Metodi e modelli per le decisioni

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1 Metodi e modelli per le decisioni Roberto Cordone A. A

2 5.5 Esercizi Nota : Devo molti di questi esercizi a temi d esame del prof. Alberto Colorni. Nota : Gli esercizi e le soluzioni non sono stati ancora rivisti. Eventuali segnalazioni di errore sono benvenute. Esercizio 1 Si consideri il seguente problema di programmazione matematica con due obiettivi: min f 1 = 1 4 (x 1 4) x2 2 min f 2 = 2 x 2 2x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 Si determini la soluzione che si avrebbe pesando i due obiettivi con valori α 1 = 1/3 e α 2 = 2/3, rispettivamente. La soluzione ottima è x = (4/5, 12/5) e vale f = (4, 2/5). Esercizio 2 Si consideri il seguente problema di programmazione matematica con due obiettivi: max f 1 = x 1 x 2 max f 2 = x 2 x 1 + x x 1 2 x 2 0 Si determini la soluzione ottima con il metodo dei pesi per i valori w 1 = 1/3 e w 2 = 2/3. La soluzione ottima è x = (2, 1) e vale f = (1, 1). 1

3 Esercizio 3 Si consideri il problema: max f 1 = x 1 + 3x 2 max f 2 = 3x 1 2x 2 2x 1 + x 2 32 x 1 + x 2 20 x 1 + 5x 2 72 x 1, x 2 0 Usando curve di indifferenza del tipo u (f 1, f 2 ) = 2f 1 + f 2, si determini la soluzione ottima. La soluzione ottima è x = (0, 72/5) e vale f = (216/5, 144/5). Esercizio 4 Si determini la regione Pareto-ottima, usando il metodo dei vincoli, per il seguente problema: max f 1 = x 1 x 2 max f 2 = x 1 3x x 2 12 x 2 0 Si determini la soluzione finale pesando il primo obiettivo la metà del secondo (w 1 = w 2 /2). La soluzione ottima è x = (2, 0) e vale f = ( 2, 2). Esercizio 5 Si risolva il seguente problema di programmazione a due obiettivi: max f 1 = 9x x x 1 16x 2 max f 2 = x 1 3x 1 + x 2 6 3x 1 + 2x 2 9 x 2 0 Si ottenga graficamente la soluzione ottima nello spazio delle variabili ipotizzando che la funzione di utilità sia u (f) = f 1 9f 2 2. La soluzione ottima è x = (19/12, 15/12) con u = 169/4. 2

4 Esercizio 6 La tabella seguente rappresenta le prestazioni di cinque alternative rispetto a quattro criteri decisionali (tutti da massimizzare), in una scala di valori tra 0 e 100. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 f f f f Quale alternativa risulta la migliore se le curve di indifferenza sono del tipo: u (f) = w 1 f 1 + w 2 f 2 + w 3 f 3 + w 4 f 4 con w i = 0.25 per i = 1,..., 4 Di quanto bisogna aumentare il valore di w 1 (mantenendo costanti i valori degli altri coefficienti) affinché a 1 risulti l alternativa migliore? E il valore di w 4? L alternativa ottima è a 4, con u (f (a 4 )) = 67.5, mentre per le altre alternative risulta u (f (a i )) = 60 per ogni i. Per rendere a 1 l alternativa migliore, bisogna alzare w 1 da 0.25 e 0.375, mentre alzare w 4 non può mai rendere a 1 l alternativa migliore, dato che essa è peggiore delle altre alternative rispetto al quarto criterio. Esercizio 7 Si consideri il problema: max f 1 (x) = x 1 + 2x 2 max f 2 (x) = 2x 1 x 2 x 1 + x 2 7 x 1 + x 2 3 x 1 x x x 2 4 Si determini la soluzione ottima rispetto alla funzione di utilità u (f) = w 1 f 1 + w 2 f 2 con w 1 = 0.25 e w 2 = Si supponga ora di aggiungere un terzo obiettivo, anch esso da massimizzare f 3 (x) = 2x 1 + x 2 e si disegnino nel piano w 1 w 2 le regioni nelle quali ciascuna soluzione di base ammissibile del problema lineare risulta ottima 1. La soluzione ottima è x = (4, 1). Poiché w 3 = 1 w 1 w 2, si può rappresentare la regione W nel piano w 1 w 2 come W = { w R 2 : w 1 + w 2 1, w 1 0, w 2 0 }. Vi sono quattro supporti: 1. per w 1 2/3, la soluzione ottima è (1, 4); 1 Con soluzione di base ammissibile si intende ciascuna soluzione corrispondente a un vertice del poliedro ammissibile (in questo caso sono sette). 3

5 2. per w 2 2w 1 1/2 e w 1 2/3, la soluzione ottima è (3, 4); 3. per w 2 1/2w 1 + 1/2 e w 2 2w 1 1/2, la soluzione ottima è (4, 3); 4. per w 2 1/2w 1 + 1/2, la soluzione ottima è (4, 1). Esercizio 8 È dato il problema: max f 1 (x) = x 1 3x 2 max f 2 (x) = 4x 1 + x 2 2x 1 + 2x 2 7 2x 1 + 2x 2 11 x 1 4 x 1, x 2 0 Si determini la soluzione ottima supponendo che il decisore dichiari un tasso marginale di sostituzione uniforme di 4 unità di f 1 per 1 unità di f 2. Con λ 12 = 1/4 è u (f) = f 1 + 4f 2. La soluzione ottima è x = (0, 7/2). Esercizio 9 È dato il problema: min f 1 (x) = x x 2 2 max f 2 (x) = x 2 x 2 10 Si esprima analiticamente l utilità associata a f 1 (x) come: 10 f 1 per 0 f u 1 (f 1 ) = per f cioè tale utilità decresce linearmente fino ad annullarsi per f 1 = 200, mentre l utilità associata a f 2 coincide con il valore stesso di f 2. Si indichino le coordinate del punto utopia nello spazio delle utilità e nello spazio degli indicatori. Le componenti della funzione di utilità sono [ u 1 (x) = max 10 x2 1 + x 2 ] 2, 0 20 e u 2 (x) = x 2 Il punto utopia nello spazio delle utilità ha come coordinate i valori massimi delle due componenti dell utilità, cioè (10, 10). Nello spazio degli indicatori, occorre riportare i valori di f 1 e f 2 che danno luogo a tali utilità, cioè (0, 10). 4

6 Esercizio 10 Un centro sociale cerca una nuova sede: esistono quattro alternative (A, B, C e D) oltre all alternativa 0 (restare nella sede attuale). Si è stabilito che la scelta tra le cinque alternative debba essere definitiva e che sarà fatta in base a tre fattori: costi, accessibilità e prestigio. È fornita una tabella indicante le utilità per ciascuna alternativa e fattore in una scala tra 0 e 100. È fornito anche un vettore di pesi dei tre fattori. Indicatori A B C D 0 pesi Costi w 1 1/3 Accessibilità w 2 1/3 Prestigio w 3 1/3 Si ordinino le alternative in base ai pesi assegnati. Si faccia un analisi di sensitività rispetto al peso dei costi, per stabilire l intervallo di pesi in cui l alternativa scelta resta la migliore. Si rappresentino nello spazio dei pesi i supporti delle diverse alternative. Di questo problema non ho le soluzioni. Esercizio 11 È dato il problema: min f 1 (x) = x 2 4x min f 2 (x) = x 2 0 x 3 Si rappresenti il punto utopia U nello spazio degli obiettivi e si dica quale fra gli impatti A = ( 4, 4) e B = ( 3, 9) è preferibile in base alla distanza euclidea da U. 2 Aggiungendo un terzo obiettivo f 3 = x, sempre da minimizzare, si dica entro quali valori del relativo peso w 3 il punto x = 3 costituisce la soluzione ottima, supponendo che gli altri due pesi w 1 e w 2 siano uguali. Il punto utopia è U = ( 4, 9). preferibile. La soluzione ottima è x = 3 per w 3 16/10. 3 L impatto B è il più vicino ad U, e quindi è 2 A rigore, bisognerebbe determinare la soluzione paretiana più vicina, ma non ho verificato la difficoltà dell esercizio. 3 Questo risultato ipotizza w 1 = w 2 = 0.4 senza rinormalizzazioni al variare di w 3, per cui probabilmente non è corretto per la formulazione dell esercizio qui riportata. 5

7 Esercizio 12 E dato il problema: min f 1 (x) = x x 2 2 2x 1 16x 2 min f 2 (x) = 5x 1 x 2 x x x 2 0 Si indichino le coordinate del punto utopia U nello spazio degli obiettivi. Le coordinate del punto U nello spazio degli obiettivi sono date rispettivamente da min f 1 e min f 2, cioè U = ( 17, 52/ 13 ).. Esercizio 13 È dato il seguente problema decisionale con tre alternative e quattro attributi (utilità), cui sono associati i pesi w i (i = 1,..., 4): Attributi A B C pesi u w u w u w u w Si determini l alternativa migliore con il metodo della somma pesata, facendo poi l analisi di sensitività rispetto a w 2 = Le alternative rispettano il seguente ordinamento: B C A. L alternativa B rimane la migliore per 23/80 w 2 2/5. 4 Esercizio 14 Si consideri il problema: min f 1 (x) = x x 2 2x 1 min f 2 (x) = x 2 x x 2 8 x 1 2x 2 0 Si determini il punto utopia U e la soluzione finale che si sceglierebbe secondo tale logica in base alla distanza di Manhattan L 1 (d xy = n i=1 x i y i ) fra i seguenti tre impatti alternativi: A = ( 1, 0), B = ( 3/4, 1/2) e C = (1, 1). 4 Credo che questo risultato ipotizzi di non rinormalizzare gli altri pesi al variare di w 2, per cui probabilmente non è corretto per la formulazione dell esercizio qui riportata. 6

8 Il punto utopia è U = ( 1, 1). L impatto B è il più vicino, e quindi quello da preferire in base a questo criterio di scelta. Esercizio 15 Data la seguente matrice di valutazione e il seguente vettore di pesi Attributi A B C pesi u w u w si determini l ordinamento delle alternative e si conduca un analisi di sensitività al variare di w 1. L ordinamento delle alternative in base ai pesi dati è A C B. L alternativa A rimane ottima finché w Credo che questo risultato ipotizzi di non rinormalizzare gli altri pesi al variare di w 1, per cui probabilmente non è corretto per la formulazione dell esercizio qui riportata. 7