TEORIA della DUALITÀ. Una piccola introduzione. Ricerca Operativa. Prof. R. Tadei. Politecnico di Torino. Teoria della Dualità / 1.

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1 Prof. R. adei EORIA della DUALIÀ Una piccola introduzione R. adei 1 R. adei 2 EORIA DELLA DUALIA' Il concetto di dualità fu introdotto nel 1947 da Von Neumann, anche se il teorema della dualità fu formulato esplicitamente e dimostrato solo nel 1951 da Gale, Kuhn e ucker. La teoria della dualità ha un ruolo fondamentale in tutta la programmazione matematica. La presente trattazione è rivolta alla programmazione lineare; le proprietà enunciate sono quindi solo casi particolari di teoremi più generali. L obiettivo del capitolo consiste nel definire ed illustrare le proprietà dell associazione di un problema (di P.L.) duale ad ogni problema di P.L. (detto primale). Il problema duale possiede delle proprietá particolari, che possono essere utilizzate, nel risolvere il problema primale identificando piú rapidamente soluzioni ottime o impostando algoritmi di soluzione diversi. Ad esempio, dopo aver dimostrato che all avvicinarsi all ottimo le funzioni obiettivo primale e duale si avvicinano, la differenza tra le funzioni obiettivo può essere utile per determinare una condizione di stop nell algoritmo del simplesso; oppure, dopo aver illustrato un metodo per ottenere la soluzione ottima di un problema da quella del suo duale, si puó risolvere, se conviene, il problema duale invece del primale. Es. : visto che il primale ha m relazioni e n variabili e il duale ha n relazioni e m variabili, se m>n il simplesso duale è piú efficiente, perché comporta l inversione di matrici mxm invece che nxn. R. adei 3 R. adei 4 / 1

2 Prof. R. adei Esponendo la teoria vedremo : la definizione di un problema duale dato un problema primale di P.L. due esempi significativi di problemi duali (dieta e trasporti) enunciato e dimostrazione del teorema della dualità (in riferimento alla programmazione lineare) la relazione tra moltiplicatori del simplesso e soluzioni ottime del problema duale il metodo con cui ricavare dalla soluzione del problema primale le soluzioni del problema duali un interpretazione economica dei moltiplicatori del simplesso (soluzioni ottime del problema duale) enunciato e dimostrazione delle condizioni di complementarietà tra le soluzioni ottime del primale e del duale per forma asimmetrica e simmetrica Primale min valore ottimo (se finito) min c x (P.P.) A x b Duale max valore ottimo variabili = prezzi associati ai vincoli del primale (cioè ai b j ) max b λ (P.D.) A λ c λ 0 Forma simmetrica R. adei 5 R. adei 6 Notazione : Duale della forma standard : A : matrice di dim. m x n c : vettore colonna di dim. n b : vettore colonna di dim. m x : vettore colonna di dim. n --- λ : vettore colonna di dim. m --- variabili del primale variabili del duale Se invece di un vettore colonna λ si usa un vettore riga y = λ, la formulazione del problema duale risulta : max y b (P.D.) y A c y 0 R. adei 7 Forma standard : min c x (P.P.) A x = b equivale a min c x (P.P.) A x b -A x -b Con matrice di coefficienti : Con vettore dei termini noti : A A b b R. adei 8 / 2

3 Prof. R. adei Il problema duale risulta essere : max b u - b v (P.D.) A u - A v c u 0, v 0 con u v vettore duale partizionato Se poniamo λ = u v ricaviamo la seguente corrispondenza : PRIMALE min c x (P.P.) A x = b DUALE max b λ A λ c λ libero FORMA ASIMMERICA (P.D.) R. adei 9 PRIMALE f.o. min z = c x abella delle corrispondenze : DUALE f.o. max v = b λ coeff. di costo c termini noti b matrice coeff. A matrice coeff. A i-esima relazione variabile λ i 0 i-esima relazione = variabile λ i libera i-esima relazione variabile λ i 0 variabile x j 0 j-esima relazione < variabile x j libera j-esima relazione = variabile x j 0 j-esima relazione > R. adei 10 P.P. P.D. ESEMPIO min z = x 1 + 4x 2 + 2x 3 x 1-3x 2 + 4x 3 = 5 ==> y 1 libera x 1-2x 2 < 3 ==> y 2 < 0 2x 2 -x 3 > 4 ==> y 3 > 0 x 1 > 0 ==> E 1 (<) x 2 > 0 ==> E 2 (<) x 3 libera ==> E 3 (=) E 1 : y 1 + y 2 < 1 E 2 : -3y 1-2y 2 + 2y 3 < 4 max v = 5y 1 + 3y 2 + 4y 3 E 3 : 4y 1 -y 3 = 2 Es. (duale del problema della dieta) Primale : Duale : min c x A x b max b λ A λ c λ 0 c : costi dei cibi b : elementi nutritivi necessari A : elementi nutritivi presenti in ogni cibo x : quantitità di cibo da acquistare λ : prezzi unitari di ogni elemento nutritivo Per assicurare la competitività con il cibo reale R. adei 11 R. adei 12 / 3

4 Prof. R. adei Il problema primale della dieta corrisponde ad un operatore (economo) che sceglie una miscela di cibi (dieta) tale che garantisca una certa quantità di elementi nutritivi al costo minimo. Il problema duale della dieta corrisponde ad un operatore (fabbricante di pillole) che cerca un prezzo unitario per ogni elemento nutritivo tale che la somma dei costi degli elementi nutritivi presenti in ogni cibo non superi il costo unitario del cibo stesso (al fine di garantire la competitività con il cibo reale). La funzione obiettivo è l utile dato dalla vendita delle pillole per la dieta da massimizzare. R. adei 13 Primale : Es. (duale del problema dei trasporti) min c ijx ij ij st.. x ij a i x ij a i j j x ij b j c ij : costo del trasporto dal i magazzino i al negozio j x ij 0 a i : merce disponibile nel magazzino i Duale : b j : merce richiesta dal negozio j max a iu i + b jv j x ij : quantità di merce da i j trasportare dal magazz. i al negozio s. t. j 1* 2* u u i + v j c i : prezzo di acquisto unitario dal ij magazzino i u i 0, v j 0 v j : prezzo di acquisto unitario dal negozio j R. adei 14 1*) quanto la ditta di trasporti spende per comprare la merce nei magazzini i; 2*) quanto la ditta di tr. guadagna dalla vendita delle merci nei negozi j. Il problema primale dei trasporti corrisponde ad un operatore (proprietario) che cerca un organizzazione per il trasporto delle merci tra i suoi magazzini e i suoi negozi tale che siano soddisfatte le richieste dei negozi, tenendo conto della disponibilità dei magazzini; tutto questo al costo minimo. Il problema duale dei trasporti corrisponde ad un operatore (intermediario) che propone di acquistare la merce nei magazzini per poi venderla ai negozi. Acquista al prezzo u i e vende al prezzo v j. Questi prezzi devono essere non negativi e la loro differenza minore o uguale a c ij, al fine di garantire la competitività di questa nuova proposta. La funzione obiettivo è l'utile netto da massimizzare. R. adei 15 Introduciamo il eorema della Dualità considerando il Problema Primale in forma standard : min c x (P.P.) A x = b a cui corrisponde il Problema Duale : max b λ A λ c (P.D.) N.. : Non si assume più che A sia di rango pieno (cioè m<n con m righe linearmente indipendenti) R. adei 16 / 4

5 Prof. R. adei Lemma Hp. : Dato (P.P) tale che x sia s.a. per (P.P) e λ sia s. a. per (P.D) h. : c x b λ Dim. (P.D.) può essere scritto nella forma : Corollari Hp. : Dato (P.P) tale che x sia s.a. per (P.P) e λ sia s.a. per (P.D) e tale che c x = b λ h. : x soluzione ottima per (P.P.) e λ soluzione ottima per (P.D.) Infatti se x non fosse ottimale, esisterebbe un x* tale che c x* < c x = b λ, contro il lemma precedente. max λ b λ A c duale max b λ = λ b =λ A x c x vedi (P.P.) vedi (P.D.) primale z min Hp. e h. : Se uno dei due problemi (P.P) o (P.D.) ha funzione obiettivo illimitata, l'altro problema non ha soluzioni ammissibili Dim per assurdo : Se (P.P.) ha f.o. illimitata e λ é s. a. per il duale, per il lemma precedente si deve avere b λ -M che è chiaramente impossibile non esiste s. a. per il duale. R. adei 17 R. adei 18 Hp. : Dato (P.P) tale che Dim : eorema della dualità = 0 sia soluzione di base ottima per (P.P) e tale che A = [ D ] con base corrisp. a x h. : λ = c -1 soluzione ottima per (P.D.) con c = e i valori dell'ottimo dei due problemi coincidono A) dimostriamo che : r D = c D -c -1 D ) dimostriamo che : λ = c -1 sol. ammissibile per (P.D.) C) dimostriamo che : λ = c -1 sol. ottima per (P.D.) R. adei 19 c c D Il Problema Primale può essere riscritto come segue : min c x + c x D x D x = (P.P.) x D c c = c A = [ D ] D x + D x D = b x 0, x D 0 con sol. di base ottima 0 = A) dimostriamo che : r D = c D -c -1 D x + D x D = b < = > x = -1 b - -1 D x D = > 1) e 2) 1) = soluzione ottima di base = > x = -1 b x" x" = x" D 2) soluzione ammissibile = > = > x = -1 b - -1 D x D = x - -1 D x D R. adei 20 / 5

6 Prof. R. adei = > funzione obiettivo c x = c x - c -1 D x D + c D x D = > r D = c D -c -1 D = c x + (c D -c -1 D) x D ) dimostriamo che : λ = c -1 s. a. per (P.D.) x soluzione ottima = > r D 0 < = > r D = c D -c -1 D 0 < = > se ci fosse un r j <0 allora ci sarebbe < = > c -1 D c D una soluzione migliore. per definizione λ = c -1 = > = > λ A = [ λ λ D ] = [ c c -1 D ] [ c c D ] = c < = > λ A c < = > A λ c < = > λ = c -1 sol. ammissibile per (P.D.) C) dimostriamo che : λ = c -1 s. o. per (P.D.) Funzione obiettivo duale : b λ =λ b = c -1 b = c x = c x < = > Il valore della f.o. duale per λ è uguale al valore della f.o. primale per x = > = > (P.P) tale che x s.a. per (P.P.) e λ s.a. per (P.D.) e tale che c x = b λ = > = > Per il corollario visto in precedenza λ è s.o. per (P.D.) x (vedere il punto A) R. adei 21 R. adei 22 Osservazioni : Forma alternativa del teorema della dualità : Se uno dei problemi (P.P) o (P.D.) ha una soluzione ottima finita, anche l'altro ha una soluzione ottima finita ed i corrispondenti valori delle funzioni obiettivo sono uguali ( c x = b λ ) Il teorema dice che non c'è alcun "buco" nella figura precedente: duale max primale min Solo all ottimo i moltiplicatori del primale sono soluzioni (ottime) del duale e viceversa z Nel tableau finale la matrice -1 appare dove la matrice identità appariva all'inizio All inizio dell algoritmo del simplesso A x = b < = > x + I x I + D x D = b ( può contenere qualche colonna di I) Alla fine dell algoritmo del simplesso I x + -1 I x I + -1 D x D = -1 b < = > x + -1 x I + -1 D x D = -1 b = > -1 si può leggere nei vettori colonna che all inizio dell algoritmo erano in base (formavano la matrice identità) R. adei 23 R. adei 24 / 6

7 Prof. R. adei Come ottenere la soluzione del problema duale direttamente dal tableau finale del problema primale Nel tableau finale (algoritmo del simplesso del problema primale) r D = c D -c -1 D Se scegliamo D = I cioè quei vettori colonna che nel tableau iniziale erano in base (formavano una matrice identità I) = > = > r I = c I -c -1 = > Esempio Problema primale : min x1 4x2 3x3 st.. 2x1+ 2x2 + x3 4 x1+ 2x2 + 2x3 6 x1 0, x2 0, x3 0 = > λ = c -1 = c I -r I Per ottenere la soluzione del problema duale basta sottrarre a (costi delle variabili che erano in base nel tableau iniziale) c I r I (costi relativi delle variabili che erano in base nel tableau iniziale) λ = c I - r I R. adei 25 Introduciamo due variabili di slack : y 1, y 2 s.. t 2x1+ 2x2+ x3+ y1= 4 x1+ 2x2+ 2x3+ y2= 6,,, y 0, y R. adei / / s. o. : x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = /2 1/ Problema duale: max 4λ + 6λ st λ + λ λ + 2λ λ + 2λ s. o. : λ 1 = 0-1 = -1, λ 2 = 0-1 = - 1 R. adei 27 R. adei 28 / 7

8 Prof. R. adei λ I = c I -r I, dove c I = 0 (perchè variabile di slack) Interpretazione economica delle s.o. del problema duale : λ i λ i = soluzioni ottime del problema duale λ i = moltiplicatori del simplesso del problema primale λ i = prezzo marginale della componente b i (ved. prob. dieta) Infatti: s.o. primale = 0 min z = c x A x = b primale, dove x = -1 b ( : base ottima) s.o. duale λ = c -1 R. adei 29 R. adei 30 Se b b + b, allora, tenendo conto che la base non cambia + x per piccole variazioni di b, x ' = dove x = -1 b. 0 Il corrispondente incremento della funzione di costo z è : z = c x = c -1 b =λ b = > λ dà la sensitività del costo ottimale z rispetto a piccoli cambiamenti di b Se b i diventa b j + b j, il valore della soluzione ottimale cambia da z a z + λ i b j = > λ i può essere considerato come il prezzo marginale della componente b j. Es: Problema della dieta λ i è il prezzo unitario massimo che si è disposti a pagare per un piccolo incremento dell i-esimo elemento nutritivo R. adei 31 Condizioni di complementarietà delle sol. ottime del primale e del duale eorema 1 (forma asimmetrica : λ variabile libera) Hp. : Dato (P.P) tale che x sia s.a. per (P.P) e λ sia s. a. per (P.D) h. : x soluzione ottima per (P.P.) e λ soluzione ottima per (P.D.) se e solo se ( A λ -c) x = 0 In altri termini se e solo se: i tale che x i > 0 = > a i λ = c i (cioè vincolo duale saturo) i tale che a i λ <c i = > x i = 0 (cioè ambito primale disattivato) R. adei 32 / 8

9 Prof. R. adei Dim. x s.o. per (P.P.) e λ s.o. per (P.D.) < = > b λ = c x < = > Per il teorema della dualità = > Per il corollario visto prec. < = < = > λ b = c x < = > λ A x = c x < = > < = > ( λ A - c ) x = 0 < = > ( A λ -c) x = 0 Nota : ( A λ -c) x = 0 < = > i tale che x i > 0 = > a i λ = c i i tale che a i λ <c i = > x i = 0 perchè i x i 0 e a i λ c i R. adei 33 eorema 2 (forma simmetrica : λ 0 ) Hp. : Dato min c x (Primale) A x b con duale tale che x sia s.a. per (Primale) e λ sia s. a. per (Duale) h. : x soluzione ottima per (Primale) e λ soluzione ottima per (Duale) se e solo se ( A λ -c) x = 0 e ( A x -b) λ = 0 In altri termini se e solo se: i tale che x i > 0 = > a i λ = c i i tale che a i λ <c i = > x i = 0 j tale che λ j > 0 = > a j x = b j j tale che a j x >b j = > λ j = 0 max b λ (Duale) A λ c λ 0 (dove a j è la j-esima riga di A) R. adei 34 EORIA DELLA DUALIA' Riassumendo R. adei 35 Abbiamo definito il problema duale ad un problema di P.L. non in forma standard (forma simmetrica), per poi ricavare quello per un problema di P.L in forma standard (forma asimmetrica) in modo da poter introdurre una tabella che elenchi tutte le corrispondenze tra problemi primali e duali, seguita da un semplice esempio (slide 6-11). Abbiamo poi considerato alcuni esempi di problemi duali significativi evidenziandone il significato fisico : il duale del problema della dieta e dei trasporti (slide 12-15). Poi abbiamo enunciato e dimostrato il teorema della dualitá in riferimento alla programmazione lineare (slide 16-23) presentando alcune osservazioni che scaturiscono dal teorema come la relazione tra moltiplicatori del simplesso e soluzioni ottime del problema duale e il metodo con cui ricavare dalla soluzione del problema primale le soluzioni del problema duale (slide 24-29). Abbiamo inoltre fornito un interpretazione economica dei moltiplicatori del simplesso, ossia delle soluzioni ottime del problema duale (slide 30-31). R. adei 36 / 9

10 Prof. R. adei Infine, abbiamo enunciato e dimostrato le condizioni di complementarietà tra le soluzioni ottime del primale e del duale per la forma asimmetrica e solamente enunciato le condizioni di complementarietà per la forma simmetrica (slide 32-34). R. adei 37 / 10