Algoritmi generali per PLI

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1 Programmazione Lineare Intera: II Algoritmo Cutting Planes Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna rev.. ottobre Algoritmi generali per PLI Metodi esatti tradizionali (anni 6 oggi): Metodo dei piani di taglio (cutting planes) Branch and Bound Programmazione Dinamica Metodi esatti più avanzati (anni 9 oggi): Branch and Bound + Cutting planes = Branch and Cut Branch and Price/Column generation PLI CP.

2 Algoritmo Cutting Planes Sia P un problema di PLI * : soluzione ottima (di valore z * ) C(P) = rilassamento continuo di P C : soluzione ottima di C(P) (di valore z C ) Un iperpiano α α si dice piano di taglio (cutting plane) se:. C non è più ammissibile (α C < α ). è valido per ogni soluzione intera del problema originale (α α ammissibile e intera) PLI CP. Algoritmo Cutting Planes () Piano di taglio non valido Piano di taglio valido C PLI CP.4

3 Algoritmo Cutting Planes () Algoritmo cutting planes (P) begin. risolvi il rilassamento C(P) ottenendo C. if C(P) è illimitato o impossibile then stop;. while C non è intero do 4. determina un cutting plane α α ed aggiungilo ai vincoli di P 5. risolvi il rilassamento C(P) ottenendo C 6. if C(P) è impossibile then stop; 7. end while end (si ha * = C ) PLI CP.5 Algoritmo Cutting Planes (4) La procedura determina la soluzione ottima di P: C(P) contiene tutte e sole le soluzioni intere di P (più altre non intere) I tagli aggiunti non eliminano soluzioni intere C(P) e P hanno la stessa funzione obiettivo La procedura è molto efficace quando la soluzione ottima del problema C(P) non è troppo diversa da quella del problema P PLI CP.6

4 Algoritmo Cutting Planes (5) SVANTAGGI : Il numero delle iterazioni del ciclo while non è polinomiale Il problema di PL da risolvere per C(P) diventa ad ogni iterazione sempre più grande lunghi tempi di calcolo Come si generano in modo automatico i piani di taglio? PLI CP.7 Tagli di Gomory (958) y R, y = ma {q intero: q y} Sia Y il tableau finale di C(P): Elementi del tableau y i, i =,,m; =,,n β = colonne nella base ottima B ; β( ) = z riga del tableau i =,.,m si ha: y i = β () i + y i (α) yi A Β A Β A Β y i PLI CP.8 4

5 i Tagli di Gomory () y = β y (α) β () i + () i + y i y i A A Β Β i intera intera () i + y i y i β (β ) A Β (β) è il taglio di Gomory (violato da C ) PLI CP.9 (α ) ( β ) : A Β Tagli di Gomory () ( y i y i ) y i y i ( ) f i = y i y i (parte frazionaria di y i ); f i : A Β f i taglio di Gomory in forma frazionaria corrispondente alla riga i (generatrice del taglio) f i PLI CP. 5

6 Tagli di Gomory (4) Moltiplicando per ed aggiungendo una variabile slack f i + s = f i A Β Se si aggiunge al tableau finale di C(P) il taglio. non si elimina alcun punto intero ammissibile. il nuovo tableau contiene una base che : a) non è ammissibile per il primale b) è ammissibile per il duale PLI CP. Tagli di Gomory (5) Dim.: ) il taglio è stato ottenuto esclusivamente imponendo a C(P) le condizioni di interezza.a) s è una nuova variabile base che, aggiunta a β, forma una base in cui s = f i, inammissibile per il primale se y i non è intero; La soluzione corrente non è più ammissibile..b) nella riga si aggiunge uno nella colonna di s la soluzione resta ammissibile per il duale Si prosegue con il simplesso duale. PLI CP. 6

7 Procedure Gomory procedure GOMORY; begin rimuovi il vincolo di interezza da PLI PL ; call TWO_PHASE per PL e sia Y il tableau finale; if infeasible = false and unbounded = false then begin feasible := true; k := (contatore dei tagli ) while y i frazionario and feasible = true do PLI CP. end end Procedure Gomory () begin scegli un i : y i è frazionario; k = k + ; aggiungi al tableau l equazione f i + s = A Β call DUAL_SIMPLEX ; if infeasible = true ( duale PL illimitato) then feasible := false (PLI impossibile ) end f i PLI CP.4 7

8 Procedure Gomory () Si può dimostrare che il metodo converge se. si sceglie sempre la prima riga frazionaria. si sceglie il pivot del simplesso duale secondo uno specifico metodo lessicografico PLI CP.5 Esempio min = =,, interi, 4 interi PLI CP.6 8

9 Esempio () 4 z 6 4 z / / / / PLI CP.7 Esempio () z / /4 /4 /6 /6 / /4 /4 riga generatrice : 4 taglio: per sostituzione: / PLI CP.8 9

10 Esempio (4) taglio min + 6 +,, interi C Scegliendo la riga : PLI CP.9 Esempio (5) 4 z / /4 /4 /6 /6 / /4 /4 / /4 /4 s s = PLI CP.

11 Esempio (6) s z / / / 4 4 riga generatrice : (,, intere ) taglio : 4 + s per sostituzione : PLI CP. taglio : Esempio (7) + s 4 C taglio PLI CP.

12 Esempio (8) Equazione del taglio: s 4 + s = s z / / / 4 s / / / 4 s PLI CP. Esempio (9) s s z / 5 / 4 / 4 PLI CP.4

13 Esempio () Soluzione ottima intera: = = ; z = C = * PLI CP.5 Esempio Vediamo cosa succede se il problema P è impossibile: min = 4 4 =,, interi,,, 4 interi PLI CP.6

14 Esempio () Fase : a ξ 4 6 a a ξ / / 4 4 / PLI CP.7 Esempio () Fase : z 7/ / 4 5/ / PLI CP.8 4

15 Esempio (4) z / / 4 / / Riga generatrice : taglio s = PLI CP.9 Esempio (5) 4 s z / / / / s / / PLI CP. 5

16 min + 4//4 Esempio (6) z 4 4 s 6 Duale illimitato Primale impossibile PLI CP. Esempio (7) taglio 6 + 4,, interi PLI CP. 6

17 Rilassamento continuo Quando il rilassamento continuo è illimitato, normalmente PLI è illimitato in casi particolari può essere impossibile PLI CP. 7