Implementazione del metodo Galerkin/Elementi Finiti in 1d. Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.

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1 Implementazione del metodo Galerkin/Elementi Finiti in 1d Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 23 24

2 Definizione del problema Vogliamo risolvere il problema: { u = 1 in (, 1) u() = u(1) = (1) La soluzione di questo problema è : u(x) = 1 x(1 x) 2.12 (1/2)*x*(1-x) x Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

3 Formulazione debole La forma debole del problema 1 è: cercare u V = H 1 (, 1)t.c. 1 1 u ϕ dx = 1 ϕ dx ϕ V (2) Integrando per parti si ottiene: 1 u ϕ dx = 1 1 u ϕ dx ϕu 1 = u ϕ dx Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

4 Il metodo di Galerkin V h Sia V h V un sottospazio di dimensione finita N h e sia {ϕ i } V h una base di cercare u h V h t.c. 1 1 (3) u hϕ i dx = 1 ϕ i dx ϕ i V h Possiamo esprimere u h come combinazione lineare dei vettori della base: u h = N h u j ϕ j u h = j=1 N h u j ϕ j j=1 In questo modo la 3 2 diventa: N h u j 1 j=1 ϕ iϕ j dx = 1 ϕ i dx i = 1,..., N h Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

5 dove Abbiamo un sistema lineare A ij = 1 Au = f ϕ iϕ j dx, f i = 1 ϕ i dx e il vettore delle incognite u è formato dalle componenti di u h rispetto alla base {ϕ i } Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

6 Elementi finiti lineari definiamo una triangolazione di (, 1) φ i x x 1 x 2 x 3 x i-1 x i x i+1 x N h-1 x Nh-1 x Nh+1 Scegliamo come sottospazio V h lo spazio delle funzioni continue in (, 1) e lineari nei sottointervalli. una base di V h è: {ϕ i } = {ϕ i V h t.c. ϕ i (x j ) = δ ij } Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

7 Implementazione del metodo degli elementi finiti Per costruire la matrice A, spezziamo gli integrali in (, 1) in integrali sugli intervalli: A ij = 1 ϕ iϕ j dx = N h +1 k=1 x k x k 1 ϕ iϕ j dx Sfruttando il fatto che ϕ i (x) solo se x (x i 1, x i+1 ) otteniamo che A ij = se i j > 1 x i+1 2 se i = j ϕ i x i 1 x i x i 1 ϕ iϕ i 1 se j = i 1 x i+1 x i ϕ iϕ i+1 se j = i + 1 Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

8 i termini di matrice diversi da sono N h + 2 (N h 1) (la matrice è sparsa e tridiagonale) ciascun termine della matrice sottointervalli è dato dalla somma di pochi integrali sui Posso utilizzare il seguente algoritmo per costruire la matrice A: 1. pongo a tutti gli elementi di A 2. calcolo tutti gli integrali su ciascun sottointervallo 3. costruisco gli elementi di A come somma di integrali parziali Vantaggi: 1. estensione al caso multidimensionale 2. calcolo parallelo Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

9 In ogni sottintervallo (x k 1, x k ) ho quattro integrali, posso organizzarli in una matrice locale: A loc = i = k 1, j = k 1 i = k 1, j = k i = k, j = k 1 i = k, j = k A loc11 andrà sommato a A k 1,k 1 A loc12 andrà sommato a A k 1,k etc... Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

10 Implementazione in matlab a=; b=1; L = b-a; Nnodi = 1; Nelementi = Nnodi-1; h = L/Nelementi; nodi = [:h:l]; elementi = [1:Nnodi-1;2:Nnodi]; nodidirichlet = [1,Nnodi]; % % Costruzione della matrice dei coefficienti A = sparse(zeros(nnodi)); % Ciclo sugli elementi: for iel=1:nelementi Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

11 % Costruzione matrice locale mloc = zeros(2); % ciclo sulle righe della matrice locale for inode =1:2 % calcolo il gradiente della % fdf relativa al nodo inode igrad = (-1)ˆinode/h; % ciclo sulle colonne della matrice locale for jnode =1:2 % calcolo il gradiente della % fdf relativa al nodo jnode jgrad = (-1)ˆjnode/h; % calcolo l integrale di igrad*jgrad % sull elemento iel e lo assegno % all elemento inode,jnode di mloc mloc(inode,jnode) = igrad*jgrad*h; end % fine ciclo sulle colonne della matrice locale end % fine ciclo sulle righe della matrice locale % Assemblaggio: Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

12 end for inode =1:2 for jnode =1:2 A(elementi(inode,iel),elementi(jnode,iel)) =... A(elementi(inode,iel),elementi(jnode,iel)) +... mloc(inode,jnode); end end % fine ciclo sugli elementi. % % Costruzione del termine noto f = zeros(nnodi,1); % Ciclo sugli elementi: for iel=1:nelementi % Costruzione termine noto locale vloc = zeros(2,1); % ciclo sulle righe del termine noto locale for inode =1:2 % calcolo l integrale della fdf % relativa al nodo inode % sull elemento iel e lo assegno Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

13 % all elemento inode di vloc vloc(inode) = h/2; end % fine ciclo sulle righe della matrice locale end % Assemblaggio: for inode =1:2 b(elementi(inode,iel)) =... vloc(inode); end % fine ciclo sugli elementi. % % Imposizione delle condizioni al contorno A(nodidirichlet,:)=[]; A(:,nodidirichlet)=[]; f(nodidirichlet)=[]; % % Risoluzione del sistema lineare uh = [; A\f; ]; Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A

14 Esercizio Dimostrare che, in questo caso, il metodo fornisce la soluzione esatta nei nodi. Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A