Contenuto e scopo presentazione. Modelli Lineari Interi/Misti. Piani di taglio. Piani di taglio. Piani di taglio Versione 31/08/

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1 Contenuto e scopo presentazione Contenuto: viene presentato un altro metodo di soluzione di problemi di ILP o di MILP. Modelli Lineari Interi/Misti Piani di taglio Versione /8/. Scopo: fornire le capacità di risolvere all ottimo problemi di ILP o di MILP, Piani di taglio Idea di base: Se la soluzione di RL non è intera allora la soluzione ottima intera è interna al poliedro P formulazione corrente del problema di ILP. Si aggiungono vincoli a P cercando di ottenere formulazioni migliori eliminando solamente parti di P che non contengono soluzioni intere. Si risolve una sequenza di problemi rilassati sempre più vincolati fino a quando la soluzione del problema rilassato corrente non sia intera. Idea di base (cont.): Dato il problema ILP o LP Piani di taglio ma {z= c, P} dove P={ Z n : A b}, una sua formulazione iniziale P ={ R n : A b}, e una soluzione ottima del problema rilassato *, si costruisce una sequenza di poliedri (formulazioni), detta sequenza di Gomory, tale che: P P P... P t P r Z n =P r- * P r t *= * (soluzione intera ILP) La sequenza è costruita aggiungendo via via a P un insieme di vincoli detti tagli.

2 Tagli: Tagli Una disuguaglianza a a è un taglio per un poliedro P r associato al RL di un problema ILP se, detta r * la soluzione ottima non intera del RL, si ha: ) la disuguaglianza è valida, i.e., a a P soluzione ammissibile di ILP ) la disuguaglianza è non è soddisfatta da r *, i.e., a r *> a Il metodo dei piani di taglio determina la soluzione ottima intera introducendo un numero finito di tagli. Ogni taglio separa la soluzione non intera del RL corrente dalle soluzioni ammissibili per ILP. Taglio di Gomory (Taglio Frazionario) Una possibile successione di tagli di validità generale è quella data dai tagli frazionari di Gomory. Metodo di costruzione: Determinata la soluzione di base ottima * di un RL di ILP. Sia S l insieme delle variabili in base e R l insieme delle variabili non in base, dalla teoria sulla LP continua è noto che le variabili in base possono essere espresse come: i = y i - Σ j R y ij j i S In particolare * è t.c. i = y i, i S, j =, j R Se non tutti gli y i sono interi si deve generare un taglio separatore. 5 6 Taglio di Gomory (Taglio Frazionario) Metodo di costruzione (cont.): Con il taglio di Gomory si sceglie una componente della base con valore non intero e si definiscono delle condizioni che devono essere rispettate perché essa sia invece intera. Sia i la componente non intera. Allora y i = y i + f i < f i < y ij = y ij + < Si può riscrivere il primo membro della ima equazione i.e., y i = i + Σ j R y ij j + Σ j R j i + Σ j R y ij j i + Σ j R y ij j y i = y i + f i Per qualunque Z n intero si verifica che i + Σ j R y ij j risulta intero. Ma allora se i + Σ j R y ij j è intero non può essere superiore a y i poiché f i <. Quindi... Taglio di Gomory (Taglio Frazionario) Metodo di costruzione (cont.):... per qualunque Z n intero i + Σ j R y ij j y i Cambiando segno alla disuguaglianza e sostituendo i nella equazione i = y i - Σ j R y ij j si ottiene Σ j R y ij j + Σ j R j - y i - f i - Σ j R y ij j - y i semplificando Σ j R j f i detto taglio di Gomory (taglio frazionario) 7 8

3 Taglio di Gomory (Taglio Frazionario) Teorema del taglio di Gomory: Per ogni componente i non intera della soluzione di un RL la disequazione è un taglio rispetto al poliedro P. Σ j R j f i Taglio di Gomory (Taglio Frazionario) Dimostrazione: Ogni soluzione ammissibile di ILP soddisfa il taglio di Gomory. Si supponga per assurdo che esista una soluzione ammissibile per ILP tale che Σ j R j < f i. Poiché è ammissibile la componente i soddisfa l equazione i = y i - Σ j R y ij j = y i + f i - Σ j R y ij j - Σ j R j Poiché i è intero f i - Σ j R j intero, inoltre poiché < f i < e e j ne consegue f i - Σ j R j in contraddizione con l ipotesi iniziale. La soluzione di base non intera * da cui la disequazione è stata generata separa * dal nuovo poliedro ottenuto aggiungendo tale disequazione ai vincoli della formulazione iniziale. Sia i * la componente ima frazionaria della soluzione, * soddisfa Σ j R j * < f i infatti j *=, j R, quindi Σ j R j * =, inoltre poiché i * = y i + f i è frazionario ne consegue f i > e quindi la disequazione è soddisfatta. 9 ma = 6,, Z 5 Un esempio 5 ma = = = =,,,, 5, Z Si costruisce un taglio dalla seconda riga del tableau ottimo del rilassamento lineare i coefficienti 9 = + = + = + 9 il taglio *= (/, 9/) (fractional cut) relativizzando il vincolo / + / 5 / rispetto a ed si ottiene disequazione non soddisfatta dal punto (/, 9/) IP-7

4 Taglio di Gomory (Taglio Frazionario) nell essere un tipo di taglio applicabile in generale, il taglio di Gomory fa in generale convergere l algoritmo di piani di taglio in modo estremamente lento. Inoltre il calcolo del taglio di Gomory presenta spesso problemi di stabilità numerica. molto più efficiente è utilizzare tagli specifici per ogni tipo di problema, possibilmente tagli che coincidano con le facce massimali dell involucro convesso delle soluzioni intere. In generale determinare tali tagli è però un problema difficile. Tagli di Chvatal-Gomory: Taglio di Chvatal-Gomory Data una formulazione P={: A b} di un problema ILP e un vettore u, è detto taglio di Chvatal-Gomory il vincolo ua ub un taglio di Chvatal-Gomory si ottiene eseguendo una qualunque combinazione conica dei vincoli della formulazione iniziale ed arrotondondando i valori ottenuti all intero inferiore in generale il vincolo ottenuto non è implicato da quelli già presenti nella formulazione P ogni taglio di Chvatal-Gomory è valido, i.e., qualunque soluzione intera del problema ILP lo soddisfa, infatti se intero ua = ua. Prima chiusura: Chiusure l insieme P ={: A b, ua ub, u } è detto prima chiusura e si dimostra essere un politopo, i.e., è sufficiente un sottoinsieme finito D f di disequazioni ua ub per ottenerne una descrizione minimale P ={: A b, ua ub, u } = {: A b, D f } = {: A b } P è una nuova formulazione, non peggiore di P, del problema ILP applicando il ragionamento sui vincoli di P si può ottenere una seconda chiusura, nuova formulazione, non peggiore di P, del problema ILP iterando si ottiene una successione di poliedri P P P... P t formulazioni progressivamente migliori (non peggiori) del problema ILP 5 Chiusure Teorema (Chvatal - Schrijver): Per ogni ILP che ammetta formulazione razionale o limitata esiste un intero finito t t.c. l involucro convesso delle soluzioni intere ammissibili coincide con la chiusura tma: P t = conv(s) teoricamente si potrebbe risolvere un problema ILP generando una successione di tagli di Chvatal-Gomory. Può convenire comunque limitarsi a tagli ottenibili attraverso tale procedura. in generale però è difficile la formulazione minimale di conv(s) richiede comunque un numero esponenziale di tagli ed inoltre è difficile individuare quali coefficienti u si devono utilizzare esempi di tagli di Chvatal-Gomory sono i tagli di Gomory e i tagli di minimal cover. 6

5 Cover e minimal cover: dato un problema di zaino KP(U,s,c,B, ma), e.g, ma , i {,} si definisce cover un qualunque sottoinsieme C degli indici I t.c. Σ i C s i >B e.g., C={,, 5} {,,,, 5}=I è un cover del problema nell esempio. Un cover C è minimale se Σ i C s i >B e Σ i C-{j} s i B, j C, i.e., un cover C è minimale se qualunque suo sottoinsieme (tranne C di stesso) non è cover, può cioè essere contenuto nello zaino. e.g., C={, } e C={,, 5} sono minimali, C={,, 5} non è minimale : data il rilassamento lineare di un problema di zaino KP(U,s,c,B, ma), e.g, ma , i per ogni cover minimale C, il vincolo Σ i C i C - è una diseguaglianza valida rispetto all involucro convesso delle soluzioni ammissibili intere. Anche per ogni cover C non minimale si potrebbero definire vincoli analoghi, ma questi ultimi sarebbero implicati da quelli associati ai cover minimali C inclusi in C. E.g., C={, } + C = {,, } + + ridondante rispetto a + e 7 8 i tagli di cover minimale sono dei tagli di Chvatal - Gomory di primo ordine, e.g., dato ma , i i=,..., 5 - i i=,..., 5 il vincolo associato alla cover minimale C ={,, 5} si ottiene eseguendo la seguente combinazione conica / , / - / - / / e quindi prendendo la parte intera dei coefficienti frazionari Commenti (cont.): alcuni tagli di cover minimale sono delle facce massimali per l involucro convesso delle soluzioni intere ammissibili, e.g., dato ma , i {,} dim(conv(s)) = 5, infatti banalmente dim(conv(s)) 5 ed inoltre esistono 6 soluzioni intere affinemente indipendenti ammissibili per il problema =[,,,,] e =[,,,,], =[,,,,],..., =[,,,,] Ogni faccia massimale F per Conv(S) deve essere tale che dim(conv(f)) =, i.e., deve soddisfare all uguaglianza 5 soluzioni intere affinemente indipendenti, e.g., + associato a C ={, } soddisfa all uguaglianza le soluzioni ammissibili =[,,,,], =[,,,,], =[,,,,], =[,,,,], =[,,,,] 9

6 Commenti (cont.): non tutte le facce massimali sono associate a vincoli di minimal cover. Qualche faccia massimale è associata ad estensioni delle minimal cover, altre ai vincoli i, altre ancora (la stragrande maggioranza) ad altre condizioni. Se C è una cover minimale, si definisce estensione di C, l insieme E(C) l insieme E(C)=C {j I\C:s j ma i C (s i )}. E.g., C={,, 5} E(C)={,,, 5} C={,} E(C)={, } Se C E(C) il vincolo Σ i E(C) i C - e.g., è un taglio valido più forte del corrispondente Σ i C i C - e.g., + + Commenti (cont.): i tagli di cover minimale possono essere numerosi conviene generali dinamicamente attraverso l uso di un oracolo di separazione: Si considera inizialmente solo un sottoinsieme dei vincoli di covering minimali (eventualmente nessuno) e si determina la soluzione ottima del problema rilassato per continuità corrispondente; la soluzione corrente è quindi valutata dall oracolo di separazione che o ne certifica l ammissibilità (e quindi l ottimalità) per il problema originario o restituisce almeno uno dei vincoli violati; se la soluzione non è ammissibile si aggiunge il vincolo fornito dall oracolo a quelli inizialmente considerati e si itera. Esempio: Passo ) ma i soluzione z RL =78 RL = [,,.7,, ] cover minimale violata + Passo ) ma i soluzione z RL =76 RL = [,,,,.] cover minimale violata Esempio (cont.): Passo ) ma i soluzione z RL =7.857 RL = [,.7,.86,,.86 ] cover minimale violata: nessuna. Imporre solo i tagli di cover minimale non è sufficiente. In questo caso introducendo il taglio legato all estensione E(C)={,,, 5} di C={,, 5} si ottiene una soluzione intera ottima

7 Esempio (cont.): Passo ) ma (ridondante) i soluzione * = [,,,, ] intera quindi ottima, z*=7 Rimane da definire l oracolo di separazione che permetta di determinare automaticamente i tagli di cover minimale da introdurre. Oracolo di separazione: data una soluzione RL si vuole determinare un vincolo di struttura Σ i C i C -, dove C è una cover minima, che sia violato. Detto vincolo può essere riscritto come Σ i I α i i Σ i I α i - dove α i sono i coefficienti, o (se la corrispondente variabile non appare nel vincolo) o (se la corrispondente variabile appare nel vincolo), da determinare. Osservare che Σ i I α i = C Ad esempio data la soluzione al passo RL = [,,.7,, ] si deve trovare un vincolo α + α + α + α + α 5 5 α + α + α + α + α 5 - violato da RL e tale che l insieme degli indici per cui α i = sia un cover minimale Oracolo di separazione (cont.):... Considerate le α i come incognite si deve risolvere il problema α + α +.7 α + α + α 5 > α + α + α + α + α 5 - α + α + α + 6α + α 5 > α i {,} questo, poiché la prima condizione equivale a (-)α + (-)α + (-+.7) α -α -α 5 > - e poiché le variabili sono intere, equivale a determinare se il problema ma z = -.86 α -α -α 5 α + α + α + 6α + α 5 α i {,} ha soluzioni ammissibili t.c. z sia maggiore strettamente di -. Da cui... Esempio:... Passo ) ma i soluzione z RL =78 RL = [,,.7,, ] Oracolo di separazione: ma z = -.86 α -α -α 5 α + α + α + 6α + α 5 α i {,} soluzione z = -.86 α = [,,,, ] da cui cover minimale è C= {,} quindi vincolo + 7 8

8 Esempio (cont.): Passo ) ma i soluzione z RL =76 RL = [,,,,.] Oracolo di separazione: ma z = - α -.6α 5 α + α + α + 6α + α 5 α i {,} soluzione z = -.6 α = [,,,, ] da cui cover minimale è C= {,, 5} quindi vincolo Esempio (cont.): Passo ) ma i soluzione z RL =7.857 RL = [,.7,.86,,.86 ] Oracolo di separazione: ma z = -.86 α -.7 α -.7 α 5 α + α + α + 6α + α 5 α i {,} soluzione z = - non strettamente maggiore di - quindi: non esistono tagli di cover minimali applicabili si deve procedere con altri tagli o passare al branch and bound a partire da questa formulazione migliorata, eventualmente si potranno applicare ragionamenti analoghi ai nodi successivi. al passo si dovrebbe tentare di rafforzare il taglio passando dalla cover alla sua estensione (questa è determinabile in tempo polinomiale poiché basta scandire i coefficienti del vincolo iniziale) l oracolo di separazione in generale fornisce una cover non necessariamente minimale, il cut and branch è il metodo di soluzione (molto promettente per vari problemi di ILP) che introduce inizialmente tagli al fine di avere una buona formulazione e quindi passa al branch and bound. L algoritmo viene detto di branch and cut se si reitera l approccio in ogni nodo. conviene introdurre tagli solo se l onere computazionale per la loro determinazione è inferiore all onere computazionale che la loro introduzione fa risparmiare alla procedura di branch and bound. Ad esempio non conviene introdurre i tagli frazionari di Gomory, né tagli per cui l algoritmo di separazione sia eccessivamente complesso. Commenti (cont.): l oracolo necessario a risolvere un problema di zaino deve affrontare un problema equivalente. E però vero che non è necessario determinare la soluzione ottima dell oracolo, bensì basta una soluzione ammissibile a cui sia associato un valore della funzione obiettivo maggiore di -. Spesso basta arrotondare la soluzione rilassata ai valori interi superiori, oppure si blocca il branch and bound non appena la soluzione correntemente ottima è maggiore di -. Ad esempio la soluzione del problema rilassato al passo ma z = -.86 α -α -α 5 α + α + α + 6α + α 5 α i conduce alla soluzione α RL = [,,.786,, ] che arrotondata conduce ancora ad una cover ammissibile, in quanto z([,,,, ]) = -.86 > - in generale i problemi di zaino e quelli simili per l oracolo di separazione dei tagli di cover sono risolti in modo approssimato con procedure ad hoc efficienti.

9 Commenti (cont.): i tagli di cover vengono utilizzati per problemi anche con struttura più complessa dei problemi di zaino. Si osservi infatti che i ragionamenti visti possono essere applicati anche quando alcuni i coefficienti del vincolo sono negativi facendo degli opportuni cambi di variabili, e.g., dato ma i si pone = - e = - ottenendo ma =9 i i dopo avere determinato i tagli nelle nuove variabili, si può eventualmente riscriverli nelle variabili originali (il segno dei coefficienti all'obiettivo non interessa). Inoltre, quando nella formulazione iniziale è presente più di un vincolo, si possono considerare i vincoli di cover indotti da ogni vincolo separatamente Esempio: Problema ma i {,} Passo ) ma i soluzione z RL =9. RL = [.78,,,,.866] Esempio: Passo - taglio primo vincolo) posto = - e = - il problema diventa ma ' i, la soluzione da tagliare RL = [.78,,,,.866] il taglio di cover minimale è che nelle variabili originali diventa Esempio: Passo - taglio secondo vincolo) posto 5 = - 5 il problema diventa ma i, la soluzione da tagliare RL = [.78,,,,.] il taglio di cover minimale è + + che nelle variabili originali rimane invariata Si osservi che alla cover minimale C={,,} corrisponde l estensione E(C)={,,,} e quindi il taglio può essere rafforzato in

10 Esempio (cont.): Passo ) ma i soluzione * = [,,,, ] intera quindi ottima z RL = Es ) Esercizi Dimostrare che i vincoli i e - i sono facce massimali per il problema dello zaino. Es ) Dato il seguente problema -LP ma i {,} indicare i tagli di estensione di minimal cover indotti dalla soluzione del problema rilassato continuo considerando separatamente i due vincoli 7 8 Es ) Dato il seguente problema -LP Esercizi ma i {,} risolverlo con il metodo dei piani di taglio di Gomory e successivamente con i tagli di estensione di minimal cover Es ) Dato il seguente problema -LP Esercizi ma i {,} risolverlo con il metodo dei piani di taglio di Gomory e successivamente con i tagli di estensione di minimal cover 9