Parte V: Rafforzamento di formulazioni e algoritmo dei piani di taglio

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1 Parte V: Rafforamento di formulaioni e algoritmo dei piani di taglio

2 Noioni di geometria Definiione: Un vettore y R n è combinaione conica dei vettori {,, k } se esistono k coefficienti reali λ,,λ k tali che y Σ λ i i, con λ i >, per ogni i,,k. k i Definiione: Un vettore y R n è combinaione affine dei vettori {,, k } se esistono k coefficienti reali λ,,λ k tali che y Σ λ i i, k con Σ λ i. i Definiione: Un vettore y R n è combinaione convessa dei vettori {,, k } se esistono k coefficienti reali λ,,λ k tali che y Σ λ i i, k con Σ λ i e λ i >, per ogni i,,k. i k i k i

3 Noioni di geometria Definiione: Dato un insieme S R n, l involucro convesso di S, conv(s), è l insieme di tutti i vettori ottenibili come combinaione convessa di sottoinsiemi finiti di vettori di S. Definiione: Dato un insieme convesso S, un vettore y S si dice estremo se e solo se esso non è ottenibile come combinaione convessa di altri vettori in S. Definiione: Un poliedro P { R n : A < b} è un insieme convesso con un numero finito di punti estremi detti vertici di P.

4 Noioni di geometria Definiione: Una disequaione a T < α è valida per il poliedro P { R n : A < b} se e solo se P { R n : a T < α}, ovvero se e solo se la disequaione è soddisfatta da tutte le soluioni ammissibili del sistema A < b (a T < α è implicata dal sistema A < b). Definiione: Una disequaione valida a T < α definisce una faccia F P { R n : a T α}. L insieme { R n : a T α} è detto iperpiano di supporto di F. Ogni faccia di un poliedro è essa stessa un poliedro. Definiione: La dimensione di un poliedro P, dim(p), è data dal massimo numero di vettori affinemente indipendenti appartenenti a P meno uno. Data una faccia F di P, risulta sempre dim(f) < dim (P). Se dim(f) dim(p), F è detta faccia impropria di P. Se dim(f) dim(p), F è detta faccia massimale di P. Se dim(f), F coincide con un vertice di P.

5 Noioni di geometria La rappresentaione A < b di un poliedro P non è univocamente determinata. Infatti, è sempre possibile aggiungere alla rappresentaione nuove disuguagliane valide per P, ottenute come combinaione conica delle disequaioni del sistema A < b, sena modificare la regione ammissibile. Definiione: Una rappresentaione A < b è minimale se, rimuovendo una qualsiasi disequaione dal sistema si ottiene un nuovo sistema A < b tale che P { R n : A < b }. Definiione: Se P R n è tale che dim(p) n, una rappresentaione A < b è minimale se e solo se ogni disequaione del sistema definisce una faccia massimale di P.

6 Formulaioni di problemi di PL - Ricordiamo che, date due diverse formulaioni lineari P e P di un problema di programmaione lineare - della forma (), diremo che P è migliore di P se e solo se P P. La formulaione ottima di un problema di programmaione lineare - della forma ma c T S (S {,} n ) è costituita dal poliedro contenuto in tutti i poliedri contenenti S, ovvero dall involucro convesso conv(s). Indichiamo con P S la formulaione ottima.

7 Formulaioni di problemi di PL - Ricordiamo ancora che, dato un problema di programmaione lineare - ma c T () S (S {,} n ) un poliedro P { R n : A < b} è una formulaione lineare del problema se e solo se S P {,} n. Teorema: Un problema di programmaione lineare - della forma () ammette sempre una formulaione lineare conv(s) con la proprietà che S se e solo se è un vertice di conv(s).

8 Formulaioni di problemi di PL - Dal teorema precedente, possiamo riscrivere il problema () nella forma ma c T () P S Infatti, poiché i vertici di P S coincidono con i vettori in S, risolvere il problema () è equivalente ad individuare un vertice di P S che minimii c T, ovvero ad individuare un vertice ottimo per il problema (). Pertanto, ogni problema di programmaione lineare - può essere espresso come problema di programmaione lineare.

9 Formulaioni di problemi di PL - Il fatto che si possa passare da un problema di programmaione lineare - a un problema di programmaione lineare suggerisce importanti conseguene riguardanti la complessità computaionale: infatti, è noto che un problema di programmaione lineare può essere risolto in tempo e spaio polinomiali ricorrendo a opportuni algoritmi. Tuttavia è errato pensare che algoritmi polinomiali per problemi di programmaione lineare possano essere utiliati per risolvere qualsiasi problema di programmaione lineare -.

10 Formulaioni di problemi di PL - Alcuni metodi per la programmaione lineare richiedono una rappresentaione esplicita della formulaione P S. Tale rappresentaione è teoricamente ottenibile per qualsiasi problema di programmaione lineare - ma è spesso algoritmicamente impraticabile. Invece altri metodi,come il Metodo dell Ellissoide, si accontentano di una rappresentaione implicita della formulaione P S fornita dal cosiddetto Oracolo di Separaione. Tale oracolo è realiato da un algoritmo che, dato un vettore R n, o genera un iperpiano che separa da P S oppure conclude che P S. L oracolo di separaione descrive P S in modo algoritmico e rende i metodi che lo utiliano indipendenti dal numero di disequaioni della rappresentaione esplicita.

11 Rafforamento di formulaioni Il problema di knapsack ma 5 4 < 6 {,} ha come rilassamento lineare ma 5 4 < 6 > > < < Sia * LP la soluione ottima del rilassamento.

12 Oracolo di Separaione Dato il vettore * LP, l oracolo di separaione consente di individuare una disequaione soddisfatta da tutti i vettori in P S (valida per P S ), e non soddisfatta dal vettore * LP, OPPURE di concludere che * LP P S. Dal punto di vista geometrico, l oracolo costruisce, se esiste, un iperpiano che separa * LP da P S. Se tale iperpiano non esiste allora il punto * LP appartiene a P S. L iperpiano individuato è detto iperpiano di separaione o piano di taglio.

13 Oracolo di Separaione * LP L oracolo viene generalmente realiato tramite un algoritmo detto Algoritmo di Separaione.

14 Disuguagliane valide per il Knapsack - Consideriamo l insieme X { {,} n : Σ a j j < b}. n j Definiione: Un insieme C N è un cover se e solo se Σ a j > b. j C Un cover è minimale se, comunque preso j C, l insieme C \ { j } NON è un cover. Osservaione: Un insieme C è un cover se e solo se il suo vettore caratteristico C non è ammissibile per X.

15 Disuguagliane valide per il Knapsack - Teorema: Se C N è un cover per X, la disequaione è valida per X. Σ j < C (*) j C Dimostraione: Dimostriamo che se un generico vettore R non soddisfa il vincolo (*) allora R X. Se R è tale che Σ R j > C, allora R C C e quindi C j C R. Pertanto: ovvero R X. n Σ a j jr Σ a j > Σ a j > b j j R j C

16 Consideriamo il problema di knapsack ma < 9 {,} 7 Esempio La soluione associata al suo rilassamento lineare è ( * ) LP (,, /,,,, ). Una disequaione cover violata da ( * ) LP è la disequaione <. Qual è il problema di separaione che consente di individuare una disequaione di tipo cover violata da ( * ) LP?

17 Oracolo di separaione Riscriviamo la disequaione Σ j < C nella forma Σ j - C < Σ ( j ) < j C j C La disequaione è violata da ( * ) LP se e solo se: Σ (( * j ) LP ) > Quindi, possiamo massimiare la violaione definendo SEP ma {Σ (( * j ) LP ) : Σ a j > b} C N j C j C j C j C Un algoritmo per SEP è un oracolo di separaione.

18 Oracolo di separaione Siano y * SEP * SEP la soluione ottima del problema SEP, e il corrispondente valore della funione obiettivo. Se * >, allora esiste una disuguagliana cover violata da y * SEP. Se * SEP <, allora non esiste una disuguagliana cover violata da y * SEP. A questo punto non resta che formulare come programmaione lineare - il problema di separaione.

19 Formulaione del problema di separaione Il problema di separaione può essere formulato come un problema di programmaione lineare - in cui la variabile y j se j C e y j altrimenti. Funione Obiettivo ma Σ (( * j ) LP )y j j N Vincoli Σ a j y j > b j N y {,} n Osservaione: I coefficienti in funione obiettivo sono < e quindi il problema non ammette una soluione banale.

20 Trasformaione Ponendo j y j, il problema di separaione diventa Funione Obiettivo ma Σ (( * j ) LP ) Σ ((* j ) LP ) j j N Vincoli Σ a j j > Σ a j b j N {,} n j N j N Poiché Σ (( * j ) LP ) è una costante nella nuova funione j N obiettivo, si ottiene

21 un problema di knapsack Funione Obiettivo ma Σ ( ( * j ) LP ) j j N Vincoli Σ a j j < Σ a j b j N j N {,} n

22 Esempio ma < 9 {,} 7 * LP (,, /,,,, ) Problema di separaione ma ( ) ( ) ( - /) < {,} 7

23 Separaione Problema di separaione ma / < 8 {,} 7 Soluione ottima * (,,,,,, ) di valore 4 Riportiamola nello spaio delle y: y* (,,,,,, ) di valore * SEP /. Pertanto, * SEP / >

24 Pertanto. Il valore di * SEP è >, ovvero esiste una disequaione cover violata.. La disequaione è scritta in corrispondena degli indici che hanno valore in y *, ovvero y* (,,,,,, ) corrisponde a <

25 Algoritmo dei piani di taglio Dato il rilassamento lineare di un problema di knapsack. Calcola la soluione ottima * LP.. Se * LP {, } n STOP, altrimenti vai al passo.. Definisci il problema di separaione. 4. Risolvi il problema di separaione. 5. Se esiste una disequaione cover violata aggiungila alla formulaione corrente e torna al punto, altrimenti STOP.

26 Pianificaione degli investimenti Dati I {,,, n} insieme di investimenti attivabili su un orionte temporale T {,,, t} di t periodi Ad ogni investimento i è associato un indice di redditività c i Ogni investimento i genera un flusso di cassa a i (a i, a i,, a it ) (> introiti, < esborsi) per ogni periodo j T Per ogni periodo j T esiste un budget b j che limita gli esborsi (flussi di cassa negativi). Problema Determinare l insieme di investimenti I * I che massimia la redditività e che rispetta il vincolo per cui la somma dei flussi di cassa degli investimenti attivati in ogni periodo j T non superi il budget b j.

27 Esempio a a a Investimento a a a 5 Investimento a 6 a a Investimento Periodo b 4 Periodo b 5 Periodo b

28 Esempio Nell esempio precedente, se vengono attivati tutti e tre gli investimenti il vincolo di budget nel periodo NON è rispettato. Formulaione Variabili decisionali i se il progetto i è attivato i altrimenti ma Σ c i i i I Σ a ij i > b j i I {,} n j T ma c T A > b {,} n

29 Rilassamento lineare Per migliorare la formulaione precedente, consideriamo un singolo vincolo di budget del sistema A > b e il problema di Knapsack continuo ad esso associato: ma c T a T j > b j < < cambiamo segno nel vincolo ma c T a T j < b j < < (KP j )

30 Rafforamento L insieme delle soluioni del problema di pianificaione originario è costituito dall interseione degli insiemi delle soluioni dei singoli problemi di knapsack (KP j ). Pertanto, è possibile rafforare ciascun problema KP j, ad esempio con disequaioni cover, per ottenere un rafforamento della formulaione di pianificaione.

31 Esempio Consideriamo la seguente istana di un problema di pianificaione: I {,,, 4, 5} T {,, } c (, 7,, 5, 7) Redditività b (-,, -5) Budget a (-4,, -) Flusso di Cassa I a (, -4, ) Flusso di Cassa I a (,, -5) Flusso di Cassa I a 4 (, -, -) Flusso di Cassa I 4 a 5 (-, 4, ) Flusso di Cassa I 5

32 Esempio ma La soluione ottima di (PL) è: * [.67; ;.74;.96; ] di valore.9 (PL) Il rilassamento lineare si scrive (considerando il cambiamento di segno sul vincolo di budget)

33 Esempio Consideriamo a questo punto il primo vincolo di budget e il problema di knapsack continuo ad esso associato: ma (KP ) Effettuiamo un cambio di variabili per ottenere tutti coefficienti positivi nel vincolo di knapsack: J( ) {,, 4} y i i per ogni i J( ). Si ottiene: y y y

34 Esempio Dobbiamo vedere se esiste una cover violata rispetto alla soluione: * [.67; ;.74.6;.96.4; ] Risolvendo il problema di separaione si individua la cover violata 5 <, che si può aggiungere direttamente alla formulaione, essendo già nelle variabili. Osservaione: Se la cover contiene variabili y, bisogna effettuare il cambio di variabile y h h prima di aggiungere la disequaione alla formulaione La nuova soluione ottima del RL (peraltro intera) è * [; ; ; ; ] di valore.

35 Parte VI: Formulaioni con un numero di vincoli non polinomiale

36 Metodo del Simplesso Dinamico Primale Il metodo del simplesso può essere usato per risolvere un problema di ottimiaione combinatoria qualora sia nota una rappresentaione del tipo A < b (rappresentaione esterna) dell involucro convesso dei suoi insiemi ammissibili conv (S). Domanda: Abbiamo realmente bisogno di una rappresentaione esterna di conv (S)?

37 Problema del cammino minimo Sia G (V, E) un grafo non orientato. Dati s, t V l uv R uv E lunghea dell arco uv Problema Determinare un (s, t)-cammino di lunghea totale minima. Variabili decisionali ij se l arco ij appartiene all (s, t)-cammino ij altrimenti

38 (s, t)-tagli Un (s, t)-taglio è una partiione (X, V\X) dei vertici di G tale che s X e t V\X. L insieme K di archi con un estremo in X e l altro in V\X definisce gli archi del taglio. Si dice peso del taglio la somma dei pesi degli archi in K. Esempio s 4 t 5 6 X {s,, 4, 5}, V\X {,, 6, t} K {, 4, 46, 56}

39 Formulaione min uv E uv K l uv uv uv K corrispondente a un (s, t)-taglio {,} E Ciascun vincolo esprime la condiione che almeno un arco di ogni (s, t)-taglio deve appartenere al cammino da s a t.

40 Osservaioni Il numero dei vincoli è esponeniale rispetto alla cardinalità di E. Sebbene la matrice dei coefficienti non sia totalmente unimodulare, il rilassamento lineare (PL) di (P) fornisce la soluione ottima del problema intero. Tuttavia, nella pratica il numero di vincoli rende impossibile scrivere le matrici del metodo del simplesso.

41 Simplesso Dinamico Primale Il simplesso dinamico primale acquisisce le informaioni sulla struttura del poliedro attraverso un oracolo di separaione. Oracolo di separaione Dato * R n, l oracolo di separaione restituisce una disequaione a T i b i del sistema A b violata da * oppure conclude che tutte le disequaioni del sistema A b sono soddisfatte da *.

42 Algoritmo Supponiamo di voler risolvere il problema (P) ma c T A b dove A è una matrice (m n) e b R m. Sia D una sottomatrice di A con q << m righe e n colonne. Definiamo il sottoproblema iniiale: P ~ ( ) ma D d ct

43 Algoritmo Risolvere il problema ( P ~ ) È ammissibile? si soluione ottima di ( P ~ ) no (P) è inammissibile Esiste un vincolo violato? no soluione ottima di (P) si Si aggiunge il vincolo violato a t b a ( P ~ )

44 Esempio s t 4 Trovare l (s, t)-cammino di lunghea minima sul grafo in figura. Partiamo dalla formulaione: E uv uv t t s s t t s s min ( ) P ~

45 Esempio La soluione ottima è data da s s 4t 4 4 t Oracolo di separaione uv Associamo il peso ad ogni arco uv E e cerchiamo l (s, t)-taglio di peso minimo K *. Se il peso di K * è < allora il relativo vincolo è violato da. Se il peso di K * è allora non ci sono disequaioni violate.

46 Esempio s 4 t X {s, } K * {s,, } ~ Aggiungiamo al problema ( P) il vincolo e risolviamo di nuovo. s

47 Esempio La nuova soluione ottima è data da s s 4t 4 4 t 4 s t X {s,, } K * {4, }

48 Esempio Aggiungiamo il vincolo violato: 4 La nuova soluione ottima è: s s 4t 4 4 t

49 Esempio 4 s t X {s,, } K * {s,, 4, t} Aggiungiamo il vincolo violato: s 4 t

50 Esempio La nuova soluione ottima è data da t s t s s t 4 Non esistono (s, t)-tagli di peso < STOP.

51 Il minimo albero ricoprente Dati G (V, E) grafo connesso, c e > costo associato ad ogni arco e E. Problema Trovare un albero ricoprente di costo minimo. Algoritmi combinatori noti: Prim e Kruskal

52 Formulaione ij se l arco ij appartiene all albero ricoprente altrimenti min Σ c ij ij ij E RILASSAMENTO LINEARE Σ ij n () ij E Σ ij < S S V : < S < n () ij E(S) >

53 Osservaioni.I bound < sono implicati dai vincoli ()..La matrice dei vincoli non è totalmente unimodulare. Infatti, consideriamo un grafo con 5 nodi e i seguenti vincoli di tipo (): matrice associata 45 che ha determinante e, quindi, non è totalmente unimodulare. Nonostante la matrice dei coefficienti non sia totalmente unimodulare, il rilassamento lineare fornisce una soluione intera. Tuttavia,il numero dei vincoli cresce esponenialmente con il numero dei nodi del grafo.

54 Esempio st min Consideriamo il sottoproblema con la sola famiglia di vincoli ().

55 Soluione del primo sottoproblema Valore della soluione: Gli archi verdi di maggiore spessore corrispondono a variabili poste a

56 Separaione Domanda: Esiste un vincolo della famiglia ij E ( S ) ij S per ogni S, tale che S n violato dalla soluione ottima corrente? SI Ad esempio, < che viene aggiunto alla formulaione corrente. min4 st

57 Soluione del secondo sottoproblema Valore della soluione: Gli archi verdi di maggiore spessore corrispondono a variabili poste a

58 Separaione Domanda: Esiste un vincolo della famiglia ij E ( S ) ij S per ogni S, tale che S n violato dalla soluione ottima corrente? SI Ad esempio, < che viene aggiunto alla formulaione corrente min4 st

59 Soluione del tero sottoproblema Valore della soluione: 5 Gli archi verdi di maggiore spessore corrispondono a variabili poste a

60 Separaione Domanda: Esiste un vincolo della famiglia ij E ( S ) ij S per ogni S, tale che S n violato dalla soluione ottima corrente? SI Ad esempio, < che viene aggiunto alla formulaione corrente. min4 st

61 Soluione del quarto sottoproblema Valore della soluione: Gli archi verdi di maggiore spessore corrispondono a variabili poste a

62 Separaione Domanda: Esiste un vincolo della famiglia ij E ( S ) ij S per ogni S, tale che S n violato dalla soluione ottima corrente? NO La soluione trovata è ottima per il rilassamento ed è anche INTERA, ovvero ottima per PL-{,}.

63 Formulaione cutset per il minimo albero ricoprente ij se l arco ij appartiene all albero ricoprente altrimenti min Σ c ij ij RILASSAMENTO LINEARE Σ ij n () ij E i S, j δ(s) Σ ij > S V : < S < n () >

64 Formulaione cutset per il minimo albero ricoprente La formulaione cutset non è intera. Infatti, consideriamo il seguente sottoproblema ottenuto tramite la formulaione cutset: min4 st S contiene i nodi {,, } e non contiene i nodi {4,5}. S contiene i nodi {4,8,9} e non contiene i nodi {,5}. S contiene i nodi {5,6,7} e non contiene i nodi {,4}. 67

65 Soluione fraionaria Il problema così formulato ammette la seguente soluione ottima di valore 8.5 e che NON ha tagli violati!!!!

66 Problema di separaione I vincoli utiliati nella precedente formulaione del problema del minimo albero ricoprente, ossia ij E ( S ) ij S per ogni S, tale che S n sono denominati subtour elimination constraint. Vogliamo formulare il problema di separaione per tali vincoli. Consideriamo le seguenti variabili decisionali: j se j S j altrimenti

67 Problema di separaione Un vincolo subtour è violato dalla soluione * LP se e solo se esiste un S tale che ij E ( S ) * ij S > ovvero se { } * S ma ij E ( S ) ij S V ma { * } > {,} ij E ij i j j V j

68 Osservaioni. Il problema ma * { } > {,} ij E ij i j j V j ha soluione ottima di valore con. Per ovviare a ciò si deve fissare k, per k,, V. In questo modo si risponde alla domanda se esiste un vincolo di tipo subtour violato che contiene il vertice k.. Il problema non è un problema di PL-{,}. Si deve effettuare una lineariaione.

69 Lineariaione Introduciamo la variabile ij i j. Il problema diventa ma st ij E * ij ij j V j ij k i ij ij j i V {,}, {,} j E per ogni ij E

70 Lineariaione I vincoli ij i j possono essere eliminati in quanto i coefficienti delle ij nella funione obiettivo sono > ovvero, ij min {, } i j Questo implica che il vincolo è sempre soddisfatto in quanto {, } min - i j i Eliminando questi vincoli osserviamo anche che la matrice dei coefficienti è totalmente unimodulare. Pertanto, può essere rimossa anche la stipula di interea. Possiamo pertanto concludere che il problema di separaione dei subtour elimination constraint è facile. j

71 , st ma Esempio Consideriamo la soluione del tero sottoproblema dell esempio precedente e scriviamo il problema di separaione: La soluione ottima del problema vale ed ha le seguenti variabili diverse da Esse descrivono il subtour constraint < ; ; ; ; ;