Il Branch & Bound. Definizione 1. Sia S R n. La famiglia S = {S 1, S 2,..., S k S} tale che S 1 S 2 S k = S viene detta suddivisione di S.

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1 Il Branch & Bound Il metodo Branch & Bound è una tecnica che permette di risolvere all ottimo un generico problema di Programmazione Lineare Intera. Tale metodo si basa su due concetti cardine: quello di branching (suddivisione) e quello di bound (limite). Consideriamo il problema P := z = max{cx : x S}. Come possiamo dividere tale problema in sottoproblemi di dimensioni più piccole e che siano più facili da risolvere, in modo tale che combinando successivamente le informazioni sui sottoproblemi riusciamo a risolvere il problema originario? Definizione 1. Sia S R n. La famiglia S = {S 1, S 2,..., S k S} tale che S 1 S 2 S k = S viene detta suddivisione di S. Proposizione 1. Sia {S 1, S 2,..., S k } una suddivisione di S e z h = max{cx : x S h }. Allora z = max{z h, h = 1, 2,..., k}. Ciò che rende appetibile suddividere S nei sottoinsiemi S 1, S 2,...,S k è che i problemi z h = max{cx : x S h }, per h = 1, 2,..., k, siano più semplici da risolvere rispetto al problema originale. Abbiamo già visto che l enumerazione completa di tutte le soluzioni ammissibili di un problema di PLI è un operazione molto onerosa dal punto di vista computazionale e di fatto impossibile da realizzare nella pratica, salvo che per istanze di dimensioni molto limitate. Il metodo del Branch & Bound, sfruttando le informazioni relative ad Upper e Lower Bound sul valore della soluzione ottima dei sottoproblemi che vengono generati, di fatto limita considerevolmente il numero delle soluzioni che vengono esplicitamente esaminate. Questa tecnica si chiama di enumerazione implicita e, come vedremo, risulta molto efficace nelle applicazioni pratiche. In particolare Upper e Lower Bound sui valori di z h, per h = 1,...,k possono definire le seguenti relazioni. Proposizione 2. Dato il problema P := z = max{cx : x S}, sia {S 1, S 2,..., S k } una suddivisione di S e siano z h e z h, rispettivamente, un Upper Bound e un Lower Bound per z h = max{cx : x S h }, h = 1, 2,...,k. Allora z = max{z h, h = 1, 2,...,k} è un Upper Bound per z e z = max{z h, h = 1, 2,..., k} è un Lower Bound per z. L algoritmo Branch & Bound funziona quindi nel seguente modo: in maniera ricorsiva, partendo dal problema iniziale P:= max{cx : x S}, viene costruito un albero binario detto delle enumerazioni (o albero di branching) i cui nodi P 1,..., P k rappresentano i sottoproblemi associati alle regioni ammissibili definite da una certa partizione {S,..., S k } (P g := max{cx : x S g }, per g {1,...,k}). L operazione che da un nodo padre dell albero genera i due nodi figli viene detta, appunto, branching. Chiaramente, piú la dimensione dell albero di branching che viene iterativamente costruito riesce a rimanere contenuta e maggiore risulta l efficacia del metodo Branch & Bound. Per questo motivo sono molto importanti le condizioni che, considerato un certo sottoproblema P g associato ad uno dei nodi dell albero di branching, permettono di chiudere quel nodo, ossia di evitare di eseguire su quel nodo un operazione di branching. Tali condizioni sono tre ed, in particolare, due di queste sono legate ai valori z g e z g. Cond. 1. Si verifica quando è stata determinata una soluzione ottima per il problema P g : z g = max{cx : x S g }. In questo caso il problema P g si dice chiuso perché risolto e di conseguenza Lower e Upper Bound diventano z g = z g = z g. Se inoltre il Lower Bound corrente al problema 1

2 iniziale z risulta peggiore di quello definito al nodo P g (z < z g ) possiamo sicuramente aggiornare il suo valore e fissarlo pari a z g. Cond. 2. Si verifica quando z g z. In questo caso il problema P g := z g = max{cx : x S g } si dice chiuso perché dominato. Per definizione di Lower e Upper Bound, abbiamo che z j z j z j per un qualsiasi problema P j : z j = max{cx : x S j } della suddivisione di S. Possiamo quindi senz altro affermare che una soluzione ottima del problema P g non può avere valore superiore a z g. Ricordiamo che z, secondo la Proposizione 2, è un Lower Bound al valore di z = max{cx : x S} ed è definito come z = max{z h, h = 1, 2,...,k}. Consideriamo quindi un problema P f := z f = max{cx : x S f } per il quale z f = max{z h, h = 1, 2,..., k} (è facile vedere che esiste sempre un problema che soddisfa questa condizione). Dalle relazioni sopra descritte si deriva che z g z g z g z = max{z h, h = 1, 2,...,k} = z f. Questo permette di evitare la suddivisione di S g poiché la soluzione ottima di P g ha comunque valore non migliore del valore della soluzione ottima già trovata nella regione ammissibile S f. Cond. 3. Si verifica quando S g =. In questo caso, si dice che il problema P g := max{cx : x S g } viene chiuso perché vuoto, ed i suoi Lower e Upper Bound vengono convenzionalmente posti entrambi pari a. Ad ogni iterazione dell algoritmo del Branch & Bound vi è una suddivisione corrente e vi sono uno o più problemi aperti. Un sottoproblema aperto può essere chiuso per una delle condizioni sopra citate. Se, viceversa, non è possibile applicare nessuna di queste condizioni, allora si procede ad una suddivisione della sua regione ammissibile e così via, ricorsivamente. L algoritmo termina non appena vengono chiusi tutti i sottoproblemi associati alla suddivisione della sua regione ammissibile. Si osservi che, data una suddivisione di S in S 1, S 2,..., S k, l ulteriore suddivisione di S j in S j,1, S j,2,..., S j,kj dà luogo a S 1, S 2,..., S j 1, S j,1, S j,2,..., S j,kj, S j+1,..., S k, che è essa stessa una suddivisione di S. Si noti, infine, che l applicazione dell algoritmo prevede che si conoscano Lower e Upper Bound di ciascun sottoproblema della suddivisione di S. In particolare, la qualità di questi bound risulta fondamentale per l efficacia del metodo poiche determina la frequenza con cui è possibile applicare la seconda condizione per la chiusura dei nodi dell albero di branching. Per illustrare meglio il funzionamento dell algoritmo, consideriamo ora il seguente problema P di Programmazione Lineare a numeri interi: P : s.t. Come passo di inizializzazione, Upper e Lower Bound del vengono inizialmente posti rispettivamente a ; inoltre, sia P 0 = P. Calcoliamo ora Upper Bound e Lower Bound per il valore di z 0. Il fatto che P 0 sia un problema di Programmazione Lineare a numeri Interi ci permette di calcolare l Upper Bound z 0 e il Lower Bound z 0 in modo particolarmente efficiente. Infatti, ricordiamo che nel caso di un problema di massimizzazione quale è P 0, il valore della funzione obiettivo del suo Rilassamento Lineare L(P 0 ) è un Upper Bound per z 0, ed è facilmente calcolabile. Per quanto riguarda il Lower Bound z 0, invece, ricordiamo che il valore della funzione obiettivo in corrispondenza di una qualsiasi soluzione ammissibile definisce un Lower Bound z 0 a z 0 (e, quindi, a z). 2

3 Risolvendo il Rilassamento Lineare L(P 0 ) otteniamo un valore ottimo zl 0 = 35, 6 in corrispondenza della soluzione ottima x 0 = (9.83, 3.6). Dunque possiamo porre z 0 = max{, zl 0 } = 35, 6. Non avendo a disposizione una soluzione ammissibile ( x 0 = (9.83, 3.6), infatti, non è ammissibile per P 0 in quanto non rispetta i vincoli di interezza), non possiamo calcolare un valore per z 0, che rimane quindi fissato a. Poiché P 0 non è stato chiuso, procediamo alla generazione dei suoi nodi figli P 1 e P 2 attraverso la suddivisione di S 0 in S 1 ed S 2. In particolare, questa operazione di branching viene realizzata nel modo seguente. Consideriamo la variabile x 0 1 = 9.83: ogni soluzione x ammissibile per P 0 (x S 0 ) è tale che o x , (cioè ), o x , (cioè ). Pertanto l insieme {S 1, S 2 }, con S 1 = S {x R n : } e S 2 = S {x R n : } rappresenta una suddivisione di S 0. Possiamo perciò generare da P 0 i due problemi, P 1 e P 2 che hanno, come regioni ammissibili, rispettivamente S 1 ed S 2. In virtù della Proposizione1, la risoluzione di P 0 è quindi rimandata alla risoluzione di entrambi i problemi P 1 e P 2. A questo punto l albero del Branch & Bound appare così: P 0 P 1 z 1 = max4x 1 x 2 P 2 z 2 = max 4x 1 x 2 L algoritmo procede iterativamente analizzando di volta in volta i problemi che occupano i nodifoglia dell albero. Stabilire quale è l ordine migliore per procedere è uno dei problemi che insorgono durante l esecuzione del Branch & Bound. Le due possibilità estreme sono quella di costruire l albero andando in profondità oppure in ampiezza. Nel primo caso, ad ogni iterazione viene processato il problema associato al nodo foglia che ha una profondità maggiore nell albero di branching; nel secondo caso, invece, la precedenza è data al nodo che si trova a profondità minore. In genere, la ricerca in profondità è più efficace nel trovare rapidamente una soluzione ammissibile e, di conseguenza buond primali al valore della soluzione ottima, mentre è meno efficace nel miglioramento del valore dei bound di tipo duale. La ricerca in ampiezza, invece, dà priorità ai bound di tipo duale ed è meno efficace per quelli primali. Noi, in questo caso, decidiamo di analizzare i problemi secondo il criterio dello sviluppo in ampiezza dellálbero di branching e quindi di processare nell ordine il problema P 1 e poi il problema P 2. Per quanto riguarda P 1, di nuovo è sufficiente risolviamo il suo Rilassamento Lineare L(P 1 ) ottenedo così z 1 L = in corrispondenza della soluzione ottima x1 = (9, 3.25). Dunque possiamo porre z 1 = max{, z 1 L } = Per quanto riguarda z1, invece, non possiamo procedere al suo aggiornamento dato che non abbiamo a disposizione una soluzione ammissibile ( x 1 = (9, 3.25), infatti, non è ammissibile per P 1 in quanto non rispetta i vincoli di interezza). Quindi z 1 rimane 3

4 fissato a. Poichè non è stato possibile chiudere il nodo P 1, dobbiamo procedere con la fase di branching. Poichè l unica coordinata frazionaria di x 1 = (9, 3.25) è x 2, procediamo effettuando un branching (a due vie) su questa variabile. Questa operazione genera due problemi: P 3 e P 4. Il primo si ottiene aggiungendo il vincolo x (ossia x 2 4), mentre per il secondo aggiungiamo a S 1 il vincolo x (cioè x 2 3). L attuale suddivisione di S, regione ammissibile di P è quindi {S 2, S 3, S 4 }. In virtù della Proposizione 1, la risoluzione di P è rimandata perciò alla risoluzione dei problemi P 2, P 3 e P 4. Dalla risoluzione di L(P 2 ) risulta che la sua regione ammissibile è vuota; risulta quindi vuota anche S 2, regione ammissibile di P 2. In applicazione della terza condizione di chiusura, il problema P 2 può perciò essere chiuso in quanto vuoto, e z 2 = z 2 =. A questo punto dell algoritmo i valori di z e z sono i seguenti: z = max{z 1, z 2 } = max{, } = z = max{z 1, z 2 } = max{32.75, }} = Si noti che essendo z =, la seconda condizione di chiusura, per il momento, non può permetterci di chiudere alcun problema. Avendo terminato l esame dei problemi P 1 e P 2 ed essendoci ancora nodi aperti nell albero di branching, procediamo nellaesecuzione dell algoritmo. L albero di branching a questo punto è il seguente: P 0 P 1 P 2 z = max4x 1 x 2 x 2 3 x 2 4 P 3 z = max4x 1 x 2 x 2 4 P 4 x 2 3 Proseguiamo analizzando i problemi che occupano i nodi-foglia ancora aperti dell albero corrente, e cioè i problemi P 3 e P 4. Risolviamo quindi L(P 3 ) ed ottiamo z 3 L = 32 in corrispondenza della soluzione ottima x3 L = (9, 4). Dunque possiamo porre z 3 = max{, z 3 L } = 32. Passiamo ora a considerare z3. Ricor- 4

5 dando che un Lower Bound per un problema di massimizzazione, quale è P 3, è dato dal valore della funzione obiettivo in corrispondenza di una sua soluzione ammissibile, e notando che x 3 = (9, 4) è ammissibile per P 3, possiamo fissare z 3 = max{, zl 3 } = 32. Inoltre, possiamo aggiornare il valore del Lower Bound corrente alla soluzione ottima del problema iniziale P (che al momento è pari a ) e porre z = z 3 = 32. Per la Condizione 1, possiamo quindi chiudere il nodo associato a P 3. Per quanto riguarda P 4, risolviamo il suo Rilassamento Lineare L(P 4 ). Si ottiene così zl 4 = 31 in corrispondenza della soluzione ottima x 4 L = (8.5, 3). Dunque possiamo porre z4 = max{, zl 4 } = 31. Per quanto riguarda z 4, invece, non possiamo procedere al suo aggiornamento dato che non abbiamo a disposizione una soluzione ammissibile ( x 4 L = (8.5, 3) non è intera ). z4 rimane quindi fissato a. In applicazione della seconda condizione di chiusura, notiamo che il problema P 4 puó essere chiuso perché z 4 < z. Avendo chiuso tutti i nodi foglia, il problema P è risolto, e si ha z = 32 in corrispondenza della soluzione (ottima) x = (9, 4), determinata nel problema P 3 (si osservi che il problema P può essere dichiarato chiuso anche per effetto della prima condizione di chiusura). 5