) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.22/59

25 Pb. di POISSON (2D) omogeneo : forma debole Consideriamo il caso di Dirichlet omogeneo, sul dominio limitato Ω R 2 : u = f, u =, in Ω su Ω Analogamente al caso monodimensionale Si moltiplica l equazione differenziale u = f, per una funzione test v (arbitraria) e si integra in Ω: uv dω = fv dω Ω Occorre applicare l analogo multidimensionale della formula di integrazione per parti. Si ottiene con il teorema della divergenza: div(a) dω = a n dγ Ω con a(x) = (a 1 (x), a 2 (x)) T funzione sufficientemente regolare e n(x) = (n 1 (x), n 2 (x)) T versore normale uscente ad Ω e x = (x 1, x 2 ) T vettore coordinate spaziali. Ω Ω TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.23/59

26 Pb. di POISSON (2D) omogeneo : forma debole Applicando il teorema della divergenza alle funzioni (, ϕψ) T e (ϕψ, ) T si ottiene ϕ ψ dω = ϕ ψ dω + ϕψn i dγ, i = 1, 2 Ω x i Ω x i Ω Sfruttando u = div u = i=1,2 x i ( u x i ): Ω uv dω = i=1,2 = = Ω i=1,2 ( ) u v dω Ω x i x i u v dω x i=1,2 i x i Ω u v dω x i x i Ω i=1,2 i=1,2 Ω u x i vn i dγ ( u x i n i ) v dγ si arriva alla formula di Green uv dω = Ω u v dω Ω Ω u n v dγ TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.24/59

27 Pb. di POISSON (2D): forma debole Si arriva così alla formulazione debole trovare u H 1 (Ω) : con f L 2 (Ω) e dove denotiamo Ω u v dω = Ω fv dω, v H 1 (Ω). H 1 (Ω) = {v : Ω R t.c v, v x i L 2 (Ω)} H 1 (Ω) = {v H 1 (Ω) : v = su Ω} OSS: Se u, v H 1 (Ω) allora u, v [L2 (Ω)] 2 e quindi u v L 1 (Ω) grazie alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: ( u, v) u L 2 (Ω) v L 2 (Ω) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.25/59

28 Pb. di POISSON (2D): forma debole Definiamo: a : V V R, a(u, v) = u v dω, forma bilineare Ω F : V R, F (v) = f v dω, funzionale lineare Ω Il problema debole diventa trovare u V : a(u, v) = F (v) v V. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.26/59

29 Pb. di POISSON (2D) NON omogeneo Consideriamo il seguente problema con condizioni miste non omogenee u = f, u = g, u n = φ, in Ω su Γ D su Γ N dove Γ D, Γ N costituiscono una partizione di Ω, con f L 2 (Ω), g H 1 2 (Γ D ), φ L 2 (Γ N ). Grazie alla formula di Green si ottiene: Ω u v dω Ω u n v dγ = Ω fv dω e sfruttando il dato u n = φ su Γ N : Ω u v dω Γ D u n v dγ φv dγ = Γ N Ω fv dω TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.27/59

30 Pb. di POISSON (2D) NON omogeneo Imponendo v = in Γ D, si arriva alla seguente forma debole trovare u V g : u v dω = Ω φv dγ + Γ N Ω fv dω v V con V = H 1 Γ D (Ω) = {v H 1 (Ω) : v ΓD = } V g = {v H 1 (Ω) : v ΓD = g} La formulazione sopra presenta delle problematiche: non è simmetrica (u V g, v V ) V g non è un sottospazio di V. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.28/59

31 Pb. di POISSON (2D) NON omogeneo Supponiamo di conoscere una funzione continua R g, rilevamento del dato di bordo: R g H 1 (Ω), R g ΓD = g e consideriamo ũ = u R g, ũ ΓD ũ ΓD = dunque è soluzione del problema omogeneo associato e poichè u = ũ + R g, il problema diventa trovare ũ V = HΓ 1 D (Ω): ũ v dω = φv dγ + fv dω R g v dω v V Ω Γ N Ω Ω ovvero trovare ũ V : a(ũ, v) = F (v) v V F (v) = φv dγ Γ N Ω fv dω Ω R g v dω Il problema è simmetrico Le condizioni di Dirichlet sono dette essenziali in quanto imposte in modo esplicito per determinare lo spazio di funzioni Le condizioni di Neumann sono dette naturali in quanto soddisfatte implicitamente dalla soluzione del problema. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.29/59

32 Problemi Ellittici più Generali Lu = f, u = g, in Ω su Γ D u n L = φ, su Γ N dove Γ D, Γ N costituiscono una partizione di Ω, con f L 2 (Ω), g H 1 2 (Γ D ), φ L 2 (Γ N ) e definendo l operatore L: 2 ( ) u Lu = a i,j + σu x i,j=1 i x j e la derivata conormale di u associata all operatore L u n L = 2 i,j=1 a i,j u x j n i Sotto opportune ipotesi la formulazione debole rimane la stessa definendo 2 a(u, v) = u v a i,j + σuv dω Ω x i,j=1 j x i F (v) = a(r g, v) + fv dω + φv dγ Ω Γ N TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.3/59

33 Problemi Ellittici più Generali Vediamo le ipotesi che devono essere soddisfatte: σ(x) L (Ω) e α > tale che σ(x) α, q.o. in Ω; i coefficienti a ij : Ω R siano funzioni continue i, j = 1, 2 esista una costante α > (costante di ellitticità) tale che ξ = (ξ 1, ξ 2 ) T R 2, 2 2 a ij (x)ξ i ξ j α i,j=1 i=1 ξ 2 i, q.o. in Ω. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.31/59

34 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) = f i, in Ω, i = 1, 2 u i =, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 σ ij (u) = λdiv(u)δ ij + 2µε ij (u), div σ(u) = ε ij (u) = 1 2 ( ui + u ) j x j x i = 2 j=1 σ ij x j (u), i = 1, 2 u 1 x ( u 1 x 2 + u 2 x 1 ) 1 2 ( u 1 x 2 + u 2 x 1 ) u 2 x 2 u : spostamento di un corpo elastico che occupa la regione Ω, sotto l azione di una forza per unità di volume di intensità f = (f 1, f 2 ) T, soggetto ad un carico distribuito su Γ N di intensità g = (g 1, g 2 ) T e fissato all estremità Γ D. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.32/59

35 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) = f i, in Ω, i = 1, 2 u i =, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 con la formula di Green σ(u) : ε(v) dω := Ω = 2 i,j=1 Ω 2 i,j=1 Γ σ ij (u)ε ij (v) dω σ ij (u)n j v i dγ 2 i,j=1 Ω σ ij x j (u)v i dω si ottiene: σ(u) : ε(v) dω = f v dω + g v dγ Ω Ω Γ N λdiv(u)div(v) dω + 2µ ε(u) : ε(v) dω = f v dω + g v dγ Ω Ω Ω Γ N TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.33/59

36 ESEMPIO: Elasticità Lineare in lamina con buco una lamina sottile sottoposta a tensione uniforme lungo un asse T x = T x e x con un piccolo foro (r = 1) nell interno La distribuzione può essere alterata solo in prossimità del buco e lo stress mantiene valori uniformi nel resto del dominio È conveniente costruire un cerchio ipotetico con raggio uguale all ampiezza della lamina Per simmetria si può risolvere il problema in un quarto di dominio TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.34/59

37 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) =, in Ω, i = 1, 2 u i = p i, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Γ D Γ N Γ N Γ D TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.35/59

38 ESEMPIO: Elasticità Lineare div σ(u) =, in Ω, i = 1, 2 u i = p i, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Configurazione iniziale e finale; Distribuzione dello stress σ 1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.36/59

39 ESEMPIO: Problema di Lamè div σ(u) = f, in Ω, i = 1, 2 u i =, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Lamina rettangolare flessibile posta su un piano verticale, soggetta ad una forza f perpendicolare e con un lato fissato ad un sostegno Γ N Γ D ΓN Γ N TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.37/59

40 ESEMPIO: Problema di Lamè div σ(u) = f, in Ω, i = 1, 2 u i =, su Γ D, i = 1, 2 2 j=1 σ ij(u)n j = g i, su Γ N, i = 1, 2 Lamina rettangolare flessibile posta su un piano verticale, soggetta ad una forza f perpendicolare e con un lato fissato ad un sostegno TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.37/59

41 Esistenza e Unicità Lemma di Lax-Milgram Supposto V spazio di Hilbert; a(, ) : V V R forma bilineare coerciva: α > t.c. a(v, v) α v 2 V, v V e continua: M > t.c. a(u, v) M u V v V, u, v V F ( ) : V R funzionale lineare limitato, allora esiste un unica soluzione del problema: trovare u V : a(u, v) = F (v) v V. Corollario La soluzione è limitata in funzione dei dati: u V 1 α F V dove α è la costante di coercività associata alla forma bilineare a(, ), e F V è la norma del funzionale F. DIM: dalla coercività di a(, ) si ha che α u 2 V F (u) F V u V, segue la tesi. a(u, u) = F (u) e poichè TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.38/59

42 METODO di GALERKIN Tutti i problemi visti possono essere ricondotti alla formulazione debole: trovare u V t.c. a(u, v) = F (v), v V con V H 1 (Ω), spazio di Hilbert, a : V V R forma bilineare continua e coerciva, F : V R forma lineare limitata. Formulazione approssimata: Sia V h V una famiglia di sottospazi (al variare di h) a dimensione finita dim V h = N h : trovare u h V h t. c. a(u h, v h ) = F (v h ), v h V h (5) detto Problema di Galerkin. Indicando con {ϕ i ; i = 1, 2,..., N h } una base di V h, basta che la (5) sia soddisfatta per ogni funzione di base a(u h, ϕ i ) = F (ϕ i ), i = 1, 2,..., N h. Scrivendo u h = N h j=1 u jϕ j le equazioni diventano: N h u j a(ϕ j, ϕ i ), i = 1, 2,..., N h. j=1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.39/59

43 METODO di GALERKIN Si ottiene il sistema lineare Au = f - A R N h N h : Matrice di stiffness, A ij = a(ϕ j, ϕ i ); - f R N h: vettore dati, f i = F (ϕ i ); - u R N h: vettore incognite, u i = u i. Proprietà di A A associata a problemi ellittici è definita positiva; A simmetrica se e solo se la forma bilineare a(, ) è simmetrica (Pb. con condizioni Dirichlet o miste) Altre proprietà come condizionamento, struttura di sparsità, dipendono dalla base considerata. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.4/59

44 METODO di GALERKIN: analisi Esistenza e Unicità Il Lemma di Lax-Milgram vale per ogni spazio di Hilbert e quindi in particolare per lo spazio V h sottospazio dello spazio di Hilbert V ; a(, ) e F ( ) sono gli stessi; sono soddisfatte le ipotesi del Lemma per cui si ha: COROLLARIO La soluzione del problema di Galerkin esiste ed è unica Analogamente si può dimostrare l esistenza e unicità della soluzione dal fatto che la matrice A essendo definita positiva risulta non singolare. Stabilità: la soluzione discreta rimane limitata al tendere di h a zero. Infatti vale: COROLLARIO Il metodo di Galerkin è stabile, uniformemente rispetto ad h in quanto vale u h V 1 α F V TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.41/59

45 METODO di GALERKIN: analisi Si vuol dimostrare la convergenza della soluzione del problema di Galerkin alla soluzione del problema debole quando h tende a zero. Lemma di Céa Il metodo di Galerkin è fortemente consistente : a(u u h, v h ) =, v h V h, Ortogonalità di Galerkin DIM: Essendo V h V, la soluzione esatta u soddisfa il problema debole per ogni v = v h : a(u, v h ) = F (v h ) sottraendo con a(u h, v h ) = F (v h ) si ha da cui la tesi per la bilinearità di a(, ). a(u, v h ) a(u h, v h ) = TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.42/59

46 METODO di GALERKIN: analisi Ortogonalità di Galerkin o metodo di proiezione ortogonale: se a(, ) è simmetrica allora definisce un prodotto scalare in V e la fortemente consistenza dice che il vettore errore u u h è ortogonale rispetto al prodotto scalare a(, ) a tutti gli elemeti di V h La soluzione u h del metodo di Galerkin è la proiezione su V h della soluzione esatta minimizza la distanza dalla soluzione esatta nella norma indotta dal prodotto scalare u u u h V h u h TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.43/59

47 METODO di GALERKIN: Convergenza Applichiamo la forma bilineare a u u h : a(u u h, u u h ) = a(u u h, u v h ) + a(u u h, v h u h ) = a(u u h, u v h ) + per la continuità di a(, ): a(u u h, u v h ) M u u h V u v h V per la coercività: a(u u h, u u h ) α u u h 2 V disuguaglianze trovate: da cui mettendo insieme le α u u h 2 V a(u u h, u u h ) = a(u u h, u v h ) M u u h V u v h V u u h V M α u v h V, v h V h u u h V M α inf w h V h u w h V TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.44/59

48 METODO di GALERKIN: Convergenza affinchè si abbia la convergenza occorre richiedere che al tende a zero di h, V h tenda a V : lim h inf v v h V =, v h V h v V ne segue che per valori limite di h (raffinando) la soluzione approssimata converge all soluzione esatta: lim u u h V = h TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.45/59

49 ELEMENTI FINITI 1D Ω = (a, b) R: si vogliono delle approssimazioni di H 1 (a, b) dipendenti da un parametro h: sia T h una partizione di (a, b) in N + 1 sottointervalli K j = (x j 1, x j ) di ampiezza h j = x j x j 1 e h = max j h j con a = x < x 1 < < x N+1 = b le funzioni di H 1 (a, b) sono continue per cui possiamo costruire la seguente famiglia di sottospazi: X r h = {v h C (Ω) : v h Kj P r, K j T h } X r h sono sottospazi di H1 (a, b) in quanto contengono funzioni derivabili tranne che in un numero finito di punti (x j ); Gli elementi di Xh r sono localmente polinomi e quindi facili da calcolare; conviene scegliere una base ϕ i in modo che il supporto della generica funzione intersechi quello di un numero piccolo di altre funzioni (sparsità matrice rigidezza e costo computazionale ridotto) conviene scegliere una base lagrangiana: i coefficienti di v h nella base coincidono con i valori di v h in punti opportuni detti nodi. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.46/59

50 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 1 h Spazio delle funzioni continue lineari a tratti su T h, partizione di (a, b): gradi di libertà, ovvero i valori che occorre assegnare per individuare univocamente un elemento dello spazio, coincidono con N + 2, il numero degli elementi della partizione (nodi e elementi partizione coincidono) base lagrangiana: ϕ i X 1 h t.c. ϕ i(x j ) = δ ij = 1, i = j, i j funzione lineare a tratti che vale 1 in x i e zero in tutti gli altri nodi: ϕ i (x) = x x i 1 x i x i 1, per x i 1 x x i x i+1 x x i+1 x i, per x i x x i+1, altrimenti. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.47/59

51 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 1 h supporto di ϕ i : [x i 1, x i+1 ] per i = 1,..., N, per i =, N + 1 il supporto è il solo intervallo [x, x 1 ] e [x N, x N+1 ] solo le funzioni ϕ i 1, ϕ i+1 hanno supporto con intersezione non nulla con [x i 1, x i+1 ]; la matrice di rigidezza è tridiagonale TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.48/59

52 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 1 h supporto di ϕ i : [x i 1, x i+1 ] per i = 1,..., N, per i =, N + 1 il supporto è il solo intervallo [x, x 1 ] e [x N, x N+1 ] solo le funzioni ϕ i 1, ϕ i+1 hanno supporto con intersezione non nulla con [x i 1, x i+1 ]; la matrice di rigidezza è tridiagonale TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.48/59

53 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 1 h le funzioni ϕ i, ϕ i+1 in [x i, x i+1 ], si ripetono a meno di un fattore di scalatura legato ad h i. Nella pratica si possono ottenere trasformando due funzioni di riferimento ϕ, ϕ 1 costruite su un intervallo di riferimento, tipicamente [, 1]: (x i, x i+1 ) intervallo della partizione di (a, b) può essere ottenuto da (, 1) tramite: φ : [, 1] [x i, x i+1 ], x = φ(ξ) = x i + ξ(x i+1 x i ) le ϕ, ϕ 1 in [, 1] ϕ (ξ) = 1 ξ,, ϕ 1 (ξ) = ξ le generiche ϕ i, ϕ i+1 in [x i, x i+1 ]: ϕ i (x) = ϕ (ξ(x)), ϕ i+1 (x) = ϕ 1 (ξ(x)) con ξ(x) = (x x i )/(x i+1 x i ) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.49/59

54 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 2 h Spazio di polinomi compositi di grado 2 su ciascun intervallo di T h, gradi di libertà: occorre assegnare 3 punti in ogni intervallo, per garantire la continuità due punti coincidono con gli estremi dell intervallo generico di T h e il terzo sarà il punto medio, i nodi saranno: a = x,..., x 2N+2 = b base lagrangiana: ϕ i X 2 h t.c. ϕ i(x j ) = δ ij funzione quadratiche a tratti che vale 1 in x i e zero in tutti gli altri nodi: i pari ϕ i (x) = i dispari ϕ i (x) = (x x i 1 )(x x i 2 ) (x i x i 1 )(x i x i 2 ), per x i 2 x x i 1 (x i+1 x)(x i+2 x) (x i+1 x i )(x i+2 x i ), per x i x x i+2, altrimenti. (x i+1 x)(x x i 1 ) (x i+1 x i )(x i x i 1 ), per x i 1 x x i+1, altrimenti. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/59

55 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 2 h Spazio di polinomi compositi di grado 2 su ciascun intervallo di T h, gradi di libertà: occorre assegnare 3 punti in ogni intervallo, per garantire la continuità due punti coincidono con gli estremi dell intervallo generico di T h e il terzo sarà il punto medio, i nodi saranno: a = x,..., x 2N+2 = b base lagrangiana: ϕ i X 2 h t.c. ϕ i(x j ) = δ ij funzione quadratiche a tratti che vale 1 in x i e zero in tutti gli altri nodi: i pari ϕ i (x) = i dispari ϕ i (x) = (x x i 1 )(x x i 2 ) (x i x i 1 )(x i x i 2 ), per x i 2 x x i 1 (x i+1 x)(x i+2 x) (x i+1 x i )(x i+2 x i ), per x i x x i+2, altrimenti. (x i+1 x)(x x i 1 ) (x i+1 x i )(x i x i 1 ), per x i 1 x x i+1, altrimenti..5 1 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.5/59

56 ELEMENTI FINITI 1D: spazio X 2 h come nel caso lineare la base può essere descritta considerando delle funzioni di base sull intervallo di riferimento [, 1] e poi trasformandole nel generico intervallo: ϕ (ξ) = (1 ξ)(1 2ξ), ϕ 1 (ξ) = 4(1 ξ)ξ, ϕ 2 (ξ) = ξ(2ξ 1).5 per X 2 h la matrice di stiffness risulta pentadiagonale Aumentando il grado polinomiale aumenta numero di gradi di libertà e costo computazionale per risolvere il sistema lineare; l uso di gradi elevati su nodi uniformi porta ad approssimazioni meno stabili TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.51/59

57 In generale: una approssimazione elementi finiti è un approssimazione di Galerkin in cui lo spazio V h : è associato ad una triangolazione T h nel dominio Ω: suddivisione del dominio in oggetti geometrici dello stesso tipo: intervalli in 1D triangoli o rettangoli in 2D... Su ogni elemento K di T h gli elementi di V h sono funzioni polinomiali V h ammette una base ϕ i, i = 1,..., N h di funzioni a supporto limitato in generale ϕ i, i = 1,..., N h sono polinomi a tratti di grado basso TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.52/59

58 Elemento Finito Lagrangiano: definizione Un Elemento Finito si caratterizza con la terna: ( K, Σ, P r ) K: dominio di Definizione o oggetto geometrico P r : spazio dei polinomi su cui è definita una base {ϕ j } r j= ; i gradi di libertà a j di un generico elemento di P r : r p P r, p = α j ϕ j Si indica Σ := {α j } r i= : la conoscenza della posizione dei nodi permette di trovare i gradi di libertà. Supponiamo di definire l elemento a partire da un elemento di riferimento su K e tramite una trasformazione φ si passa all elemento finito su K. Allora se ( K, Σ, P r ) è elemento finito di Lagrange e φ : K R d iniettiva e continua allora ( K, Σ, P r ) è ancora un elemento finito di Lagrange con j= K = φ( K), P r = {p : K R, p φ P r }, Σ = φ( Σ) TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.53/59

59 Approssimazione con Elementi Finiti Lineari PROBLEMA Formulazione debole u + σu = f, a < x < b, u(a) =, u(b) = 1 trovare u H 1 (a, b) u v dx + 1 σuvdx = 1 fvdx, v H 1 (a, b) Problema agli elementi finiti sia T h una partizione di (a, b) in N + 1 sottointervalli K j, h = (b a)/(n + 1) e consideriamo lo spazio delle funzioni lineari a tratti nulle nel bordo V h = {v h X 1 h : v h(a) = v h (b) = } H 1 (a, b) trovare u h V h b a b u h v h dx + σu h v h dx = a b a fv h, v h V h TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.54/59

60 Approssimazione con Elementi Finiti Lineari Consideriamo la base delle funzioni a cappuccio imponendo le condizioni al bordo, possiamo scrivere u h = N u i ϕ i i=1 richiediamo che il problema sopra sia soddisfatto per ogni elemento della base: v = ϕ i si ottiene un sistema lineare di N equazioni nelle N incognite u i = u h (x i ) A = [a ij ], a ij = b a Au = f b ϕ j ϕ i dx + σϕ j ϕ i dx u = [u i ], f = [f i ], f i = a b A è tridiagonale per elementi finiti lineari; a fϕ i dx TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.55/59

61 Approssimazione con Elementi Finiti Lineari Per calcolare gli elementi di A si utilizzano le funzioni definite nell intervallo di riferimento e poi si trasformano opportunamente gli integrali: a ij = = b a xi ( ϕ j ϕ i + σϕ jϕ i ) dx = x i 1 ( ϕ j ϕ i + σϕ jϕ i ) dx + xi+1 x i ( ϕ j ϕ i + σϕ jϕ i ) dx Consideriamo il primo addendo per j = i 1 e applichiamo la trasformazione x = (x(ξ)) con dx = d(x i 1 + ξh i ) = h i dξ: xi x i 1 ( ϕ i 1 ϕ i + σϕ i 1ϕ i ) dx = 1 [ ϕi 1 (x(ξ)) ϕ i (x(ξ)) + σ(x(ξ))ϕ i 1 (x(ξ))ϕ i (x(ξ)) ] h i dξ ϕ i (x(ξ)) = ϕ 1 (ξ) e ϕ i 1 (x(ξ)) = ϕ (ξ), per le derivate si ha d dx ϕ i(x(ξ)) = dξ dx ϕ 1(ξ) = 1 h i ϕ 1 (ξ), a i 1,i = 1 d dx ϕ i 1(x(ξ)) = 1 h i ϕ (ξ) ( 1 h i ϕ 1 (ξ) ϕ (ξ) + σ ϕ 1 (ξ) ϕ (ξ)h i ) dξ Per coefficienti costanti gli integrali possono essere calcolati una volta per tutte. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.56/59

62 Stima dell errore in norma H 1 Errore di Interpolazione Data v C ([a, b]), chiamiamo Π 1 h v l interpolante di v nello spazio X 1 h sulla partizione T h rispetto alla base ϕ i, i =,..., N + 1 lagrangiana: N+1 Π 1 h v(x i) = v(x i ), Π 1 h v(x) = i= v(x i )ϕ i (x) TEOREMA Sia v H r+1 (I), I = (a, b), r 1, Π r h v Xr h dell errore di interpolazione: la sua interpolante. Vale la seguente stima v Π r h v H k (I) C k,rh r+1 k v H r+1 (I), k =, 1. - C k,r : costante indipendente da v e h; - H (I) = L 2 (I) e H = L 2 TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.57/59

63 Stima dell errore in norma H 1 Errore di Approssimazione del metodo degli Elementi Finiti Grazie alla stima dell errore di interpolazione si dimostra: TEOREMA Sia Ω = I, u H p+1 (I) soluzione esatta del problema variazionale e u h la sua soluzione approssimata con il metodo degli Elementi Finiti di grado r in V h = X r h V, r p. Vale la seguente stima apriori dell errore: u u h V M α Chr u H r+1 (I). Per aumentare l accuratezza si può diminuire h, ovvero raffinare la griglia aumentare r, ovvero utilizzare elementi finiti di grado più elevato u V H p+1 (I), quindi il massimo valore di r che ha senso prendere è r = p: se la soluzione non è molto regolare non conviene usare elementi finiti di grado elevato Se p = : soluzione con regolarità minima la stima non è più valida, ma si ha comunque convergenza TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.58/59

64 Stima dell errore in norma H 1 Errore di Approssimazione del metodo degli Elementi Finiti r p = p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 1 converge h 1 h 1 h 1 h 1 2 converge h 1 h 2 h 2 h 2 3 converge h 1 h 2 h 3 h 3 4 converge h 1 h 2 h 3 h 4 In generale: se u H p+1 (I), p > allora esiste una costante C indipendente da u e h, tale che u u h H 1 (I) Chs u H s+1 (I), s = min{p, r}. TECNICHE COMPUTAZIONALI AVANZATE p.59/59