Programmazione Lineare Intera

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1 Programmazione Lineare Intera Andrea Scozzari a.a May 10, 2013 Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

2 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani di Taglio Dato un problema di PLI z PLI = max c T x Ax b x 0 intero con X = P Z n l insieme discreto delle soluzioni ammissibili il problema è trovare una formulazione tale che ˆP = {x R n Âx ˆb, x 0} = conv(x ) che abbia dunque vertici interi. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

3 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani di Taglio Dato un problema di PLI z PLI = max c T x Ax b x 0 intero P = {x R n Ax b, x 0} è la corrispondente formulazione lineare del problema di PLI. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

4 Programmazione Lineare Intera: Metodo dei Piani di Taglio Dato un problema di PLI e due formulazioni lineari P 1 e P 2 vale Definizione Date due formulazioni lineari P 1 e P 2 per lo stesso problema di PLI, si dice che P 1 è migliore di P 2 se e solo se P 1 P 2 P 1 è una formulazione più stringente rispetto a P 2. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

5 Problema. A partire dalla formulazione iniziale P del problema di PLI generare une serie di Tagli in modo tale da ottenere la formulazione ideale ˆP = conv(x ). I Tagli devono avere le seguenti caratteristiche 1. devono ridurre la regione ammissibile del Problema di PL associato al problema di PLI; 2. devono essere soddisfatti da tutte le soluzioni intere del problema di PLI. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

6 Si assuma che i problemi di PLI ammettano una formulazione lineare P chiusa e limitata (i.e., P è un politopo), con un insieme X finito di soluzioni ammissibili Definizione Dato un problema di Programmazione Lineare Intera ed una sua formulazione lineare P, si dice sequenza di Gomory, una sequenza di politopi P = P 0 P 1 P 2... P t tale che 1. P i è una formulazione lineare del problema di PLI con i = 1,..., t; 2. se x i 1 è una soluzione ottima del problema {max ct x x P i 1 }, allora x i 1 / P i, i = 1,..., t; 3. x t è una soluzione ottima a componenti intere del problema {max c T x x P t } Pertanto, x t è una soluzione ottima del problema di PLI di partenza. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

7 Il primo algoritmo di generazione dei tagli fu dovuto a Gomory basato su Osservazione Se una disequazione lineare a T x α è valida per il poliedro P, allora la disequazione: n a i x i α i i=1 è soddisfatta da ogni vettore x P Z n, anche se non è più valida per P. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

8 Gomory dimostrò che esiste un numero finito di disequazioni del tipo a T x α opportunamente arrotondate (Piani di Taglio) per produrre una formulazione P con soluzione ottima intera. Chvátal nel 1973 propose una procedura per generare la Formulazione ideale ossia l involucro convesso di X. Tale procedura genera una sequenza di formulazioni in cui ciascuna viene ottenuta dalla precedente mediante l aggiunta di un insieme (finito) di disequazioni valide Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

9 Definizione Data una formulazione P = {x R n Ax b} del problema di PLI ed un vettore u R m, u 0, si chiama Taglio di Chvátal-Gomory prodotto da P, la disequazione: u T A x u T b Ossia una disequazione valida per P si ottiene come combinazione conica delle disequazioni del sistema Ax b. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

10 Teorema Data una formulazione P = {x R n Ax b} del problema di PLI la disequazione: u T A x u T b è valida per conv(x ). Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

11 L idea è quella di generare un taglio utilizzando le informazioni associate alla base B corrispondente alla soluzione ottima x del rilassamento continuo corrente. Supponiamo di aver risolto il problema rilassato {max c T x x P}, con P = {Ax = b, x 0} (problema in forma standard). Se x ha tutte le componenti intere allora x è soluzione ottima del problema di PLI. Altrimenti, data una base B riscriviamo il sistema nel modo seguente: Bx B + Nx N = b (x B, x N ) 0 la soluzione ottima (frazionaria) si riscrive x = (x B, x N ) = (B 1 b, 0) Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

12 Dato che la soluzione ottima è frazionaria, deve esistere almeno una componente basica frazionaria x h > 0. Pertanto la riga t-ma del sistema corrente dei vincoli si può scrivere: a tj x j + x h = b t La riga t è detta riga generatrice del taglio. Tenendo conto che a ij = a ij + f ij dove: 1. a ij è la parte intera inferiore di a ij 2. f ij = a ij a ij è la parte frazionaria di a ij 3. 0 f ij < 1 Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

13 Riscriviamo il vincolo t-mo nel modo seguente: ij x j + a f ij x j + x h = b t + f t Dato che f ij x j 0, allora la vale disequazione con 0 f t < 1 a ij x j + x h b t + f t Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

14 In particolare per le soluzioni intere del problema di PLI si avrà: Dimostrazione a ij x j + x h b t (1) Per ogni soluzione x intera del problema di PLI si ha Ossia a ij x j + x h a ij x j + x h = b t + f t = b t a ij x j + x h b t + f t = b t Dato che i coefficienti delle variabili x sono interi, la parte sinistra della disequazione è un numero intero per cui vale a ij x j + x h b t La disequazione (1) è il Taglio di Gomory Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

15 il Taglio di Gomory a ij x j + x h b t è, dunque, una disguguaglianza valida per X (l insieme discreto delle soluzioni del problema di PLI) ed è tale per cui a ij xj + xh = b t > b t Ossia la disequazione (1) non è verificata per la soluzione ottima x, ovvero la disequazione (1) taglia x. Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16

16 La nuova formulazione P 1 migliore rispetto a P si ottiene nel modo seguente: P 1 = {Ax b, a ij x j + x h b t, x 0} P Teorema A. Schrijver (1980): Per ogni problema di Programmazione Lineare Intera che ammette una formulazione razionale (o limitata) P = {x R n Ax b} esiste un intero finito k tale che P k = {x R n A k x b k } coincide con la formulazione ideale, ossia P k = conv(x ). Andrea Scozzari (a.a ) Programmazione Lineare Intera May 10, / 16